- •Математическое программирование
- •Метод Гаусса.
- •Переход от одной формы модели к другой форме модели , различные формы моделей з.Л.П.
- •Переход от стандартной формы к канонической форме.
- •Переход от канонической к стандартной.
- •Переход от задачи max к min и наоборот.
- •Графический метод решения л.П.
- •Геометрическая интерпретация линейного неравенства.
- •Геометрическая интерпретация системы линейны неравенств.
- •Графический метод .
- •Опорный план. Свойства допустимых планов.
- •Свойства допустимых планов.
- •Идея симплекс метода.
- •Алгебра симплекс метода.
- •Альтернативный оптимум.
- •Монотонность и конечность алгоритма симплекс метода.
- •Проблема выражденности.
- •Метод искусственного базиса.
- •Теория двойственности.
- •Стандартная форма.
- •Правило построения двойственных задач к общей з.Л.П.
- •Теорема двойственности.
- •Вторая теорема двойственности и свойства двойственных оценок.
- •Свойства двойственных оценок.
- •Транспортная задача.
- •Особенности т.З.
- •Теорема о ранге матрицы.
- •Этапы решения т.З.
- •Метод нахождения первоначального опорного плана.
- •Переход от одного опорного плана к другому.
- •Проверка плана на оптимальность. Теорема об оптимальности плана или теорема о потенциальности плана.
- •Алгоритм потенциалов.
- •Задачи о назначении.
- •Математическая модель.
- •Алгоритм решения.
- •Задача коммивояжера.
- •Метод ветвей и границ.
- •Ветвлениею
- •Признак оптимальности.
Переход от задачи max к min и наоборот.
Во всех формах моделях все сводится к max, но иногда необходимо найти min/
Z=f(x)
min
z1max
z1=f(x)
Чтобы перейти от задачи min к max достаточно поменять знак и ввести новое значение функции.
Графический метод решения л.П.
Понятие: допустимого , оптимального , опорного решений, понятие области допустимых решений.
Вектор Х называется допустимым решением , если он удовлетворяет системе ограничений и условиям не отрицательности если они есть.
Вектор Х называется оптимальным решением если он является допустимым , а функция цели в этом решении достигает своего оптимального значения. (max or min)
Опорным решением называется не отрицательное базисное решение системы ограничений.
x1+x3 –x4=1
x2+2x3+4x4=-2
x1 и х2 –базисные неизвестные. Х3,х4 - неизвестные .
Приравняем свободные к 0. , тогда базисные неизвестные получают значения равные х1=1 х2=-2 и получаем базисное решение. Оно является не опорным , т.к. х=-2. Данное решение допустимое , базисное, не опорное.
Областью допустимых решений называется – совокупность всех допустимых решений системы.
Геометрическая интерпретация линейного неравенства.
n=2 a1x1+a2x2<=b (n-кол-во переменных , m число неравенств )
Из математики знаем что геометрическим образом уравнение а1х1+а2х2=b – прямая на плоскости х1 х2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости . а1х1+а2х2<=b и >= , т.е. одно из плоскостей является решением. Чтобы определить какая четверть является решением данного неравенства нужно взять любую точку M и подставить в данное неравенство. И если не равенство удовлетворяется, то точка эта принадлежит той полуплоскости в которая является решением . И наоборот.
Геометрическая интерпретация системы линейны неравенств.
n=2 . a1x1+a1x2<=b1 ГИСЛН – является пересечение всех полуплоскостей соответству
a2x1+a2x2<=b2 ющих каждому неравенству системы , таким образом нашли ОДР.
am1x1+am2x2<=bm
Возможные случаи ОДР.
ОДР является точка.
ОДР выпуклый многоугольник.
ОДР выпуклая многоугольная область.
ОДР – пустая область
Графический метод .
ГМ состоит из двух этапов.
ОДР.
Среди всех решений необходимо найти такое решение при котором Z достигает своего либо max или min.
Grad показывает наискорейшее возрастание функции. (С – коэффициент) (линии уровня)
Возможные случаи
задача имеет единственное решение.
Задача имеет – бесконечно много решений.
Задача не имеет решений а) нет ОДР б) в случаи когда zmax - ф-ия не ограниченной сверху линией уровня и наоборот.
Графический метод можно применять если имеется только две переменные или задача может быть приведена с помощью эквивалентных преобразований к задаче с двумя переменными.
Опорный план. Свойства допустимых планов.
Выпуклая линейная комбинация точек . х1 х2 …хk сумма вида α1х1+ α2х2+ ...+ αkxk , где αi =1 (αi>=0 αi – коэффициент линейной комбинации).
Выпуклым множеством называется такое множество т. Д на плоскости , когда вместе с любыми двумя точками Х1є Д ; Х2 є Д принадлежащим множеству Д. Ему принадлежит и их выпуклая Л.К. х=tx1+(1-t)x2 є Д 0<=t<=1
Крайняя точка – т.Х выпуклого множества называется крайней если она не может быть представлена в виде выпуклой Л.К. любых двух точек этого множества (n=2)
Опорное решение – это допустимое базисное решение имеющая не более чем m положительных элементов , и причем векторы столбца матрицы соответственно положительны координатам вектора линейны независимы.