Математика для юристов - Д.А. Ловцова

Ɍɨɝɞɚ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɜɫɟɯ k 1 ɞɟɣɫɬɜɢɣ ɦɨɠɧɨ ɡɚɞɚɬɶ ɧɚɛɨɪɨɦ ɢɡ k 1 ɱɢɫɟɥ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜ ɧɚɛɨɪɟ ɞɥɹ ɞɚɧɧɨɝɨ ɜɚɪɢɚɧɬɚ ɩɟɪɜɵɟ k ɱɢɫɟɥ ɨɫɬɚɸɬɫɹ ɩɪɟɠɧɢɦɢ, ɚ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ ɱɢɫɥɨ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥɭ ɨɬ 1 ɞɨ mk+1. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɤɚɠɞɨɦɭ ɜɚɪɢɚɧɬɭ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ k ɞɟɣɫɬɜɢɣ ɨɬɜɟɱɚɟɬ mk+1 ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ k 1 ɞɟɣɫɬɜɢɣ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,

(31, 12,..., 5k, 1k+1), (31, 12,..., 5k, 2k+1),

(31, 12,..., 5k, mk+1).

Ɂɧɚɱɢɬ, ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ Sk+1 ɜɫɟɯ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ k 1 ɞɟɣɫɬɜɢɣ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɨ

Sk+1 Sku mk+1 m1um2u umku mk+1.

ɂɬɚɤ, ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ (7.1) ɜɟɪɧɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ n.

ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɩɪɢɦɟɪɟ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɝɪɭɩɩ ɞɥɹ ɜɵɟɡɞɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨ ɩɪɨɢɫɲɟɫɬɜɢɹ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ k 3 ɞɟɣɫɬɜɢɹɦɢ:

ɩɟɪɜɨɟ – ɜɵɛɨɪ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɹ, m1 3, ɜɬɨɪɨɟ – ɜɵɛɨɪ ɨɩɟɪɚɬɢɜɧɢɤɚ, m2 2, ɬɪɟɬɶɟ – ɜɵɛɨɪ ɷɤɫɩɟɪɬɚ, m3 3.

ɉɪɢ ɷɬɨɦ S3 18. Ⱦɨɛɚɜɢɦ ɜ ɫɨɫɬɚɜ ɝɪɭɩɩɵ ɜɨɞɢɬɟɥɹ, ɤɨɬɨɪɵɯ ɜ ɈȼȾ ɞɜɨɟ. Ɍɟɩɟɪɶ ɩɪɢ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɢ ɝɪɭɩɩ ɩɪɢɞɟɬɫɹ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶ ɢ ɱɟɬɜɟɪɬɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɞɜɭɦɹ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ (m4 2), ɢ S4 S3u m4 36.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɟɳɟ ɢ ɬɚɤɭɸ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ. ɂɦɟɟɦ r ɦɧɨɠɟɫɬɜ Dj ɦɨɳɧɨɫɬɶɸ nj ɤɚɠɞɨɟ (j 1,r ). ɂɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɬɚɤɢɟ, ɱɬɨ ɜ ɞɚɧɧɭɸ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɸ ɜɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ ɤɚɠɞɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ. Ɍɨɝɞɚ ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ Kr ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ ɬɚɤɨɝɨ ɪɨɞɚ ɪɚɜɧɨ

ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɫɟɛɟ ɬɚɤɭɸ ɤɚɪɬɢɧɭ. Ʉɚɠɞɭɸ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɸ ɧɚɛɢɪɚɸɬ ɜ ɫɬɪɨɤɟ ɢɡ r ɹɱɟɟɤ, ɚ ɤɚɠɞɚɹ ɹɱɟɣɤɚ ɧɨɦɟɪ j ɷɬɨɣ ɫɬɪɨɤɢ ɡɚɩɨɥɧɹɟɬɫɹ

ɬɨɥɶɤɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ ɢɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Dj (j 1,r ). ɉɟɪɜɚɹ ɹɱɟɣɤɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɨɥɧɟɧɚ ɥɸɛɵɦ ɢɡ n1 ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ D1, ɜɬɨɪɚɹ – ɥɸɛɵɦ ɢɡ n2 ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ D2 ɢ ɬ. ɞ., ɩɨɫɥɟɞɧɹɹ r-ɹ ɹɱɟɣɤɚ – ɥɸɛɵɦ ɢɡ nr ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Dr. ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɥɹ ɨɛɳɟɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ Kr ɮɨɪɦɭɥɭ (7.2).

ɂ ɫɧɨɜɚ ɩɪɢɦɟɪ. ɂɡ ɨɬɥɢɱɧɢɤɨɜ ɩɟɪɜɨɝɨ ɤɭɪɫɚ ɊȺɉ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɤɨɦɚɧɞɭ ɞɥɹ ɭɱɚɫɬɢɹ ɜ ɝɨɪɨɞɫɤɨɣ ɨɥɢɦɩɢɚɞɟ ɩɨ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɨɧɧɵɦ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɹɦ. ȼ ɤɨɦɚɧɞɭ ɜɯɨɞɢɬ ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɨɬɥɢɱɧɢɤɭ ɢɡ ɬɪɟɯ ɝɪɭɩɩ.

91

ɋɤɨɥɶɤɨ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɤɨɦɚɧɞ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ, ɟɫɥɢ ɜ ɩɟɪɜɨɣ ɝɪɭɩɩɟ 6 ɨɬɥɢɱɧɢɤɨɜ, ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ – 4 ɢ ɜ ɬɪɟɬɶɟɣ – 5.

Ɋɟɲɟɧɢɟ. Ɂɞɟɫɶ D1 – ɨɬɥɢɱɧɢɤɢ ɩɟɪɜɨɣ ɝɪɭɩɩɵ (n1 6) , D2 – ɨɬɥɢɱɧɢɤɢ ɜɬɨɪɨɣ (n2 4), D3 – ɨɬɥɢɱɧɢɤɢ ɬɪɟɬɶɟɣ ɝɪɭɩɩɵ (n3 5). Ɂɧɚɱɢɬ, K3 6u4u5 120.

ɉɪɚɜɢɥɨ ɫɥɨɠɟɧɢɹ. ȿɳɟ ɩɪɢɦɟɪ. ɂɡ ɨɬɥɢɱɧɢɤɨɜ ɩɟɪɜɨɝɨ ɤɭɪɫɚ ɊȺɉ ɧɭɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɨɞɧɨɝɨ. ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɢɬɶ ɷɬɭ ɡɚɞɚɱɭ?

Ɋɟɲɟɧɢɟ. ȼɵɛɪɚɬɶ ɨɞɧɨɝɨ ɨɬɥɢɱɧɢɤɚ ɢɡ ɩɟɪɜɨɣ ɝɪɭɩɩɵ ɦɨɠɧɨ n1 6 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɢɡ ɜɬɨɪɨɣ – n2 4 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɢɡ ɬɪɟɬɶɟɣ – n3 5 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. Ɉɬɥɢɱɧɢɤ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɂɅɂ ɢɡ ɩɟɪɜɨɣ ɝɪɭɩɩɵ, ɂɅɂ ɢɡ ɜɬɨɪɨɣ, ɂɅɂ ɢɡ ɬɪɟɬɶɟɣ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɨɞɢɧ ɜɵɛɨɪ ɢɫɤɥɸɱɚɟɬ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɨɛɳɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɜɵɛɪɚɬɶ ɨɞɧɨɝɨ ɨɬɥɢɱɧɢɤɚ ɪɚɜɧɨ

n1 n2 n3 15.

ɗɬɨɬ ɩɪɢɦɟɪ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɩɪɚɜɢɥɨ ɫɥɨɠɟɧɢɹ.

ɂɦɟɟɦ j ɞɟɣɫɬɜɢɣ, ɩɟɪɜɨɟ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɟɚɥɢɡɭɟɬɫɹ m1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɜɬɨɪɨɟ – m2 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɢ ɬ.ɞ., ɧɚɤɨɧɟɰ, j-ɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ mj ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. ȼɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɢɡ ɧɢɯ: ɂɅɂ ɩɟɪɜɨɟ, ɂɅɂ ɜɬɨɪɨɟ, ɂɅɂ ɂɅɂ j-ɟ. ɗɬɨ ɨɞɧɨ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ Cj ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ:

Cj m1 m2 mj.

ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ, ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹ, ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ. ɉɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɤɨɦɛɢ-

ɧɚɬɨɪɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɢɦɟɸɬ ɞɟɥɨ ɫ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹɦɢ ɢɡ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. ɗɬɢ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɦɨɝɭɬ ɨɬɥɢɱɚɬɶɫɹ ɨɞɧɚ ɨɬ ɞɪɭɝɨɣ ɱɢɫɥɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɢɯ ɫɨɫɬɚɜɨɦ ɢɥɢ ɩɨɪɹɞɤɨɦ. ɉɭɫɬɶ ɡɚɞɚɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢ ɫɬɪɨɤɚ ɢɡ k ɹɱɟɟɤ. ɉɪɨɧɭɦɟɪɭɟɦ ɹɱɟɣɤɢ ɨɬ 1 ɞɨ k.

ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɨɣ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɬɨ ɢɥɢ ɢɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɫɬɪɨɤɟ ɢɡ k n ɹɱɟɟɤ.

Ɉɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɤɚɤ Pn ɢ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɬɚɤ:

Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɜɫɹɤɭɸ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ n ɞɟɣɫɬɜɢɣ: ɩɟɪɜɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ – ɜɵɛɨɪ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɜ ɩɟɪɜɭɸ ɹɱɟɣɤɭ ɫɬɪɨɤɢ, ɜɬɨɪɨɟ – ɜɵɛɨɪ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɜɨ ɜɬɨɪɭɸ ɹɱɟɣɤɭ ɢ ɬ. ɞ., ɧɚɤɨɧɟɰ, ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ n-ɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ – ɡɚɩɨɥɧɟɧɢɟ ɩɨɫɥɟɞɧɟɣ ɹɱɟɣɤɢ ɫɬɪɨɤɢ. ɉɟɪɜɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɚ ɢɦɟɧɧɨ, ɩɨɦɟɫɬɢɬɶ ɜ ɩɟɪɜɭɸ ɹɱɟɣɤɭ ɥɸɛɨɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. ȼɬɨɪɭɸ ɹɱɟɣɤɭ ɡɚɩɨɥɧɹɸɬ ɥɸɛɵɦ ɢɡ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ n 1 ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɬɨ ɟɫɬɶ n 1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. Ʉɚɠɞɚɹ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɹɱɟɣɤɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɨɥɧɟɧɚ ɱɢɫɥɨɦ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ

92

ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɩɪɟɞɵɞɭɳɚɹ. ɉɨɫɥɟɞɧɹɹ ɹɱɟɣɤɚ ɡɚɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ – ɩɨɫɥɟɞɧɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ. Ɂɧɚɱɢɬ, ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ

Pn nu(n 1)u u1 n!.

ɇɚɩɨɦɧɢɦ, ɱɬɨ ɡɚɩɢɫɶɸ n! ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɮɚɤɬɨɪɢɚɥ, ɱɬɨ (n 1)! n!u(n 1),

ɱɬɨ 0! 1.

ɉɪɢɦɟɪ. Ɉɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɥɢɰ, ɩɪɟɞɴɹɜɥɹɟɦɵɯ ɞɥɹ ɨɩɨɡɧɚɧɢɹ, ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɧɟ ɦɟɧɟɟ ɬɪɟɯ. ɉɟɪɟɞ ɧɚɱɚɥɨɦ ɨɩɨɡɧɚɧɢɹ ɨɩɨɡɧɚɜɚɟɦɨɦɭ ɩɪɟɞɥɚɝɚɟɬɫɹ ɡɚɧɹɬɶ ɥɸɛɨɟ ɦɟɫɬɨ ɫɪɟɞɢ ɩɪɟɞɴɹɜɥɹɟɦɵɯ ɥɢɰ (ɍɉɄ, ɫɬ.193, ɱ.4). ɋɤɨɥɶɤɨ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɭ ɨɩɨɡɧɚɜɚɟɦɨɝɨ ɡɚɧɹɬɶ ɥɸɛɨɟ ɦɟɫɬɨ ɫɪɟɞɢ ɬɪɟɯ ɩɪɟɞɴɹɜɥɹɟɦɵɯ ɥɢɰ, ɫɪɟɞɢ ɱɟɬɵɪɟɯ?

Ɋɟɲɟɧɢɟ. Ɂɞɟɫɶ ɜɫɹɤɢɣ ɜɚɪɢɚɧɬ ɩɪɟɞɴɹɜɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɨɩɨɡɧɚɧɢɹ n ɥɢɰ – ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ Pn ɢɡ n {4,5}. Ɂɧɚɱɢɬ, P4 4u3u2u1 24, ɚ P5 P4u5 120.

Ɋɚɡɦɟɳɟɧɢɟɦ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɨ ɢɥɢ ɢɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɫɬɪɨɤɟ ɢɡ k ɹɱɟɟɤ.

Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɟ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɩɨɥɭɱɚɸɬ ɬɚɤ: ɤɚɤɢɦɥɢɛɨ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɢɡ ɡɚɞɚɧɧɵɯ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɵɛɢɪɚɸɬ k ɢ, ɬɚɤ ɢɥɢ ɢɧɚɱɟ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɢɯɜ k ɠɟ ɹɱɟɣɤɚɯ.

Ɉɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɤɚɤ Akn ɢ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

ɗɬɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɮɨɪɦɭɥɚ (7.3). Ʉɚɠɞɨɟ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɟ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ k ɞɟɣɫɬɜɢɣ. ɉɟɪɜɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ – ɜɵɛɨɪ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɞɥɹ ɡɚɩɨɥɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɣ ɹɱɟɣɤɢ ɫɬɪɨɤɢ. Ɉɧɨ ɪɟɚɥɢɡɭɟɬɫɹ n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. ȼɬɨɪɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ – ɡɚɩɨɥɧɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɣ ɹɱɟɣɤɢ ɪɟɚɥɢɡɭɟɬɫɹ n 1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. ɉɨɫɥɟɞɧɟɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ – ɡɚɩɨɥɧɟɧɢɟ ɩɨɫɥɟɞɧɟɣ k-ɣ ɹɱɟɣɤɢ ɪɟɚɥɢɡɭɟɬɫɹ n k 1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɮɨɪɦɭɥɭ (7.4) ɞɥɹ Akn . ɂɧɨɝɞɚ ɟɟ ɭɞɨɛɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɬɚɤ:

ɉɪɢɦɟɪ. Ɉɱɟɜɢɞɟɰ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɧɨɝɨ ɩɪɨɢɫɲɟɫɬɜɢɹ ɡɚɩɨɦɧɢɥ ɥɢɲɶ ɬɨ, ɱɬɨ ɜɫɟ ɬɪɢ ɰɢɮɪɵ ɧɨɦɟɪɚ ɦɚɲɢɧɵ ɧɚɪɭɲɢɬɟɥɹ ɛɵɥɢ ɪɚɡɧɵɦɢ, ɚ ɩɟɪɜɨɣ ɰɢɮɪɨɣ ɛɵɥɚ 4. ɋɤɨɥɶɤɨ ɦɚɲɢɧ ɞɨɥɠɧɚ ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɚɜɬɨɢɧɫɩɟɤɰɢɹ?

Ɋɟɲɟɧɢɟ. ȼɬɨɪɨɣ ɢ ɬɪɟɬɶɟɣ ɰɢɮɪɚɦɢ ɧɨɦɟɪɚ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɥɸɛɵɟ ɞɜɟ ɢɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. ȼɵɛɪɚɜ ɥɸɛɭɸ ɩɚɪɭ ɰɢɮɪ,

93

ɩɨɥɭɱɚɸɬ ɧɨɦɟɪ ɤɚɤɨɝɨ-ɬɨ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɹ. Ɍɚɤ, ɩɚɪɚ {5, 7} ɞɚɟɬ ɧɨɦɟɪ 457, ɚ ɩɚɪɚ {7,5} – ɧɨɦɟɪ 475. Ɂɧɚɱɢɬ, ɧɭɠɧɨ ɩɟɪɟɛɪɚɬɶ ɜɫɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɢɡ ɞɟɜɹɬɢ ɰɢɮɪ ɩɨ ɞɜɟ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɪɢɞɟɬɫɹ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ

A92 9u8 72 ɦɚɲɢɧɵ.

ɋɨɱɟɬɚɧɢɟɦ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɫɹ-

ɉɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɜ ɨɞɧɨɦ ɫɨɱɟɬɚɧɢɢ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɜɵɛɨɪɤɚ ɢɡ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɚ. ȿɫɥɢ ɠɟ ɷɬɭ ɨɞɧɭ ɜɵɛɨɪɤɭ ɧɚɱɚɬɶ ɭɩɨɪɹɞɨɱɢɜɚɬɶ (ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɬɶ k ɟɟ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɹɱɟɣɤɚɦ ɫɬɪɨɤɢ), ɬɨ ɢɡ ɤɚɠɞɨɝɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɩɨɥɭɱɢɦ Pk ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ. Ⱥ ɜɫɟɝɨ ɬɚɤɢɯ ɩɟɪɟɫɬɚ-

ɧɨɜɨɤ ɛɭɞɟɬ Ckn , ɬɨ ɟɫɬɶ

Akn PkuCkn .

Ɉɬɫɸɞɚ ɢ ɫɥɟɞɭɟɬ ɮɨɪɦɭɥɚ (7.6). Ɉɧɚ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ Ckn ɜ Pk ɪɚɡ

ɉɪɢɦɟɪ. Ⱦɥɹ ɭɱɚɫɬɢɹ ɜ ɩɪɨɰɟɞɭɪɟ ɨɩɨɡɧɚɧɢɹ ɢɡ ɜɨɫɶɦɢ ɩɨɞɯɨɞɹɳɢɯ ɫɨɬɪɭɞɧɢɤɨɜ ɈȼȾ ɜɫɹɤɢɣ ɪɚɡ ɜɵɛɢɪɚɸɬ ɬɪɨɢɯ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɬɪɨɟɤ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɢɡ ɷɬɢɯ ɜɨɫɶɦɢ ɫɨɬɪɭɞɧɢɤɨɜ?

Ɋɟɲɟɧɢɟ. Ʉɚɠɞɚɹ ɬɪɨɣɤɚ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɫɨɬɪɭɞɧɢɤɨɜ ɧɢɤɚɤ ɧɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɚ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɸ ɫɨɱɟɬɚɧɢɟ ɢɡ n 8 ɩɨ k 3. ȼɫɟɝɨ ɠɟ ɬɚɤɢɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɛɭɞɟɬ

ɍɤɚɠɟɦ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ. 1. Cn0 1.

ɗɬɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɬɨɝɨ ɮɚɤɬɚ, ɱɬɨ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ 0! 1.

94

2. Cnn 1.

ɗɬɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɥɟɝɤɨ ɩɨɞɬɜɟɪɠɞɚɟɬɫɹ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɣ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɨɣ ɜ (7.6) k n.

3. Ckn Cnn k .

ɗɬɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɩɪɹɦɨ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɮɨɪɦɭɥɵ (7.7):

7.2. Случайные события

Ɉɤɪɭɠɚɸɳɢɣ ɧɚɫ ɦɢɪ ɩɨɥɨɧ ɬɚɤɢɯ ɹɜɥɟɧɢɣ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɢɦɟɸɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɫɬɪɟɥɶɛɚ ɢɡ ɨɪɭɞɢɹ, ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɨɝɨ ɩɨɞ ɭɝɥɨɦ ɤ ɝɨɪɢɡɨɧɬɭ (ɪɢɫ. 7.2). Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɫɧɚɪɹɞɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɸ ɩɚɪɚɛɨɥɭ

ɪɵ ɩɪɢ ɜɵɜɨɞɟ ɮɨɪɦɭɥɵ (7.8) ɧɟ ɭɱɢɬɵɜɚɸɬɫɹ, ɞɚ ɢ ɜɪɹɞ ɥɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɭɱɬɟɧɵ.

ɂɬɚɤ, ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ ɹɜɥɟɧɢɟ ɩɪɢ ɦɧɨɝɨɤɪɚɬɧɨɦ ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɢ ɩɪɨɬɟɤɚɟɬ ɜɫɹɤɢɣ ɪɚɡ ɩɨ-ɧɨɜɨɦɭ. ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ, ɫɥɨɠɧɨɫɬɢ, ɦɧɨɝɨɩɪɢɱɢɧɧɨɫɬɢ, ɩɪɢɫɭɳɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɹɜɥɟɧɢɹɦ, ɬɪɟɛɭɸɬ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɞɥɹ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɹɜɥɟɧɢɣ. Ɍɚɤɢɟ ɦɟɬɨɞɵ ɢ ɪɚɡɪɚɛɚɬɵɜɚɸɬɫɹ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ. ɉɪɟɞɦɟɬɨɦ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɩɟɰɢɮɢɱɟɫɤɢɟ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɚɛɥɸɞɚɸɬɫɹ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɹɯ.

95

ɉɪɚɤɬɢɤɚ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɱɬɨ ɜ ɛɨɥɶɲɨɣ ɦɚɫɫɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɨɛɧɚɪɭɠɢɜɚɸɬɫɹ ɜɩɨɥɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ, ɫɜɨɣɫɬɜɟɧɧɵɟ ɢɦɟɧɧɨ ɦɚɫɫɨɜɵɦ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɹɜɥɟɧɢɹɦ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɪɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɦ ɱɢɫɥɟ ɜɵɫɬɪɟɥɨɜ (ɪɢɫ. 7.2) ɬɨɱɤɢ ɪɚɡɪɵɜɚ ɫɧɚɪɹɞɨɜ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɬɨɱɤɢ ɐ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɜ ɩɨɥɧɨɦ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɟ, ɛɟɡ ɤɚɤɨɣɥɢɛɨ ɜɢɞɢɦɨɣ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ. ɉɨ ɦɟɪɟ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɜɵɫɬɪɟɥɨɜ

ɜɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɬɨɱɟɤ ɪɚɡɪɵɜɚ

ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɦɚɫɫɨɜɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ. Ɉɧɢ ɧɟ ɞɚɸɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɬɶ, ɤ ɱɟɦɭ ɩɪɢɜɟɞɟɬ ɨɬɞɟɥɶɧɨɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ ɹɜɥɟɧɢɟ, ɧɨ ɞɚɸɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɬɶ ɫɪɟɞɧɢɣ ɫɭɦɦɚɪɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɦɚɫɫɵ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɢɧɬɭɢɰɢɹ ɩɨɞɫɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɚ ɩɪɚɤɬɢɤɚ ɩɨɞɬɜɟɪɠɞɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɛɨɥɶɲɨɦ ɱɢɫɥɟ ɛɪɨɫɚɧɢɣ ɦɨɧɟɬɵ ɝɟɪɛ ɜɵɩɚɞɚɟɬ ɜ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɛɪɨɫɤɨɜ (ɩɟɪɜɵɟ ɞɜɟ ɫɬɪɨɤɢ ɜ ɬɚɛɥ. 7.1). ȿɫɥɢ ɠɟ ɫɞɟɥɚɬɶ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɛɪɨɫɤɨɜ, ɷɬɨɣ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ ɧɟ ɜɢɞɧɨ (ɩɨɫɥɟɞɧɹɹ ɫɬɪɨɤɚ ɜ ɬɚɛɥ. 7.1).

ȼɨ ɜɫɟɯ ɫɥɭɱɚɹɯ, ɤɨɝɞɚ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬɫɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ, ɢɯ ɰɟɥɶ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨɛɵ, ɦɢɧɭɹ ɫɥɢɲɤɨɦ ɫɥɨɠɧɨɟ (ɚ ɡɚɱɚɫɬɭɸ ɢ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨɟ) ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɨɬɞɟɥɶɧɨɝɨ ɹɜɥɟɧɢɹ, ɨɛɪɚɬɢɬɶɫɹ ɩɪɹɦɨ ɤ ɡɚɤɨɧɚɦ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɩɪɚɜɥɹɸɬ ɦɚɫɫɚɦɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ. ɗɬɢ ɡɚɤɨɧɵ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ ɧɚɭɱɧɵɣ ɩɪɨɝɧɨɡ ɜ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ, ɧɨ ɜ ɪɹɞɟ ɫɥɭɱɚɟɜ ɰɟɥɟɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɨ ɜɥɢɹɬɶ ɧɚ ɢɯ ɯɨɞ, ɨɝɪɚɧɢɱɢɜɚɬɶ ɫɮɟɪɭ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɫɬɢ.

ɉɨɞɨɛɧɨ ɞɪɭɝɢɦ ɨɬɪɚɫɥɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɬɟɨɪɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɪɨɞɢɥɚɫɶ ɢ ɪɚɡɜɢɜɚɥɚɫɶ ɢɡ ɩɨɬɪɟɛɧɨɫɬɟɣ ɩɪɚɤɬɢɤɢ. ɍɠɟ ɜ XVII ɜ. ɛɵɥɢ ɩɪɟɞɩɪɢɧɹɬɵ ɩɟɪɜɵɟ ɩɨɩɵɬɤɢ ɫɨɡɞɚɧɢɹ ɨɛɳɟɣ ɬɟɨɪɢɢ ɫɬɪɚɯɨɜɚɧɢɹ, ɨɫɧɨɜɚɧɧɨɣ ɧɚ ɚɧɚɥɢɡɟ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɟɣ ɬɚɤɢɯ ɦɚɫɫɨɜɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ, ɤɚɤ ɡɚɛɨɥɟɜɚɟɦɨɫɬɶ, ɫɦɟɪɬɧɨɫɬɶ ɥɸɞɟɣ, ɧɟɫɱɚɫɬɧɵɟ ɫɥɭɱɚɢ ɫ ɧɢɦɢ ɢ ɞɪ. ɇɨ ɤɚɤ ɨɬɪɚɫɥɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɬɟɨɪɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɫɮɨɪɦɢɪɨɜɚɥɚɫɶ ɨɬɧɸɞɶ ɧɟ ɧɚ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚɯ ɬɚɤɨɝɨ ɪɨɞɚ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɞɚɱ. ɗɬɢ ɡɚɞɚɱɢ ɱɪɟɡɜɵɱɚɣɧɨ ɫɥɨɠɧɵ, ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ, ɭɩɪɚɜɥɹɸɳɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɹɜɥɟɧɢɹɦɢ ɜ ɧɢɯ, ɩɪɨɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɬɱɟɬɥɢɜɨ, ɡɚɬɭɲɟɜɚɧɵ ɦɧɨɝɢɦɢ ɨɫɥɨɠɧɹɸɳɢɦɢ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ. ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɛɵɥɨ ɫɧɚɱɚɥɚ ɜɵɹɜɢɬɶ ɢ ɢɡɭɱɢɬɶ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɧɚ ɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɦ ɦɚɬɟɪɢɚɥɟ. ɂɫɬɨɪɢɱɟɫɤɢ ɬɚɤɢɦ ɦɚɬɟɪɢɚɥɨɦ ɨɤɚɡɚɥɢɫɶ ɚɡɚɪɬɧɵɟ ɢɝɪɵ. ɋɚɦɨ ɫɥɨɜɨ «ɚɡɚɪɬ» (ɮɪɚɧɰ. «le hasard») ɨɡɧɚɱɚɟɬ «ɫɥɭɱɚɣ». ɋɯɟɦɵ

96

ɚɡɚɪɬɧɵɯ ɢɝɪ ɞɚɸɬ ɢɫɤɥɸɱɢɬɟɥɶɧɵɟ ɩɨ ɩɪɨɫɬɨɬɟ ɢ ɩɪɨɡɪɚɱɧɨɫɬɢ ɦɨɞɟɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɢ ɩɨɧɵɧɟ ɩɪɢɦɟɪɵ ɢɡ ɨɛɥɚɫɬɢ ɚɡɚɪɬɧɵɯ ɢɝɪ ɲɢɪɨɤɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɩɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɤɚɤ ɭɩɪɨɳɟɧɧɵɟ ɦɨɞɟɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ. Ɍɚɤɢɟ ɩɪɢɦɟɪɵ ɜ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɦ ɢ ɧɚɝɥɹɞɧɨɦ ɜɢɞɟ ɢɥɥɸɫɬɪɢɪɭɸɬ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɢ ɩɪɚɜɢɥɚ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ (ɫɤɚɠɟɦ, ɬɚɛɥ. 7.1).

Ʉɚɤ ɢ ɜɫɹɤɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɧɚɭɤɚ, ɬɟɨɪɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɛɚɡɢɪɭɟɬɫɹ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɩɨɧɹɬɢɣ. ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɧɚɡɨɜɟɦ ɩɨɧɹɬɢɟɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ.

ɋɥɭɱɚɣɧɵɣ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (ɨɩɵɬ, ɢɫɩɵɬɚɧɢɟ, ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɟ) – ɷɬɨ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɹ ɬɨɣ ɢɥɢ ɢɧɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɹɜɥɟɧɢɹ.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɛɪɨɫɚɧɢɟ ɦɨɧɟɬɵ, ɢɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɤɭɛɢɤɚ, ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɫ ɤɨɥɨɞɨɣ ɤɚɪɬ, ɫɬɪɟɥɶɛɚ ɩɨ ɦɢɲɟɧɢ, ɨɰɟɧɤɚ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɩɪɟɫɬɭɩɧɨɫɬɢ ɜ ɬɨɦ ɢɥɢ ɢɧɨɦ ɪɟɝɢɨɧɟ ɡɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɫɪɨɤ ɢ ɞɪ.

ɋɥɟɞɭɸɳɟɟ ɩɨɧɹɬɢɟ – ɫɨɛɵɬɢɟ.

Ʌɸɛɨɣ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɨɛɵɬɢɟɦ.

ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɩɪɢɦɟɪɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ:

Ⱥ – ɜɵɩɚɞɟɧɢɟ ɝɟɪɛɚ ɩɪɢ ɨɞɧɨɤɪɚɬɧɨɦ ɛɪɨɫɤɟ ɦɨɧɟɬɵ, ȼ – ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɬɪɟɯ ɪɟɲɟɬɨɤ ɩɪɢ ɬɪɟɯ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɛɪɨɫɤɚɯ

ɦɨɧɟɬɵ, ɋ – ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɬɭɡɚ ɩɪɢ ɜɵɧɢɦɚɧɢɢ ɤɚɪɬɵ ɢɡ ɤɨɥɨɞɵ,

D – ɩɨɪɚɠɟɧɢɟ ɦɢɲɟɧɢ ɩɪɢ ɜɵɫɬɪɟɥɟ,

ȿ – ɮɢɤɫɚɰɢɹ ɛɨɥɟɟ 100 ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɣ ɜ ɪɟɝɢɨɧɟ ɡɚ ɫɭɬɤɢ.

Ɋɚɡɥɢɱɚɸɬ ɫɨɛɵɬɢɹ ɫɨɫɬɚɜɧɵɟ ɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɬɚɤɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɤɚɤ «ɋɭɦɦɚ ɨɱɤɨɜ, ɜɵɩɚɜɲɢɯ ɩɪɢ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɞɜɭɯ ɢɝɪɚɥɶɧɵɯ ɤɭɛɢɤɨɜ, ɪɚɜɧɚ ɲɟɫɬɢ» ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ, ɤɨɝɞɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɛɪɨɫɚɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɥɸɛɚɹ ɩɚɪɚ ɱɢɫɟɥ:

{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}.

ɗɬɨ ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɢɟ ɪɚɡɛɢɜɚɟɬ ɫɨɫɬɚɜɧɨɟ (ɫɥɨɠɧɨɟ) ɫɨɛɵɬɢɟ «ɋɭɦɦɚ ɨɱɤɨɜ ɪɚɜɧɚ ɲɟɫɬɢ» ɧɚ ɩɹɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ. Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ

{(1,1), (1,3),..., (3,3),..., (5,5)}

ɫɭɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɬɚɤɨɝɨ ɫɥɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɤɚɤ «ȼɵɩɚɥɢ ɞɜɚ ɧɟɱɟɬɧɵɯ ɱɢɫɥɚ». Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ {3,3} ɜɯɨɞɢɬ ɜ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɩɟɪɜɨɝɨ, ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɢɡ ɫɨɫɬɚɜɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ.

ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ – ɷɬɨ ɤɚɠɞɵɣ ɧɟɪɚɡɥɨɠɢɦɵɣ ɢɫɯɨɞ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ.

97

ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɚɥɶɲɟ ɩɨɥɚɝɚɟɦ, ɱɬɨ ɬɟɪɦɢɧɵ «ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ» ɢ «ɢɫɯɨɞ» – ɫɢɧɨɧɢɦɵ.

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɜɡɚɢɦɧɨ ɢɫɤɥɸɱɚɸɳɢɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ

ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɫɢɦɜɨɥɨɦ :. ɋɚɦɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɬɨɱɤɚɦɢ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ :. ɂɫɯɨɞɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɜɡɚɢɦɧɨ ɢɫɤɥɸɱɚɸɳɢɦɢ, ɤɨɝɞɚ ɩɪɢ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɢ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɧɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ.

ɂɡ ɫɤɚɡɚɧɧɨɝɨ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ A ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɸ ɬɨ ɢɥɢ ɢɧɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ :. Ƚɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɫɨɛɵɬɢɟ A ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ, ɟɫɥɢ ɨɩɵɬ ɡɚɤɚɧɱɢɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɵɦ ɢɡ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɜ ɫɨɫɬɚɜ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A.

ɋɨɫɬɚɜɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɜɤɥɸɱɚɟɬ ɜ ɫɟɛɹ ɜɫɟ ɢɫɯɨɞɵ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ :, ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɥɸɛɨɣ ɨɩɵɬ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɡɚɜɟɪɲɚɟɬɫɹ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ ɢɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ :. Ɉɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɬɟɦ ɠɟ ɫɢɦɜɨɥɨɦ :.

Ⱦɥɹ ɩɨɥɧɨɬɵ ɤɚɪɬɢɧɵ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɜɜɨɞɹɬ ɜ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟ ɢ ɬɚɤɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ, ɜ ɫɨɫɬɚɜɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɝɨ ɢɫɯɨɞɚ. ȿɝɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɤɚɤ .

ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɩɪɢɦɟɪɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɨɜ, ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɢɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ.

1. Ɇɨɧɟɬɭ ɛɪɨɫɚɸɬ ɞɜɚ ɪɚɡɚ ɩɨɞɪɹɞ (ɦɨɧɟɬɚ – ɬɨɧɤɢɣ, ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɣ ɤɪɭɝ). Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ:

: {(Ɋ,Ɋ), (Ɋ,Ƚ), (Ƚ,Ɋ), (Ƚ,Ƚ)},

ɝɞɟ Ɋ – ɜɵɩɚɞɟɧɢɟ ɪɟɲɟɬɤɢ, Ƚ – ɜɵɩɚɞɟɧɢɟ ɝɟɪɛɚ.

ɋɨɛɵɬɢɟ «ȼɵɩɚɥ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɝɟɪɛ» – ɷɬɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ {(Ɋ,Ƚ), (Ƚ,Ɋ), (Ƚ,Ƚ)}. ɋɨɛɵɬɢɟ «ȼɵɩɚɥɨ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɨɞɧɨɣ ɪɟɲɟɬɤɢ» – ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ {(Ɋ,Ƚ), (Ƚ,Ɋ), (Ƚ,Ƚ)}.

2. Ȼɪɨɫɚɧɢɟ ɢɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɤɭɛɢɤɚ (ɢɞɟɚɥɶɧɨɝɨ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɤɭɛɚ). Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ:

: {1,2,3,4,5,6},

ɡɞɟɫɶ ɱɢɫɥɨ ɜ ɫɤɨɛɤɚɯ – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɵɩɚɜɲɢɯ ɨɱɤɨɜ.

ɋɨɛɵɬɢɟ «ȼɵɩɚɥɨ ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɨɱɤɨɜ» – {2,4,6}. ɋɨɛɵɬɢɟ «ȼɵɩɚɥɨ ɦɟɧɟɟ ɬɪɟɯ ɨɱɤɨɜ» – {1,2}.

Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɚɞ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ. Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɫɨɛɵɬɢɹ – ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɢ ɚɥɝɟɛɪɚ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɚɹ ɚɥɝɟɛɪɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜ.

98

ɋɭɦɦɨɣ ɫɨɛɵɬɢɣ A ɢ B ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɨɛɵɬɢɟ C, ɤɨɬɨɪɨɟ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɜɫɟɯ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɢɥɢ ɜ A, ɢɥɢ ɜ B, ɢɥɢ ɜ ɨɛɚ ɷɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ ɫɪɚɡɭ.

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɫɭɦɦɭ ɫɨɛɵɬɢɣ ɬɚɤ:

C A B.

Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ A B ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ A ɢɥɢ B (ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ ɢɥɢ A, ɢɥɢ B, ɢɥɢ ɨɛɚ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ).

ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɫɨɛɵɬɢɣ A ɢ B ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɨɛɵɬɢɟ C, ɤɨɬɨɪɨɟ ɜɤɥɸɱɚɟɬ ɜ ɫɟɛɹ ɜɫɟ ɢɫɯɨɞɵ, ɜɯɨɞɹɳɢɟ ɤɚɤ ɜ A, ɬɚɤ ɢ ɜ B.

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɣ ɬɚɤ:

C AuB.

ɂɧɚɱɟ, ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟɫɨɛɵɬɢɹ AuB ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨɫɨɛɵɬɢɹ A ɢ B ɩɪɨɢɡɨɲɥɢ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ.

ɋɨɛɵɬɢɟɦ, ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɦ ɞɥɹ A, ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɬɚɤɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ :, ɜ ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɟ ɜɯɨɞɢɬ ɧɢ ɨɞɢɧ ɢɫɯɨɞ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɣ ɫɨɛɵɬɢɸ A.

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɫɨɛɵɬɢɟ, ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɟ ɞɥɹ A, ɤɚɤ ºA. ɇɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ºA ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɫɨɛɵɬɢɟ A ɧɟ ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ.

ɋɨɛɵɬɢɹ A ɢ B ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɧɟɬ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɤɚɤ ɜ A, ɬɚɤ ɢ ɜ B, ɬɨ ɟɫɬɶ

AuB .

Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɣ A ɢ B ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɨɧɢ ɧɟ ɦɨɝɭɬ ɧɚɫɬɭɩɢɬɶ ɜ ɨɞɧɨɦ ɨɩɵɬɟ (ɫɨɜɦɟɫɬɧɨ, ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ), ɱɬɨ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɢɫɤɥɸɱɚɟɬ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɞɪɭɝɨɝɨ ɜ ɨɞɧɨɦ ɨɩɵɬɟ.

ɋɨɛɵɬɢɹ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɵɣ ɧɚɛɨɪ, ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵ, ɚ ɢɯ ɫɭɦɦɚ ɟɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ :.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ ɭɪɧɟ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɤɪɚɫɧɵɟ, ɠɟɥɬɵɟ ɢ ɫɢɧɢɟ ɲɚɪɵ. ɋɨɛɵɬɢɹ «ɜɵɧɭɬ ɤɪɚɫɧɵɣ ɲɚɪ», «ɜɵɧɭɬ ɠɟɥɬɵɣ ɲɚɪ», «ɜɵɧɭɬ ɫɢɧɢɣ ɲɚɪ» ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɵɣ ɧɚɛɨɪ. Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤ, ɩɪɢ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɢɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɤɭɛɢɤɚ ɫɨɛɵɬɢɹ «ɜɵɩɚɥɨ ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ» ɢ «ɜɵɩɚɥɨ ɧɟɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ» ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɩɨɥɧɵɣ ɧɚɛɨɪ. ɇɚɪɹɞɭ ɫ ɬɟɪɦɢɧɨɦ «ɩɨɥɧɵɣ ɧɚɛɨɪ ɫɨɛɵɬɢɣ» ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɬɟɪɦɢɧ «ɩɨɥɧɚɹ ɝɪɭɩɩɚ ɫɨɛɵɬɢɣ».

99