Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный университет правосудия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для юристов - Д.А. Ловцова

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1717

Тест 6. Основы интегрального исчисления

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ.

Ɇɚɲɢɧɧɵɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ

																		b
		Ɂ ɚ ɞ ɚ ɱ ɚ .												ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɥɨɳɚɞɶ F ³f(x)udx ɩɨɞ ɤɪɢɜɨɣ f(x) ɧɨ-
ɦɟɪ W ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [a, b]																		a
ɦɟɪ W ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [a, b]
														ɚ) ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɇɶɸɬɨɧɚ–Ʌɟɣɛɧɢɰɚ,
														ɛ) ɦɟɬɨɞɨɦ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ.
																													Ɍɚɛɥɢɰɚ ɤ ɬɟɫɬɭ 6
W						f(x)									a, b	W										f(x)											a, b
0				4 x							4				1.0, 3.0	10		8ux2							8			8u x									0.3, 1.5
0				4 x							x2				1.0, 3.0	10		8ux2										8u x									0.3, 1.5
											x2														x2
1			x2				16			16					1.2, 3.6	11		x2								8					24ux						7.6, 6.0
1			x2							16					1.2, 3.6	11							x 8 2								24ux						7.6, 6.0
							x2										2						x 8 2
2			cos2(x)usin(x)												0.0 1.2	12									x								x				0.0, 8.0
2			cos2(x)usin(x)												0.0 1.2	12			e						x			e									0.0, 8.0
																			e									e		3
																												§ x		·
3					xue2-x										0.4, 2.0	13				x ucos¨											¸						4.0, 10.0
3					xue2-x										0.4, 2.0	13				x ucos¨											¸						4.0, 10.0
																											© 2			¹
4			sin2(x)ucos(x)												1.2, 3.6	14								64ux													6.0, 0.0
4			sin2(x)ucos(x)												1.2, 3.6	14					x2 16 2																6.0, 0.0
5				2					4ux3						1.2, 2.0	15		8ux												1							1.8, 0.2
5		x uln2				(x)			4ux3						1.2, 2.0	15		8ux											x 2								1.8, 0.2
		x uln2				(x)													x2 2										x 2
6		2ux			2			108					59		5.0, 1.0	16		2ux						3				x						2			0.2, 1.8
6		2ux						x		2			59		5.0, 1.0	16		2ux									2							x			0.2, 1.8
								x		2																	2							x

			x3			8																3		§ x			·								§ x	·
7									8ux						9.0, 1.0	17	6usin							¨			¸ucos¨									¸	3.2, 0.0
7	8					x2			8ux						9.0, 1.0	17	6usin							¨		2	¸ucos¨									¸	3.2, 0.0
	8					x2																		©		2	¹							© 2		¹
			2 x							4									x3											7
8															0.8, 0.8	18						7ux															1.0, 7.0
								x 2 2
								x 2 2									7															x2
				16ux								3		x														§ x		·
9				x2		1									0.0, 6.0	19					x usin¨									¸							12.0, 20.0
9															0.0, 6.0	19					x usin¨									¸							12.0, 20.0
																											© 2			¹

ɉ ɪ ɢ ɦ ɟ ɪ . W 21, f(x) 3ux5ucos(x3), a 1.1, b 1.7.

161

									1.7
Ɋ ɟ ɲ ɟ ɧ ɢ ɟ .				ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɩɥɨɳɚɞɶ F					³3ux5 ucos x3 udx
									1.1
											b
ɚ) ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɇɶɸɬɨɧɚ–Ʌɟɣɛɧɢɰɚ: F									FNL	F(x)	F(b) F(a).
											a
1-ɣ ɷɬɚɩ.
F(x)	³3ux5 ucos x3 udx				¢ɡɚɦɟɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ²
t	x3,	dt		3ux2 udx,	3ux5 udx				t udt
³t ucos t udt ¢ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ²
u	t,	dv		cos t udt,	du		dt,	v	³dv	³cos t udt sin t
tusin(t) ³sin t udt tusin(t) cos(t)								F(t).
ɇɚɣɞɟɦ ɩɪɟɞɟɥɵ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ t:
x a	1.1, at 1.1 3 1.33, x				b	1.7, at		1.7 3		4.91.
2-ɣ ɷɬɚɩ.
F FNL F(t)			bt	t usin t cos t			4.91
F FNL F(t)			at	t usin t cos t			1.33
			at				1.33

4.91usin 4.91 cos 4.91 1.33 usin 1.33 cos 1.33

¢sin(4.91) 0.98, cos(4.91) 0.20, sin(1.33) 0.97, cos(1.33) 0.24² ( 4.82 0.20) (1.29 0.24) 6.15. ɂɬɚɤ, FNL 6.15.

ɛ) ɦɟɬɨɞɨɦ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ.

1. Ɏɭɧɤɰɢɸ f(x) ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [a,b] ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɦ ɬɚɛɥɢɰɟɣ {xti,yti}

ɨɛɴɟɦɨɦ n 4.
h	b a	0.15. xt0 a		1.10, xti	xti 1 h, i			, (xtn		b 1.70),
	b a						1, n
							1, n
	n
					yti f(xti), i					0, n	.
Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬ ɧɚɲɟɣ ɪɚɛɨɬɵ ɩɨɤɚɡɚɧ ɧɢɠɟ.

		i	0	1	2	3			4
		xti	1.10	1.25	1.40	1.55			1.70
		yti	1.15	3.42	14.88	22.42			8.49
		j	0		1				2

162

2. ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɧɚ ɲɚɝɟ h:
	§ yt	0	yt	n	n 1	·
Fh	¨	0		n		¸
Fh	¨		2		¦yti ¸uh
	©		2		i 1	¹
§1.15 8.49							·	5.38.
¨					3.42 14.88 22.42		¸u0.15
¨		2			3.42 14.88 22.42		¸u0.15
©		2					¹

3. Ɉɫɬɚɜɥɹɟɦ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ ɨɬɫɱɟɬɵ ɫ ɱɟɬɧɵɦɢ ɧɨɦɟɪɚɦɢ i, ɡɚɧɨɜɨ

ɢɯ ɧɭɦɟɪɭɟɦ (j). Ɍɟɩɟɪɶ ɨɛɴɟɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɪɚɜɟɧ n2	n	2, ɟɟ ɲɚɝ

2

h2 2uh 0.30, ɚ ɨɬɫɱɟɬɵ ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɤɚɤ yt2j. ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɚ ɲɚɝɟ h2:

§ yt2

yt2

n2 1

§1.15

8.49

F2h

¦yt2ji

¸uh2

14.88

¸u0.30

3.02.

j 1

4. ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ ɩɨɩɪɚɜɤɭ Ɋɭɧɝɟ PR ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧ-

ɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ:
PR	Fh F2h	0.79.	FRR Fh PR 6.17.

3

5. Ɉɰɟɧɢɜɚɟɦ ɚɛɫɨɥɸɬɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ:

°FNL FRR° 0.03 °PR° 0.79.

163

Тест 7. Понятие вероятностей

Ɂ ɚ ɞ ɚ ɱ ɚ . ɉɚɪɬɢɹ ɢɡɞɟɥɢɣ ɫɨɞɟɪɠɢɬ B (W 6) ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ ɛɪɚɤɚ. Ʉɚɤɨɝɨ ɨɛɴɟɦɚ n ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ, ɱɬɨɛɵ ɜ ɧɟɣ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ P 0.95 ɨɛɧɚɪɭɠɢɬɶ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɛɪɚɤɨɜɚɧɧɨɟ ɢɡɞɟɥɢɟ?

Ɇɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɭɤɚɡɚɧɢɹ.

1.Ⱦɚɧɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɯɟɦɟ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ.

2.ɋɨɛɵɬɢɟ «ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɛɪɚɤɨɜɚɧɧɨɟ ɢɡɞɟɥɢɟ» ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨ ɫɨɛɵɬɢɸ «ɧɢ ɨɞɧɨɝɨ ɛɪɚɤɨɜɚɧɧɨɝɨ ɢɡɞɟɥɢɹ».

Тест 8. Случайные величины

Ɂ ɚ ɞ ɚ ɱ ɚ .

ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ f(t) ɜɪɟɦɟɧɢ ɪɟɚɤɰɢɢ t ɧɚɪɹ-

ɞɚ ɜɧɟɜɟɞɨɦɫɬɜɟɧɧɨɣ ɨɯɪɚɧɵ ɧɚ ɫɢɝɧɚɥ ɬɪɟɜɨɝɢ

ɡɚɞɚɧɚ ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɧɚ ɪɢɫ. 2.

f(t)

0. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ

T ɩɨ

ɮɨɪɦɭɥɟ

360

ɫ.

0.5uW 1

1. Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ

f(t).

ɜɢɹ	2. ɇɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ H ɢɡ ɭɫɥɨ-	Ɋɢɫ. 2
		Ɋɢɫ. 2

	f
	³f(t)u dt 1.
	f

3.ɇɚɣɬɢ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(t) ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ t.

4.Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ t: x ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ mt,

xɞɢɫɩɟɪɫɢɸ Dt,

xɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ Vt.

ɉɪ ɢ ɦ ɟɪ . ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ f(t) ɞɥɹ W 22 ɡɚɞɚɧɚ ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɧɚ ɪɢɫ. 3.

Ɋ ɟ ɲ ɟ ɧ ɢ ɟ .

0. ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ T:

T	360	30.0	ɫ.
	0.5u22 1

164

f(t)

Ɋɢɫ. 3

1. Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɤɪɢɜɚɹ f(t) – ɮɪɚɝɦɟɧɬ ɩɚɪɚɛɨɥɵ (ɩɭɧɤɬɢɪɧɚɹ ɥɢɧɢɹ ɧɚ ɪɢɫ. 3) ɫ ɜɟɪɲɢɧɨɣ ɜ ɬɨɱɤɟ t T ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [0,T]. ɂɡ ɤɭɪɫɚ ɲɤɨɥɶɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɦɵ ɡɧɚɟɦ, ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɚɤɨɣ ɩɚɪɚɛɨɥɵ ɫɭɬɶ

f(t) au(t T)2.

Ɂɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ a ɧɚɣɞɟɦ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ f(0) H:

au(0 T)2 H,				a		H	.
au(0 T)2 H,				a			.
Ɍɨɝɞɚ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [0,T]						T2
Ɍɨɝɞɚ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [0,T]					t T 2					2
	H		2		t T 2			§ t	·	2
f(t)		u(t T)		Hu				Hu¨	1¸	,
	T2					T2		©T	¹

ɚ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ t ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɥɭɱɢɦ:

ɩɪɢ

t 0,

f(t)

ɩɪɢ

(ɘ)

®Hu¨

1¸

0 d t d T,

©T

ɩɪɢ

t ! T.

° 0

ɇɚɯɨɞɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ H.

§ t

·2

³f(t)udt

¢(ɘ)²

Hu³

©¨

1¹¸

udt .

ɉɨɫɥɟɞɧɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɩɨ ɮɨɪ-

ɦɭɥɟ ɇɶɸɬɨɧ-Ʌɟɣɛɧɢɰɚ.

FNL

HuFF(t)

Hu(FF(T) FF(0)),

ɝɞɟ FF(t) – ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɚɹ ɞɥɹ ¨

1¸

©T

FF(t)

§ t

·2

©¨

1¹¸

udt

t 1

1 udt,

T udv

	³	v2 udv	1	uT uv3	1	§ t	·	3
T u						uT u¨	1¸ .
			3		3
						©T	¹

f(v)

F(v)

1 v

Ɋɢɫ. 4

165

		1	§ t	·3	T		1	3	3		1

F FNL	HuTu		u¨	1¸		HuT u		u 1 1	0 1	HuT u		.
		3					3				3
			©T	¹	0

Ɂɧɚɱɟɧɢɟ H ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ F 1:
HuT u	1	1, HuT 3,	H	3	3	0.1.
				T	30
3

3. ɉɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ

F(t) ³f(s)uds .

Ɂɞɟɫɶ f(s) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (ə), ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ t ɡɚɦɟɧɟɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ s. Ɏɭɧɤɰɢɹ f(t) ɪɚɡɛɢɬɚ ɧɚ ɬɪɢ

	§ t	·	2
ɮɪɚɝɦɟɧɬɚ: f(t) 0 ɩɪɢ	t 0, f(t) Hu¨	1¸	ɩɪɢ 0dtdT ɢ f(t) 0 ɩɪɢ t!T.

	©T	¹

Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ F(t) ɬɨɠɟ ɪɚɡɛɢɜɚɟɬɫɹ ɧɚ ɬɪɢ ɮɪɚɝɦɟɧɬɚ: F(t) 0 ɩɪɢ v 0, F(t) HuJ(t) ɩɪɢ 0dtdT ɢ F(t) HuJ(T) 1 ɩɪɢ t!T. Ɂɞɟɫɶ

t			2
§ s		·
J(t) ³©¨		1¹¸	uds
	T
0

1	§ s	·3	t

	uT u¨	1¸
3
	©T	¹	0

§ t

·3

uT u

1¸

1 ¸

©T

§ t

t ·

uT u

t ¸

3u¨

T ¸

©T ¹

ɍɛɟɞɢɦɫɹ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ HuJ(T) 1:

HuJ(T) HuT u 1 u 13 3u12 3u1 ¢HuT 3² 1. 3

ɂɬɚɤ, ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ HuT 3:

		0
	°	t ·		3	§	t ·		2		t
F(f)	°§	t ·			§	t ·				t
	®¨		¸		3u¨		¸		3u
	®¨		¸		3u¨		¸		3u
	°©T ¹				©T ¹					T
	°	1
	¯

ɩɪɢ t 0,

ɩɪɢ 0 d t d T,

ɩɪɢ t ! T.

ɇɚ ɪɢɫ. 4 ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɝɪɚɮɢɤɢ ɮɭɧɤɰɢɣ f(v) ɢ F(v), ɝɞɟ v t . ɉɪɢ t 0 T

v0, ɩɪɢ t T v 1.

4.ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɋȼ t, ɚ ɢɦɟɧɧɨ, ɟɟ

ɆɈ mt, ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ Dt ɢ ɋɄɈ Vt ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ ɩɨ ɢɯ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹɦ.

166

§ t

t uf(t)udt

t u¨

1¸

udt

HuT u

u¨

1¸

udt

³T

©T

v, dv

dt ,

T udv,

ɩɪɢ

t T

				1																					1
HuT u³v u v 1 2 udv HuT2 u³v3 2uv2 v udv
				0																					0
¢HuT 3²									§				1					2					1					·	1			1				uT 0.25uT 7.50 c.
									§				1					2					1					·	1			1
						3uT u¨								uv					uv						uv¸
						3uT u¨								uv				3	uv				2		uv¸							4
									© 4									3					2					¹	0			4
	f																						T			§ t				m			·2					§ t					2
	³		t m					2 uf(t)udt									HuT2 u									§ t				m			·2					§ t				·	2
Dt																									¨							t		¸			u¨			1¸				udt
Dt																									¨									¸			u¨			1¸				udt
							t																³©T								T ¹							©T				¹
	f																						0
	t		v,			dv				dt		, dt						T udv,						ɩɪɢ						t					T			v		1,				mt		1
	T		v,			dv				T		, dt						T udv,						ɩɪɢ						t					T			v		1,				T		4
	T									T																																		T		4
						1			1 ·				2
HuT3 u³							§		1 ·				2	u v 1 2 udv
							©¨v				¹¸
							©¨v			4	¹¸
						0
													f						5								33									5				1		·
¢HuT 3²						3uT2 u								§		4			5		uv3						33		uv2							5				1		·
														¨v																							uv					¸udv
														¨v					2								16									8	uv			16		¸udv
													³©						2								16									8				16		¹
													f
T	2		§	3	uv			5	15				uv		4			33		uv		3			15			uv			2					3		uv	·		1		3		uT		2
	2		§	3				5	15						4			33				3			15						2					3			·		1		3				2
		u¨																																					¸
			©5						8									16							16											16			¹		0		80
135				33.75 c2.
	4			33.75 c2.
	4
Vt		Dt				15 uT							0.19uT 5.81 c.
						20

ɇɚɣɞɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɛɟɡɪɚɡɦɟɪɧɨɣ ɋȼ v:

0.25, Dv

0.04,

0.19.

Ɉɬɦɟɱɚɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ mv ɢ Vv ɧɚ ɝɪɚɮɢɤɚɯ f(v) ɢ F(v) (ɪɢɫ. 4).

167

ЛИТЕРАТУРА

1.Ȼɨɝɚɬɨɜ Ⱦ. Ɏ., Ȼɨɝɚɬɨɜ Ɏ. Ƚ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɞɥɹ ɸɪɢɫɬɨɜ ɜ ɜɨɩɪɨɫɚɯ ɢ ɨɬɜɟɬɚɯ. – Ɇ.: ɉɊɂɈɊ, 2001.

2.Ȼɨɪɨɞɢɧ Ⱥ. ɇ. ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɣ ɤɭɪɫ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. – ɋɉɛ.: Ʌɚɧɶ, 2002.

3.Ƚɪɟɫ ɉ. ȼ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɞɥɹ ɝɭɦɚɧɢɬɚɪɢɟɜ. – Ɇ.: ɘɪɚɣɬ, 2000.

4.ɀɨɥɤɨɜ ɋ. ɘ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɢ ɢɧɮɨɪɦɚɬɢɤɚ ɞɥɹ ɝɭɦɚɧɢɬɚɪɢɟɜ. – Ɇ.: Ƚɚɪɞɚɪɢɤɢ, 2002.

5.ɂɧɮɨɪɦɚɬɢɤɚ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɞɥɹ ɸɪɢɫɬɨɜ. – Ɇ.: ɘɇɂɌɂ-

ȾȺɇȺ, 2001.

6.Ʉɚɥɢɧɢɧɚ ȼ. ɇ., ɉɚɧɤɢɧ ȼ. Ɏ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ. –

Ɇ.: ȼɒ, 2001.

7.Ʉɜɚɱɤɨ ȼ. ɘ., Ʉɨɪɨɥɟɜ ȼ. Ɍ., Ɋɚɞɢɨɧɨɜ ȼ. ȼ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɞɥɹ ɸɪɢɫɬɨɜ. Ʉɭɪɫ ɥɟɤɰɢɣ. – Ɇ.: ɊȺɉ, 2004.

8.Ʉɜɚɱɤɨ ȼ. ɘ., Ʉɨɪɨɥɟɜ ȼ. Ɍ., Ɋɚɞɢɨɧɨɜ ȼ. ȼ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɞɥɹ ɸɪɢɫɬɨɜ. Ɋɭɤɨɜɨɞɫɬɜɨ ɤ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɦ ɡɚɧɹɬɢɹɦ / ɉɨɞ ɪɟɞ. Ⱦ. Ⱥ. Ʌɨɜ-

ɰɨɜɚ. – Ɇ.: ɊȺɉ, 2007.

9.Ʉɪɟɦɟɪ ɇ. ɒ. ɢ ɞɪ. ȼɵɫɲɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɞɥɹ ɷɤɨɧɨɦɢɫɬɨɜ. – Ɇ.: Ȼɚɧɤɢ ɢ ɛɢɪɠɢ, ɘɇɂɌɂ, 1998.

10.Ʉɨɪɨɥɟɜ ȼ. Ɍ. ɂɧɮɨɪɦɚɬɢɤɚ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ. ɍɱɟɛɧɨɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɣ ɤɨɦɩɥɟɤɫ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɨɱɧɨɣ ɢ ɨɱɧɨ-ɡɚɨɱɧɨɣ ɮɨɪɦ ɨɛɭɱɟɧɢɹ. – Ɇ.: ɊȺɉ, 2006.

11.Ʌɨɜɰɨɜ Ⱦ. Ⱥ. ɂɧɮɨɪɦɚɰɢɨɧɧɚɹ ɬɟɨɪɢɹ ɷɪɝɚɫɢɫɬɟɦ: Ɍɟɡɚɭ-

ɪɭɫ. – Ɇ.: ɇɚɭɤɚ. 2005.

12.Ɇɚɥɵɯɢɧ ȼ. ɂ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ. – Ɇ.: ɂɇɎɊȺ-Ɇ,

1999.

13.ɇɚɫɬɨɥɶɧɚɹ ɤɧɢɝɚ ɚɞɦɢɧɢɫɬɪɚɬɨɪɚ ɫɭɞɚ ɨɛɳɟɣ ɸɪɢɫɞɢɤɰɢɢ / ɉɨɞ ɪɟɞ. ȼ. Ɇ. Ʌɟɛɟɞɟɜɚ. – Ɇ., ɘɪɢɫɬɴ, 2004.

14.Ɉɫɧɨɜɵ ɢɧɮɨɪɦɚɬɢɤɢ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɞɥɹ ɸɪɢɫɬɨɜ / ɉɨɞ ɪɟɞ.

ȼ. Ⱦ. ɗɥɶɤɢɧɚ, Ɍ. Ɇ. , Ȼɟɥɹɟɜɨɣ. – Ɇ.: ɈɈɈ «ɉɨɥɢɝɪɚɮɈɩɬ», 2004.

15.ɉɭɯɧɚɱɟɜ ɘ. ȼ., ɉɨɩɨɜ ɘ. ɉ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɛɟɡ ɮɨɪɦɭɥ. – Ɇ.: Ɂɧɚɧɢɟ, 1979.

16.Ɋɚɫɫɨɥɨɜ Ɇ. Ɇ. ɢ ɞɪ. ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɜɵɫɲɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɞɥɹ ɸɪɢɫɬɨɜ. – Ɇ.: ɘɪɢɫɬɴ, 2000.

17.Ɍɚɪɬɚɤɨɜɫɤɢɣ Ⱦ. Ɏ. ɂɡɦɟɪɢɬɟɥɶɧɚɹ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɹ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜ. – ɋɉɛ.: ɘɪɢɞɢɱɟɫɤɢɣ ɰɟɧɬɪ ɉɪɟɫɫ, 2003.

18.Ɍɢɯɨɦɢɪɨɜ ɇ. Ȼ., ɒɟɥɟɯɨɜ Ⱥ. Ɇ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ: ɍɱɟɛɧɵɣ ɤɭɪɫ

ɞɥɹ ɸɪɢɫɬɨɜ. Ɇ.: ɘɪɚɣɬ, 1999.

19.Ɍɭɪɟɰɤɢɣ ȼ. ə. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɢ ɢɧɮɨɪɦɚɬɢɤɚ. – Ɇ.: ɂɇɎɊȺ-Ɇ,

2005.

20.ɑɟɱɤɢɧ Ⱥ. ȼ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɢɧɮɨɪɦɚɬɢɤɚ. – Ɇ.: ɇɚɭɤɚ,

1991.

168

АЛФАВИТНО9ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Ⱥɤɫɢɨɦɚ 7 Ⱥɤɫɢɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɟɬɨɞ 6 Ⱥɤɫɢɨɦɵ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ 17

Ⱥɤɫɢɨɦɵ ɚɥɝɟɛɪɵ ɦɧɨɠɟɫɬɜ 11 Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ 28 Ⱥɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɹ 34

Ȼɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 87 ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ 70 ȼɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ 13 Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ 85 Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥ 44 ɂɧɬɟɪɜɚɥ 8 Ʉɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɚ 62 Ʌɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ 13

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ 85 Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ 8 ɇɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ 50 ɇɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ 55 ɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 88 Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ 50 Ɉɬɪɟɡɨɤ 8 ɉɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɚɹ 50 ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ 64

ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 82 ɉɨɩɪɚɜɤɚ Ɋɭɧɝɟ 58 ɉɪɚɜɢɥɨ Ʌɨɩɢɬɚɥɹ 55

ɉɪɚɜɢɥɨ ɫɥɨɠɟɧɢɹ 64 ɉɪɚɜɢɥɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ 62 ɉɪɟɞɟɥ ɮɭɧɤɰɢɢ 35 ɉɪɢɧɰɢɩ ɞɜɨɣɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ 11 ɉɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɢ 40 ɉɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ 51 Ɋɚɡɦɟɳɟɧɢɟ 64 Ɋɹɞ Ɇɚɤɥɨɪɟɧɚ 46

Ɋɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 81 Ɋɹɞ Ɍɟɣɥɨɪɚ 45 ɋɢɫɬɟɦɚ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ 21 ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ 80

ɋɥɭɱɚɣɧɵɣ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ 67 ɋɨɛɵɬɢɟ 67 ɋɨɱɟɬɚɧɢɟ 65 Ɍɚɛɥɢɰɚ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ 14 Ɍɟɨɪɟɦɚ Ɏɟɪɦɚ 43 Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɚɣɟɫɚ 75 Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ 77

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɇɶɸɬɨɧɚ – Ʌɟɣɛɧɢɰɚ 50 Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ 74 Ɏɨɪɦɭɥɚ Ɋɭɧɝɟ – Ɋɨɦɛɟɪɝɚ 58 Ɏɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɢɣ 57 Ɏɭɧɤɰɢɹ 31 Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 81

ɗɤɫɬɪɟɦɭɦ ɮɭɧɤɰɢɢ 43

169

ɍɱɟɛɧɨɟ ɢɡɞɚɧɢɟ

МАТЕМАТИКА для юристов

ɍɱɟɛɧɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ

Ʉɨɪɪɟɤɬɨɪ Ʌ. ɋ. ɋɨɬɧɢɤɨɜɚ ȼɟɪɫɬɤɚ Ɍ. Ȼ. ȿɝɨɪɨɜɚ

ɉɨɞɩɢɫɚɧɨ ɜ ɩɟɱɚɬɶ 07.08.2009. Ɏɨɪɦɚɬ 60×90 1/16.

ɍɫɥ. ɩɟɱ. ɥ. 10,75. Ɍɢɪɚɠ 450.

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1717

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.20183.99 Mб9Лобойко Л. Уголовно-процессуальное право Украин....doc
#
22.11.2019445.44 Кб5Логика зачет.doc
#
04.11.2018133.12 Кб3Логика_юрфак.doc
#
12.11.2019307.2 Кб5Мат1_ЛинАлгебра.doc
#
09.08.2019119.3 Кб6Мат3_МетПринРеш.doc
#
02.03.20161.14 Mб41Математика для юристов - Д.А. Ловцова.pdf
#
26.09.2019573.95 Кб5Материал по вопросам для экзамена гпп.doc
#
14.11.2019157.18 Кб10материалы для 2 курса.doc
#
02.03.2016116.44 Кб40материалы для конспектов по МиТР.docx
#
16.08.2019185.76 Кб4Материалы для самостоятельной работы.docx
#
24.11.201932.71 Кб4машка курсовик (4).docx