Математика для юристов - Д.А. Ловцова

ɡɵɜɚɸɬ ɨɫɧɨɜɚɧɢɟɦ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ. ȼ ɞɟɫɹɬɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɟɥ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɞɟɫɹɬɶ ɚɪɚɛɫɤɢɯ ɰɢɮɪ {0,1,...,9}. ɋɦɵɫɥ ɫɥɨɜɚ ɩɨɡɢɰɢɨɧɧɚɹ ɩɨɹɫɧɢɦ ɩɪɢɦɟɪɨɦ. Ɂɚɩɢɫɢ 333 ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɱɢɫɥɨ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɨɟ ɬɚɤɨɣ ɫɭɦɦɨɣ:

3u102 3u101 3u100.

Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɚ ɨɞɧɚ ɰɢɮɪɚ 3. ɇɨ ɟɟ ɜɟɫ (ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ ɜ ɫɭɦɦɟ) ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɦɟɫɬɚ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɷɬɚ ɰɢɮɪɚ ɡɚɧɢɦɚɟɬ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɥɚ. ɋɚɦɚɹ ɥɟɜɚɹ ɰɢɮɪɚ ɜɟɫɢɬ 102 100, ɚ ɫɚɦɚɹ ɩɪɚɜɚɹ ɬɪɨɣɤɚ ɢɦɟɟɬ ɜɟɫ 100 1. ɇɟɪɟɞɤɨ ɩɢɲɭɬ, ɱɬɨ

3u102 3u101 3u100 333,

ɬɨ ɟɫɬɶ ɨɬɨɠɞɟɫɬɜɥɹɸɬ ɱɢɫɥɨ ɫ ɟɝɨ ɡɚɩɢɫɶɸ. ɗɬɨ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɧɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ, ɤɚɤ ɛɵɥɨ ɫɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɱɚɳɟ ɨɩɟɪɢɪɭɸɬ ɧɟ ɫ ɫɚɦɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ, ɚ ɫ ɢɯ ɡɚɩɢɫɹɦɢ.

ɂɬɚɤ, ɤɚɠɞɨɟ ɱɢɫɥɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɭɦɦɨɣ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɞɟɫɹɬɤɢ, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɭ ɤɚɠɞɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɛɭɞɟɬ ɬɚ ɢɥɢ ɢɧɚɹ ɢɡ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɯ ɰɢɮɪ. Ⱥ ɡɚɩɢɫɶ ɱɢɫɥɚ ɩɨɥɭɱɚɸɬ, ɜɵɩɢɫɚɜ ɩɨɞɪɹɞ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɫɭɦɦɵ. ɉɨɡɢɰɢɹ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɡɚɧɢɦɚɟɬ ɰɢɮɪɚ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɥɚ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɡɪɹɞɨɦ. Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɶ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɩɨɡɢɰɢɨɧɧɨɫɬɢ, ɭɞɨɛɧɨ ɩɪɨɧɭɦɟɪɨɜɚɬɶ ɪɚɡɪɹɞɵ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɥɚ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ: 323130. Ɋɚɡɪɹɞɵ ɫ ɧɨɦɟɪɚɦɢ (ɜɟɫɚɦɢ), ɛɨɥɶɲɢɦɢ, ɱɟɦ ɭ ɞɚɧɧɨɝɨ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɫɬɚɪɲɢɦɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɧɟɦɭ, ɚ ɪɚɡɪɹɞɵ, ɧɨɦɟɪɚ (ɜɟɫɚ) ɤɨɬɨɪɵɯ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɭ ɞɚɧɧɨɝɨ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɦɥɚɞɲɢɦɢ.

ɉɪɢɱɢɧɚ ɫɬɨɥɶ ɲɢɪɨɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɬɧɸɞɶ ɧɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ. Ⱦɟɫɹɬɶ ɩɚɥɶɰɟɜ ɪɭɤ

– ɜɨɬ ɩɪɢɪɨɞɧɵɣ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬ ɫɱɟɬɚ, ɤɨɬɨɪɵɦ ɱɟɥɨɜɟɤ ɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɫ ɞɪɟɜɧɟɣɲɢɯ ɜɪɟɦɟɧ. ɂɫɬɨɪɢɹ ɡɧɚɟɬ ɢ ɞɪɭɝɢɟ, ɨɬɥɢɱɧɵɟ ɨɬ ɞɟɫɹɬɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ. ɂɧɞɟɣɰɵ ɋɟɜɟɪɧɨɣ Ⱥɦɟɪɢɤɢ ɫɱɢɬɚɥɢ ɞɜɚɞɰɚɬɤɚɦɢ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɩɚɥɶɰɵ ɢ ɪɭɤ, ɢ ɧɨɝ. Ⱥɧɝɥɢɱɚɧɟ ɞɨ ɫɢɯ ɩɨɪ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɹɸɬɫɹ ɜɜɟɞɟɧɢɸ ɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɦɟɪ, ɭ ɧɢɯ ɞɜɟɧɚɞɰɚɬɶ ɞɸɣɦɨɜ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɨɞɢɧ ɮɭɬ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɱɟɬ ɜɟɞɟɬɫɹ ɞɸɠɢɧɚɦɢ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɚɥɚɧɝ ɱɟɬɵɪɟɯ (ɛɟɡ ɛɨɥɶɲɨɝɨ) ɩɚɥɶɰɟɜ ɪɭɤɢ.

ȼ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɚɯ ɱɢɫɥɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬɫɹ ɜ ɞɜɨɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ (ɤɨɦɩɶɸɬɟɪ ɫɱɢɬɚɟɬ ɞɜɨɣɤɚɦɢ). Ɂɞɟɫɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ – ɞɜɚ, ɰɢɮɪɵ ɞɥɹ ɡɚɩɢɫɢ ɞɜɨɢɱɧɵɯ ɱɢɫɟɥ {0,1}. Ɉɞɧɚɤɨ ɥɟɬ ɡɚ ɞɜɟɫɬɢ ɩɹɬɶɞɟɫɹɬ ɞɨ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɩɟɪɜɵɯ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɨɜ Ʌɟɣɛɧɢɰ (ɸɪɢɫɬ, ɤɚɤ ɦɵ ɡɧɚɟɦ) ɩɨɤɚɡɚɥ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɡɚɩɢɫɵɜɚɬɶ ɥɸɛɨɟ ɱɢɫɥɨ ɫɢɦɜɨɥɚɦɢ 0 ɢ 1. Ɉɧ ɛɵɥ ɚɤɬɢɜɧɵɦ ɩɪɨɩɚɝɚɧɞɢɫɬɨɦ ɞɜɨɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ ɤɚɤ ɫɚɦɨɣ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢ ɫɨɝɥɚɫɨɜɚɧɧɨɣ ɫ ɚɥɝɟɛɪɨɣ ɥɨɝɢɤɢ (ɬɚɦ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɬɨɠɟ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɨɞɧɨ ɢɡ ɞɜɭɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ: ɢɥɢ 0, ɢɥɢ 1).

31

ɧɚɯɨɞɢɦ ɬɚɤɨɟ n, ɤɨɝɞɚ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɹ: 2n+1dAd2n. Ɍɚɤ ɦɵ ɧɚɯɨɞɢɦ ɧɨɦɟɪ n ɫɬɚɪɲɟɝɨ ɪɚɡɪɹɞɚ ɜ ɞɜɨɢɱɧɨɣ ɡɚɩɢɫɢ (3.1), ɚ

ɡɧɚɱɢɬ, ɢ ɫɬɚɪɲɭɸ ɰɢɮɪɭ ɷɬɨɣ ɡɚɩɢɫɢ an 1n.

32

ɇɚɣɞɟɦ, ɞɥɹ ɩɪɢɦɟɪɚ, ɞɜɨɢɱɧɨɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ A 58.

ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ ɬɚɛɥ. 3.1, ɞɟɣɫɬɜɭɟɦ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɨɩɢɫɚɧɢɟɦ ɩɪɨɰɟɞɭɪɵ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ 10o2. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜ ɬɚɛɥ. 3.2.

Ɉɬɦɟɬɢɦ ɩɨɩɭɬɧɨ, ɱɬɨ ɩɨɫɥɟ ɬɨɝɨ, ɤɚɤ ɡɚɩɢɫɚɧɚ ɰɢɮɪɚ a4, ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɱɟɬɵɪɟ ɰɢɮɪɵ a3a2a1a0 ɢɫɤɨɦɨɣ ɡɚɩɢɫɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɢɡ ɤɨɥɨɧɤɢ m(2) ɬɚɛɥ. 3.1 ɤɚɤ ɞɜɨɢɱɧɨɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɩɨɫɥɟɞɧɟɣ ɪɚɡɧɨɫɬɢ Ad15. ȼ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɷɬɨ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ 13021100 – ɱɟɬɵɪɟɯɪɚɡɪɹɞɧɨɟ ɞɜɨɢɱɧɨɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɨɫɬɚɬɤɚ 10d15.

ɉɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ 2o10 ɜɵɩɨɥɧɹɸɬ ɬɚɤ. ɇɭɦɟɪɭɸɬ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɧɭɥɹ, ɪɚɡɪɹɞɵ ɞɜɨɢɱɧɨɣ ɡɚɩɢɫɢ ɫɩɪɚɜɚ ɧɚɥɟɜɨ, ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɩɨɥɢɧɨɦ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɞɜɨɣɤɢ, ɫɭɦɦɚ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɢ ɛɭɞɟɬ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɦ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɨɦ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɞɜɨɢɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ,

1010101 16051403120110 16u26 05u25 14u24 03u23 12u22 01u21 10u20 85.

Ⱦɜɨɢɱɧɵɟ ɡɚɩɢɫɢ ɞɚɠɟ ɧɟ ɨɱɟɧɶ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ ɫɥɢɲɤɨɦ ɞɥɢɧɧɵɟ. ȼ ɞɨɤɭɦɟɧɬɚɰɢɢ ɩɨ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɚɦ ɜɦɟɫɬɨ ɞɥɢɧɧɵɯ ɞɜɨɢɱɧɵɯ ɡɚɩɢɫɟɣ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɟɪɢɱɧɵɟ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɜɱɟɬɜɟɪɨ ɤɨɪɨɱɟ. ȼ ɤɨɥɨɧɤɟ m(16) ɬɚɛɥ. 3.1 ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɰɢɮɪɵ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɟɪɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ.

ɉɪɨɰɟɞɭɪɚ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ 2o16 ɧɢɤɚɤɢɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɧɟ ɬɪɟɛɭɟɬ ɢ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɬɚɤ. ɍɛɢɪɚɸɬ, ɟɫɥɢ ɷɬɨ ɧɭɠɧɨ, ɧɭɦɟɪɚɰɢɸ ɪɚɡɪɹɞɨɜ ɞɜɨɢɱɧɨɣ ɡɚɩɢɫɢ. ɉɨɬɨɦ, ɞɜɢɝɚɹɫɶ ɫɩɪɚɜɚ ɧɚɥɟɜɨ, ɪɚɡɛɢɜɚɸɬ ɞɜɨɢɱɧɭɸ ɡɚɩɢɫɶ ɧɚ ɝɪɭɩɩɵ ɩɨ ɱɟɬɵɪɟ ɪɚɡɪɹɞɚ ɜ ɝɪɭɩɩɟ. ɋɚɦɭɸ ɥɟɜɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɩɪɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɞɨɩɨɥɧɹɸɬ ɧɭɥɹɦɢ ɞɨ ɱɟɬɵɪɟɯ ɪɚɡɪɹɞɨɜ. Ⱦɚɥɟɟ ɤɚɠɞɭɸ ɱɟɬɜɟɪɤɭ ɞɜɨɢɱɧɵɯ ɰɢɮɪ ɡɚɦɟɧɹɸɬ ɨɞɧɨɣ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɟɪɢɱɧɨɣ (ɫɦ. ɞɜɟ ɥɟɜɵɟ ɤɨɥɨɧɤɢ ɬɚɛɥ. 3.1). ɇɚɩɪɢɦɟɪ,

18

ɉɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ 16o2 ɜɵɩɨɥɧɹɸɬ ɜ ɨɛɪɚɬɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ: ɤɚɠɞɭɸ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɟɪɢɱɧɭɸ ɰɢɮɪɭ ɡɚɦɟɧɹɸɬ ɱɟɬɜɟɪɤɨɣ ɞɜɨɢɱɧɵɯ:

F

72 1111 0111 0010.

Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɭɡɧɚɬɶ, ɱɬɨ ɫɤɪɵɜɚɟɬɫɹ ɡɚ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɟɪɢɱɧɨɣ ɡɚɩɢɫɶɸ, ɜɵɩɨɥɧɹɸɬ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ 16o10. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɫɧɚɱɚɥɚ ɧɭɦɟɪɭɸɬ ɪɚɡɪɹɞɵ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɟɪɢɱɧɨɣ ɡɚɩɢɫɢ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɧɭɥɟɜɨɝɨ ɩɪɚɜɨɝɨ. Ⱥ ɩɨɬɨɦ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɢ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɫɭɦɦɭ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɢ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɭ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɢ ɛɭɞɭɬ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɵ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɟɪɢɱɧɵɯ ɰɢɮɪ:

33

1

D5 12D150 12u162 13u161 5u160 469.

ɉɨɡɢɰɢɨɧɧɵɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɛɥɚɞɚɸɬ ɬɟɦ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɵɦ ɞɨɫɬɨɢɧɫɬɜɨɦ, ɱɬɨ ɜ ɧɢɯ ɜɟɫɶɦɚ ɩɪɨɫɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ. ɋɥɨɠɟɧɢɟ, ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɫɬɨɥɛɢɤɨɦ, ɩɭɬɟɦ ɩɨɪɚɡɪɹɞɧɵɯ ɞɟɣɫɬɜɢɣ ɧɚɞ ɰɢɮɪɚɦɢ ɜ ɡɚɩɢɫɹɯ ɱɢɫɟɥ. Ⱦɟɥɟɧɢɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɭɝɥɨɦ, ɧɨ ɤɚɠɞɭɸ ɰɢɮɪɭ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɩɨɥɭɱɚɸɬ ɨɩɹɬɶ-ɬɚɤɢ ɩɭɬɟɦ ɩɨɪɚɡɪɹɞɧɵɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɧɚɞ ɨɫɬɚɬɤɚɦɢ. Ɍɨ ɢɥɢ ɢɧɨɟ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɧɚɯɨɞɹɬ ɢ ɧɟɩɨɡɢɰɢɨɧɧɵɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ. Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɦ ɩɪɢɦɟɪɨɦ ɧɟɩɨɡɢɰɢɨɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɪɢɦɫɤɚɹ ɧɭɦɟɪɚɰɢɹ. ȼ ɧɟɣ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɰɢɮɪɵ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɟɟ ɩɨɡɢɰɢɢ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɥɚ. Ɍɚɤ, ɱɢɫɥɨ 333 ɜ ɪɢɦɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɡɚɩɢɫɶɸ CCCXXXIII. Ɂɞɟɫɶ ɰɢɮɪɚ C ɜɟɫɢɬ 100, ɝɞɟ ɛɵ ɨɧɚ ɧɢ ɫɬɨɹɥɚ, ɢ ɩɪɚɜɢɥɚ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɩɨɪɚɡɪɹɞɧɵɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɡɞɟɫɶ ɧɟ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɪɟɜɧɢɟ ɪɢɦɥɹɧɟ ɫ ɛɨɥɶɲɢɦ ɬɪɭɞɨɦ ɜɵɱɢɫɥɹɥɢ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɬɚɤɢɯ,

ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɱɢɫɟɥ DLXXIII ɢ CCXXVII (ɷɬɨ ɧɚɲɢ 573 ɢ 227).

3.2. Классы чисел

Ʉɚɤ ɦɵ ɡɧɚɟɦ, ɜɫɟ ɱɢɫɥɚ ɪɚɡɞɟɥɟɧɵ ɧɚ ɱɟɬɵɪɟ ɤɥɚɫɫɚ:

ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ N,

ɰɟɥɵɟ ɱɢɫɥɚ – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ Z,

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ Q,

ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ R.

ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɬɚɤɚɹ ɰɟɩɨɱɤɚ ɜɤɥɸɱɟɧɢɣ ɨɞɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɜ ɞɪɭɝɨɟ:

N Z Q R.

ȼɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ. ɗɬɨ ɫɚɦɵɣ ɲɢɪɨɤɢɣ ɤɥɚɫɫ ɱɢɫɟɥ. ȼɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ (ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ) ɱɢɫɥɚ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɫɩɥɨɲɧɨɣ ɦɚɫɫɢɜ ɬɨɱɟɤ ɧɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɩɪɹɦɨɣ. Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɱɢɫɥɚɦɢ (ɬɨɱɤɚɦɢ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ) ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɤɚɠɞɨɟ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɡɚɩɢɫɶɸ ɫ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɞɥɢɧɧɨɣ ɞɪɨɛɧɨɣ ɱɚɫɬɶɸ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɫ ɝɥɭɛɨɤɨɣ ɞɪɟɜɧɨɫɬɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɱɢɫɥɨ S, ɤɨɬɨɪɨɟ ɜɵɪɚɠɚɟɬ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɞɥɢɧɵ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɤ ɟɟ ɞɢɚɦɟɬɪɭ. ȿɳɟ ɨɞɧɨ ɲɢɪɨɤɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɟ ɱɢɫɥɨ e – ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ.

Ʌɸɛɚɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɧɚɞ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɨɩɟɪɚɧɞɚɦɢ ɢɦɟɟɬ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɟ ɠɟ ɱɢɫɥɨ. Ƚɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɤɥɚɫɫ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɡɚɦɤɧɭɬ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɫɟɯ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ.

34

ɍɤɚɠɟɦ ɧɚ ɬɚɤɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣ ɮɟɧɨɦɟɧ. Ȼɟɫɤɨɧɟɱɧɚɹ ɰɟɩɶ ɞɟɜɹɬɨɤ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɥɚ, ɧɚɱɢɧɚɸɳɚɹɫɹ ɫ ɪɚɡɪɹɞɚ ɧɨɦɟɪ k, ɪɚɜɧɚ ɟɞɢɧɢɰɟ ɜ ɫɨɫɟɞɧɟɦ ɫɬɚɪɲɟɦ ɪɚɡɪɹɞɟ ɧɨɦɟɪ k 1:

Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɡɚɩɢɫɢ ɢɡ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɰɟɩɨɱɤɢ ɞɟɜɹɬɨɤ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɭɦɦɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɢ ɫɨ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟɦ 10-1:

Ɋɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ. ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɪɚɛɨɬɚɬɶ ɫ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɩɨɬɨɦɭ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɟɥ ɨɬɜɨɞɢɬɫɹ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɟ ɦɟɫɬɨ. ɑɢɫɥɚ, ɡɚɩɢɫɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɢɦɟɸɬ ɤɨɧɟɱɧɭɸ ɞɥɢɧɭ, ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɤɥɚɫɫ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɂ ɷɬɨɬ ɤɥɚɫɫ ɱɢɫɟɥ ɡɚɦɤɧɭɬ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɫɟɯ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ.

ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ A ɢɡɨɛɪɚɠɚɟɬɫɹ ɬɚɤɨɣ ɡɚɩɢɫɶɸ:

A anan-1 a0.a-1a-2 a-ka-k-1a-k-2 a-m

. Ɂɞɟɫɶ anan-1 a0 – ɰɟɥɚɹ ɱɚɫɬɶ ɱɢɫɥɚ, a-1a-2 a-ka-k-1a-k-2 a-m – ɟɝɨ ɞɪɨɛɧɚɹ ɱɚɫɬɶ. Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɜɫɟ ɪɚɡɪɹɞɵ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɥɚ (ɢ ɞɪɨɛɧɨɣ ɱɚɫ-

ɬɢ ɬɨɠɟ) ɩɪɨɧɭɦɟɪɨɜɚɧɵ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ ɞɟɫɹɬɤɢ (ɪɚɡɪɹɞ ɧɨɦɟɪ ( 1) ɢɦɟɟɬ ɜɟɫ 10-1, ɪɚɡɪɹɞ ɧɨɦɟɪ ( 2) – ɜɟɫ 10-2 ɢ ɬ.ɞ.). Ɉɛɵɱɧɨ ɰɟɥɚɹ ɱɚɫɬɶ ɱɢɫɥɚ ɨɬɞɟɥɹɟɬɫɹ ɨɬ ɟɝɨ ɞɪɨɛɧɨɣ ɱɚɫɬɢ ɡɚɩɹɬɨɣ. ȼ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɪɚɡɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ ɬɨɱɤɚ. ɗɬɢɦ ɪɚɡɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɦɵ ɢ ɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ.

ɇɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ ɬɨɱɤɚɦɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɪɚɡɞɟɥɟɧɵ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟɦ ɜ 10-m, ɝɞɟ m – ɧɨɦɟɪ ɦɥɚɞɲɟɝɨ ɪɚɡɪɹɞɚ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɟɥ. Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɫɨɫɟɞɧɢɦɢ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɧɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɨɫɢ ɪɚɜɧɨ 1u10 m, ɚ ɢɦɟɧɧɨ, ɟɞɢɧɢɰɟ ɦɥɚɞɲɟɝɨ ɪɚɡɪɹɞɚ ɜ ɢɡ ɡɚɩɢɫɹɯ.

Ȼɟɫɤɨɧɟɱɧɵɟ ɡɚɩɢɫɢ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɞɚ ɢ ɩɪɨɫɬɨ ɞɥɢɧɧɵɟ ɡɚɩɢɫɢ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɭɤɨɪɚɱɢɜɚɬɶ. Ⱦɟɥɚɟɬɫɹ ɷɬɨ ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ. ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɦ ɷɬɨ ɩɪɚɜɢɥɨ.

ɉɭɫɬɶ m-ɪɚɡɪɹɞɧɭɸ ɞɟɫɹɬɢɱɧɭɸ ɞɪɨɛɶ

ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɤɪɭɝɥɢɬɶ ɞɨ k ɪɚɡɪɹɞɨɜ ɩɨɫɥɟ ɬɨɱɤɢ.

ɋɚɦɨɟ ɩɪɨɫɬɨɟ – ɷɬɨ ɨɬɛɪɨɫɢɬɶ ɫɨɞɟɪɠɢɦɨɟ ɥɢɲɧɢɯ ɦɥɚɞɲɢɯ ɪɚɡɪɹɞɨɜ (ɜ ɡɚɩɢɫɢ (3.2) ɨɧɢ ɡɚɥɢɬɵ ɫɟɪɵɦ ɰɜɟɬɨɦ):

35

A#Aɭɫɟɱ 0.a-1a-2 a-k.

Ɉɞɧɚɤɨ ɩɪɨɫɬɨ ɧɟ ɜɫɟɝɞɚ ɯɨɪɨɲɨ. ȼ ɯɭɞɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜɨ ɜɫɟɯ ɨɬɛɪɨɲɟɧɧɵɯ ɪɚɡɪɹɞɚɯ ɦɨɝɭɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɞɟɜɹɬɤɢ:

'Amax a-k-1a-k-2 a-m 9-k-19-k-2 9-mu10-k 1-ku10-k.

Ɂɧɚɱɢɬ, ɷɬɨɬ ɫɩɨɫɨɛ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɬɚɤɨɣ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ

'Amax 1-ku10-k 0.0-10-2 1-k

(ɝɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ 'Amax ɪɚɜɧɚ ɟɞɢɧɢɰɟ ɦɥɚɞɲɟɝɨ ɢɡ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ ɪɚɡɪɹɞɨɜ ɱɢɫɥɚ Aɭɫɟɱ).

Ⱦɥɹ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɬɚɤ: ɨɬɛɪɚɫɵɜɚɸɬ ɫɨɞɟɪɠɢɦɨɟ ɥɢɲɧɢɯ ɦɥɚɞɲɢɯ ɪɚɡɪɹɞɨɜ ɢ ɚɧɚɥɢɡɢɪɭɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɣ ɢɡ ɨɬɛɪɨɲɟɧɧɵɯ ɰɢɮɪ a-k-1a-k-2 a-m.

ȿɫɥɢ a-k-1 5 (ɩɟɪɜɚɹ ɢɡ ɨɬɛɪɨɲɟɧɧɵɯ ɰɢɮɪ ɦɟɧɶɲɟ ɩɹɬɢ), ɬɨ

A#Aɨɤɪ Aɭɫɟɱ 0.a-1a-2 a-k.

ȿɫɥɢɠɟ a-k-1t5 (ɩɟɪɜɚɹɢɡɨɬɛɪɨɲɟɧɧɵɯɰɢɮɪɛɨɥɶɲɟɱɟɬɵɪɟɯ), ɬɨ

0.a-1a-2 a-k mAɭɫɟɱ

A#Aɨɤɪ

0.0-10-2 1-k

(ɤ Aɭɫɟɱ ɩɪɢɛɚɜɥɹɸɬ ɟɞɢɧɢɰɭ ɦɥɚɞɲɟɝɨ ɪɚɡɪɹɞɚ).

Ɇɚɤɫɢɦɚɥɶɧɚɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɬɚɤɨɝɨ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɜɞɜɨɟ ɦɟɧɶɲɟ ɢ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɩɨɥɨɜɢɧɭ ɟɞɢɧɢɰɵ ɦɥɚɞɲɟɝɨ ɱɢɫɥɚ Aɨɤɪ:

'Amax 4-k-19-k-2 9-mu10-k 5-k-10-k-2 0-m 0.5u10-k.

ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɢɦɟɧɧɨ ɷɬɨɬ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ. Ɉɤɪɭɝɥɢɦ ɞɥɹ ɩɪɢɦɟɪɚ ɱɢɫɥɨ e ɫɧɚɱɚɥɚ ɞɨ ɩɹɬɢ ɡɧɚɤɨɜ ɩɨɫɥɟ ɡɚɩɹɬɨɣ, ɡɚɬɟɦ ɞɨ ɞɜɭɯ, ɞɨ ɨɞɧɨɝɨ, ɚ ɩɨɬɨɦ ɢ ɞɨ ɰɟɥɵɯ:

2~.7~1~828~182845904523536028747135266…#2.71828#2.72#2.7#3.

Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤ ɨɤɪɭɝɥɹɸɬ ɢ ɛɨɥɶɲɢɟ ɱɢɫɥɚ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɱɢɫɥɨ

B 428169807 482786156493820170

ɨɤɪɭɝɥɢɦ ɞɨ ɞɜɭɯ ɫɬɚɪɲɢɯ ɰɢɮɪ:

B#4300000000.

Ɂɚɱɚɫɬɭɸ ɜ ɨɞɧɨɦ ɧɚɛɨɪɟ ɞɚɧɧɵɯ ɫɨɛɪɚɧɵ ɱɢɫɥɚ, ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɡɥɢɱɚɸɳɢɟɫɹ ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ. ȼ ɷɬɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɭɞɨɛɧɨ ɛɵɜɚɟɬ ɤɚɠɞɨɟ ɱɢɫɥɨ A ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɶ ɜ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɣ ɮɨɪɦɟ, ɚ

36

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɩɪɢɦɟɪɨɜ.

ȼ 2003 ɝ. ɱɢɫɥɨ ɥɢɰ, ɫɨɜɟɪɲɢɜɲɢɯ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɜ Ɋɨɫɫɢɢ, ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ ɪɚɜɧɵɦ 1236733. ɂɡ ɧɢɯ ɦɭɠɱɢɧ – 1030849, ɠɟɧɳɢɧ – 205884. ɋɪɚɜɧɢɦ ɭɞɟɥɶɧɵɣ ɜɟɫ ɦɭɠɱɢɧ ɢ ɠɟɧɳɢɧ ɜ ɨɛɳɟɦ ɱɢɫɥɟ ɥɢɰ, ɫɨɜɟɪɲɢɜɲɢɯ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (3.3), ɜ

ɤɨɬɨɪɨɣ B 1236733:

ɦɭɠɱɢɧɵ: 1030849 u100% 83.4%,

Ⱥ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɨ ɜɨɡɪɚɫɬɭ ɥɢɰ, ɫɨɜɟɪɲɢɜɲɢɯ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɜ Ɋɨɫɫɢɢ ɜ 2003 ɝɨɞɭ, ɬɚɤɨɜɨ: 14..17 ɥɟɬ – 11.8%, 18..29 ɥɟɬ – 45.2%,

ɫɬɚɪɲɟ 29 ɥɟɬ – 43.0%. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥɵ (3.4) ɧɚɣɞɟɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɷɬɢɯ ɥɢɰ ɜ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧɚɯ:

ɫɬɚɪɲɟ 29 ɥɟɬ: 1236733u 43.0% 531795 ɱɟɥɨɜɟɤ. 100%

ȼ 2002 ɝ. ɨɫɭɠɞɟɧɨ ɥɢɰ 859318, ɱɬɨ ɫɨɫɬɚɜɢɥɨ 68.3 % ɨɬ ɱɢɫɥɚ ɥɢɰ, ɫɨɜɟɪɲɢɜɲɢɯ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɜ Ɋɨɫɫɢɢ ɜ ɷɬɨɦ ɝɨɞɭ. ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (3.5) ɧɚɣɞɟɦ B – ɱɢɫɥɨ ɥɢɰ, ɫɨɜɟɪɲɢɜɲɢɯ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɜ Ɋɨɫɫɢɢ ɜ

2002 ɝ.:

B 859318u 100% 1258152. 68.3%

38

ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɢ ɰɟɥɵɟ ɱɢɫɥɚ. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ – ɨɞɢɧ,

ɞɜɚ, ɬɪɢ ɢ ɬ.ɞ. ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɞɥɹ ɫɱɟɬɚ ɩɪɟɞɦɟɬɨɜ ɢ ɞɥɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɯ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɞɜɟɫɬɢ ɫɨɪɨɤ ɩɹɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɩɟɪɜɨɝɨ ɤɭɪɫɚ ɊȺɉ, ɞɜɚɞɰɚɬɶ ɱɟɬɜɟɪɬɚɹ ɫɬɪɚɧɢɰɚ ɭɱɟɛɧɢɤɚ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ. ȼ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ, ɤɚɤ ɦɵ ɭɠɟ ɨɬɦɟɬɢɥɢ, ɨɩɟɪɢɪɭɸɬ ɧɟ ɫ ɫɚɦɢɦɢ ɩɪɟɞɦɟɬɚɦɢ ɜ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ (ɫɬɭɞɟɧɬɚɦɢ, ɫɬɪɚɧɢɰɚɦɢ), ɚ ɫ ɡɚɩɢɫɹɦɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɱɢɫɟɥ (245, 24).

ɇɚɞ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶ ɜɫɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ. Ɉɞɧɚɤɨ ɷɬɢ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɟɪɚɜɧɨɰɟɧɧɵ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɬɨɠɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɦɢ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɢ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ. ɑɬɨ ɤɚɫɚɟɬɫɹ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɨ ɡɞɟɫɶ ɫɢɬɭɚɰɢɹ ɬɚɤɚɹ. ȿɫɥɢ ɭɦɟɧɶɲɚɟɦɨɟ ɛɨɥɶɲɟ ɜɵɱɢɬɚɟɦɨɝɨ, ɬɨ ɪɚɡɧɨɫɬɶ – ɱɢɫɥɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ: 5 3 2. ȿɫɥɢ ɠɟ ɭɦɟɧɶɲɚɟɦɨɟ ɦɟɧɶɲɟ ɜɵɱɢɬɚɟɦɨɝɨ, ɬɨ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɭɠɟ ɧɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ: 3 5 2. ɗɬɨ ɱɢɫɥɨ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɟ. ɑɢɫɥɚ 2 ɢ 2 ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɦɢ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɤɚɠɞɨɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɦɟɟɬ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɟ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɟ. ɑɢɫɥɨ, ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɟ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɦɭ, ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦ. Ɂɚɩɢɫɶ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɧɚɱɢɧɚɸɬ ɡɧɚɤɨɦ (ɩɥɸɫ). Ɂɚɩɢɫɶ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɧɚɱɢɧɚɸɬ ɡɧɚɤɨɦ (ɦɢɧɭɫ). Ɇɟɠɞɭ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ 1 ɢ 1 ɫɬɨɢɬ ɱɢɫɥɨ 0 (ɧɭɥɶ), ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɝɨ. ɇɭɥɶ ɩɪɟɞɦɟɬɨɜ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɬɚɤɢɯ ɩɪɟɞɦɟɬɨɜ ɧɟɬ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɧɟɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɢɬɟɥɶɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ ɧɚ ɷɤɡɚɦɟɧɟ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ). ɑɢɫɥɨ ɧɭɥɶ ɨɬɧɨɫɹɬ ɤ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦ, ɯɨɬɹ ɡɧɚɤɨɦ ɨɛɵɱɧɨ ɧɟ ɫɧɚɛɠɚɸɬ. Ɉɫɬɚɥɶɧɵɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɫ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɦɢ, ɢ ɢɯ ɬɨɠɟ ɱɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɛɟɡ ɡɧɚɤɚ .

Ɉɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɇɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɰɟɥɵɟ ɱɢɫɥɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ ɬɨɱɤɚɦɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɪɚɡɞɟɥɟɧɵ ɨɬɪɟɡɤɚɦɢ ɞɥɢɧɨɸ ɜ 1. Ɇɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɧɟɬ.

ɇɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɭɫɬɪɚɧɹɟɬɫɹ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɤ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɜɵɱɢɬɚɧɢɹ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɛɭɞɟɬ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ. Ⱥ ɜɨɬ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɞɟɥɟɧɢɹ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɧɟ ɜɫɟɝɞɚ ɞɚɟɬ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ.

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɤɥɚɫɫ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɡɚɦɤɧɭɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ, ɤɥɚɫɫ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɡɚɦɤɧɭɬ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɫɥɨɠɟɧɢɹ, ɜɵɱɢɬɚɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ.

Ɉɩɢɲɟɦ ɟɳɟ ɨɞɧɭ ɨɩɟɪɚɰɢɸ ɧɚɞ ɰɟɥɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ.

ɉɭɫɬɶ A ɢ M – ɞɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɰɟɥɵɯ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɥɚ, ɩɪɢɱɟɦ M!1. Ɍɨɝɞɚ A ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɬɚɤɨɣ ɫɭɦɦɨɣ:

A MuD (A)mod M,

39

ɝɞɟ (A)mod M – ɨɫɬɚɬɨɤ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ A ɧɚ M ɧɚɰɟɥɨ (ɬɨ ɟɫɬɶ D – ɬɨɠɟ ɰɟɥɨɟ! Ɉɧɨ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɫɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡ M ɭɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɜ A),

0d(A)mod M M.

Ƚɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɧɚɣɬɢ (A)mod M ɡɧɚɱɢɬ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɱɢɫɥɨ A ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ M:

(A)mod M A MuD.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, M 31, A {123, 155, 13}.

(123)mod 31 30, (155) mod 31 0, (13)mod 31 13.

Ɋɚɞɢ ɢɧɬɟɪɟɫɚ ɨɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ (A)mod 10 ɟɫɬɶ ɦɥɚɞɲɚɹ ɰɢɮɪɚ ɜ ɡɚɩɢɫɢ A. ȼ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ, ɨɫɬɚɬɨɤ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɥɸɛɨɝɨ A ɧɚ 10 ɜɫɟɝɞɚ ɦɟɧɶɲɟ ɞɟɫɹɬɢ, ɚ ɡɧɚɱɢɬ, ɪɚɜɟɧ ɬɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ɤɨɬɨɪɵɣ ɢ ɫɬɨɢɬ ɜ ɦɥɚɞɲɟɦ ɪɚɡɪɹɞɟ Ⱥ.

3.3. Алгоритмы решения вычислительных задач

ɉɪɢɫɬɭɩɚɹ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ ɥɸɛɨɣ ɡɚɞɚɱɢ, ɱɟɥɨɜɟɤ ɩɥɚɧɢɪɭɟɬ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɞɟɣɫɬɜɢɣ, ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɸ ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɧɨɣ ɰɟɥɢ. ɉɨɞɨɛɧɵɣ ɩɥɚɧ ɞɟɣɫɬɜɢɣ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɦ. ȼɨɨɛɳɟ ɱɟɥɨɜɟɤ ɠɢɜɟɬ ɜ ɦɢɪɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɜ. Ɍɚɤ, ɢɦɟɹ ɧɚɦɟɪɟɧɢɟ ɩɨɡɜɨɧɢɬɶ ɜ ɞɪɭɝɨɣ ɝɨɪɨɞ, ɦɵ ɜ ɤɚɛɢɧɟ ɦɟɠɞɭɝɨɪɨɞɧɟɝɨ ɬɟɥɟɮɨɧɚ ɧɚɯɨɞɢɦ ɢɧɫɬɪɭɤɰɢɸ, ɫɥɟɞɭɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɦɨɠɧɨ ɷɬɨ ɫɞɟɥɚɬɶ. ɋɜɨɟɝɨ ɪɨɞɚ ɫɛɨɪɧɢɤɨɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɜ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɍɉɄ (ɫɤɚɠɟɦ, Ƚɥɚɜɚ 26. Ⱦɨɩɪɨɫ. Ɉɱɧɚɹ ɫɬɚɜɤɚ. Ɉɩɨɡɧɚɧɢɟ. ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɩɨɤɚɡɚɧɢɣ). ɇɨ ɜɫɟ ɬɚɤɨɝɨ ɪɨɞɚ ɚɥɝɨɪɢɬɦɵ ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɩɪɟɞɦɟɬɨɦ ɧɚɲɟɝɨ ɜɧɢɦɚɧɢɹ. ȼ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɢɦɟɸɬ ɞɟɥɨ ɫ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚɦɢ.

ȼɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɵɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɬɪɨɝɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɩɪɨɰɟɞɭɪɵ ɪɟɲɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɞɚɱɢ.

Ʉɨɧɟɱɧɨ, ɬɚɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɨɬɧɸɞɶ ɧɟ ɧɚɭɱɧɨɟ. ɇɟ ɹɫɧɨ, ɱɬɨ ɡɧɚɱɢɬ «ɫɬɪɨɝɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ» ɢɥɢ «ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɩɪɨɰɟɞɭɪɚ». ɇɨ ɢɧɬɭɢɬɢɜɧɨ ɩɨɧɹɬɧɨ, ɱɬɨ ɡɞɟɫɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɭ. ɂ ɧɚɦ ɷɬɨɝɨ ɜɩɨɥɧɟ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ.

ɉɨɹɫɧɢɦ ɫɦɵɫɥ ɫɤɚɡɚɧɧɨɝɨ ɩɪɢɦɟɪɨɦ. ɉɭɫɬɶ ɡɚɞɚɧɵ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ A ɢ B. Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɢɯ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɇɈȾ. Ⱦɪɟɜɧɟɝɪɟɱɟɫɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ ȿɜɤɥɢɞ ɜ III ɜɟɤɟ ɞɨ ɧ.ɷ. ɫɨɫɬɚɜɢɥ ɨɫɬɪɨɭɦɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɟɲɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɡɚɞɚɱɢ. ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɜ ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɨɣ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɢ:

0.ɉɨɥɨɠɢɬɶ X ɪɚɜɧɵɦ A, ɚ Y ɪɚɜɧɵɦ B.

1.ȿɫɥɢ X ɛɨɥɶɲɟ Y, ɬɨ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ ɩ.4.

2.ȿɫɥɢ X ɦɟɧɶɲɟ Y, ɬɨ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ ɩ.5.

40