- •Математическое программирование
- •Метод Гаусса.
- •Переход от одной формы модели к другой форме модели , различные формы моделей з.Л.П.
- •Переход от стандартной формы к канонической форме.
- •Переход от канонической к стандартной.
- •Переход от задачи max к min и наоборот.
- •Графический метод решения л.П.
- •Геометрическая интерпретация линейного неравенства.
- •Геометрическая интерпретация системы линейны неравенств.
- •Графический метод .
- •Опорный план. Свойства допустимых планов.
- •Свойства допустимых планов.
- •Идея симплекс метода.
- •Алгебра симплекс метода.
- •Альтернативный оптимум.
- •Монотонность и конечность алгоритма симплекс метода.
- •Проблема выражденности.
- •Метод искусственного базиса.
- •Теория двойственности.
- •Стандартная форма.
- •Правило построения двойственных задач к общей з.Л.П.
- •Теорема двойственности.
- •Вторая теорема двойственности и свойства двойственных оценок.
- •Свойства двойственных оценок.
- •Транспортная задача.
- •Особенности т.З.
- •Теорема о ранге матрицы.
- •Этапы решения т.З.
- •Метод нахождения первоначального опорного плана.
- •Переход от одного опорного плана к другому.
- •Проверка плана на оптимальность. Теорема об оптимальности плана или теорема о потенциальности плана.
- •Алгоритм потенциалов.
- •Задачи о назначении.
- •Математическая модель.
- •Алгоритм решения.
- •Задача коммивояжера.
- •Метод ветвей и границ.
- •Ветвлениею
- •Признак оптимальности.
Альтернативный оптимум.
Предположим найдено оптимальное решение. r>=0. Признаком альтернативного оптимума в этом случаи является равенство 0, хотя бы одной из компонент вектора r. Покажем что если компонента rj =0 , для найденого оптимального плана (Х*1) то можно найти еще одно оптимальное решение Х*2 , значение в котором будет таким же как и значение в Х*1. Z(Х*2)= Z (Х*1)=Zmin
За разрешающий столбец берем rj =0 Zmin=Z(X*1)=-Q (свободный член в Z) Q1=aij*Q-bi*rj/aij = Q-(bi*rj/aij)=Q bi>0 aij>=0
Сделав шаг метода Гауса , получим новое решение , а значение функции в т Х*2 будет точно таким же как и в Х*2 – т.е. задача Альтернативного оптимума.
Монотонность и конечность алгоритма симплекс метода.
Покажем , что применяя алгоритм симплекс метода к З.Л.П. мы получим , что значение функции монотонно убывает. Предположим, что на кокаком то шаге симплекс метода выбран разрешающий столбец rj<0 , а за разрешающую строку выбрана i строка. Покажем что значение функции не возрастает , если мы применим один шаг симплекс метода. Qнов=aij*Q-bi*rj/aij= Q-bi-rj/aij<=0 (bi>=0 rj<0 aij>=0) Qнов>=Q -Qнов<=-Q
Так как многогранник имеет конечное число вершин , то алгоритм симплекс метода будет конечен.
Проблема выражденности.
Если получено в опорном плане число положительных координат меньше чем m , то решение является выражденным , и если полученный план не является оптимальным , т.е. возникает необходимость к новому опорному плану и при этом за разрешающую строку выбирается строка в которой bi=0 Тогда моежт быть проблема зацикливания, т.е. возврат к прежней вершине , для того чтобы избежать этого нужно «расклеить» точки для чего служит ипсилон метод. На ипсилон величину сдвигают прямые , таким образом чтобы раздвигаются вершины. Находят оптимальное решение новой задачи и учитывая ипсилон переходя к страой задаче.
Если в конце преобразований получена таблица , то столбец соответсвующем столбце нет ни одного положительного элемента то Zmin->- бесконечности ( нет решения)
Если в результате преобразований сстрока превратилась ( 0 0 0 0 = 7), то задача не имеет решения по причине не совместимости систем . Нет ОДР.
Если оптимальное решение и соответствующий ему вектор (r) имеет 0 координату то задача на альтернативный оптимум. Что бы найти второе решение берем за разрешающий столбец 0.
Метод искусственного базиса.
Z=CX->min В данной задаче нет естественного базиса. Введем в каждое ограничение
Ax=b искусственную переменную «у»>=0 Z преобразуем в T. М – полож. большое чис
X>=0 -Z задача.
Ах+у=b
Х>=0 у>=0
T=CX+M*y->min (М –задача)
Теорема . Если М задача имеет оптимальное решение , то Z – задача : а) тоже имеет решение , если все искусственные переменные = 0. Б) Z- задача не имеет решения если хотя бы одна из искусственных переменных не равна 0, систем ограничений будет не совместна. Если М задача не имеет решения ,т.е. Tmin ->-бесконечности , то и Z- задача тоже не имеет решения.
Теория двойственности.
Каждой задаче Л.П. можно поставить в соответствие двойственную задачу , решения которой дает немедленное решение прямой задачи.