Свойства допустимых планов.

Теорема №1

Множество допустимых планов З.Л.П. выпукла если оно не пусто.

Дано: Д- не является пустым множеством – ОДР

Доказать Ж Д- выпуклое множество.

Док-во :

Х1 єД; Х2 єД,то оно удовлетворяет системе ограничений в З.Л.П. Z=cx->max Ax=b X>=0

Ax1=b 0<=t<=1

Ax2=b (1-t) => tAx1+(1-t)Ax2=bt+b(1-t) = A[tx1+(1-t)x2]=b

t>=0

x1; x2>=0 => x>=0

1-t>=0

Ax=b X- решение задачи.

Х = tx1+(1-t)x2 0<=t<=1, согласно опр. Имеем выпуклое множество – Д, т.к. с любыми двумя точками ему принадлежит и их выпуклая Л.К.

Теорема № 2

Если целевая функция имеет максимум на выпуклом многограннике решений, то это максимум достигается в вершине многогранника..

Дано: Zmax->X₀Док-ть X_0- вершина.

Zmax=C X₀

Док-во: Дан многогранник. А,В,С,Д,Е – вершины. (Док-во проведем от противного)

X₀ – не вершина , тогда согласно опр. Крайней точки , X₀ – не крайняя точка , и может быть представлена в виде выпуклой Л.К. точек хi є ОДР

C X₀>Cxi (т.к. С X₀ ->max)

X₀ =αiXiαi=1 αi>=0

Найдем значение функции Z=C X₀=CαiXi=αiCXi<αiCX₀=CX₀αi=CX₀

В каждом слагаемом сменим Xi на Х₀

СХ₀<CX₀– противоречие.

Теорема №3

Об альтернативном оптимуме.

Если целвевая функция достигает своего оптимального значения в нескольких вершинах (т)х1 х2 хk , то она достигает оптимального значения в их выпуклой линейной комбинации.

Дано : Док-ть: х= αiXi

Xi , i:=1,k αi=1 αi>=0 CX=d

Zmax=C{i=d

Док-во

Найдем Z=СХ=CαiXi=αiCXi=αid=dαi=d

Теорема № 4

Вектор Х является опорным решением тогда и только тогда , если он является вершиной многогранника.

Если переменных n>3 то говорят гиперплоскость, положение точек в т – мерном пространстве.

Идея симплекс метода.

Симплекс метод является универсальным.

Симплекс метод – аналитический метод.

1. Находятся первоначальное, опорное решение. А)система ограничений должна быть записана в виде равенств (каноническая форма)

Б)Преобразовать что бы bi >=0 i=1,m

С)Привести систему к единичному базисному виду с неотрицательной правой частью.

Поэтому за разрешающий элемент выбирается строго положительный элемент.

Д)Приравниваем свободные к 0 , получаем первоначальное базисное неотрицательное

решение, которое является опорным решением данной задачи и соответствует вершине.

2. Рассматривая функцию цели выясняем является ли полученное решение оптимальным.

3. Если полученное решение не является оптимальным , то необходимо перейти к следующей вершине (опорному решению) Переход осуществляется по определенному правилу по которому : только одна изи базисных переменных должна перейти в свободную и только одна из свободных перейти в базисную.

Алгебра симплекс метода.

Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	св.чл
1	0	1	6	2	8
0	1	1	0	3	9
0	0	7	-1	-3	-0
1	-2/3	1/3	6	0	2
0	1/3	1/3	0	1	3
0	1	8	-1	0	9
1/6	-2/18	1/18	1	1/3
			0	1	-9
1/6	8/9	8 1/8	0	0	1/3

Особенность выделенная клетка.

1. Чтобы решать симплекс методом необходимо Z->min (перейти к min)

2. В строке Z записываются коэффициенты ф-ии цели, а свободный член записывается в выделенную клетку св.чл. с противоположным знаком.

3. Сделаем свободные члены неотрицательными.

4. Приводим систему ограничений к единичному базису методом Гауса, выбирая за разрешающий элемент положительный элемент.

5. Функция цели должна быть выражена только через свободные неизвестные , чтобы определить оптимален ли полученный опорный план. Для определения опорного плана свободные элементы =0 r=(7;-1;-3} Среди них выбираем самый отрицательный и делаем разрешающий столбец. Для выбора разрешающей строки находится min-ое из отношений свободных членов системы ограничений к положительным коэффициентам разрешающего столбца

6. Для выбора разрешающей строки находится min-ое из отношений свободных членов системы ограничений к положительным коэффициентам разрешающего столбца.