Математика для юристов - Д.А. Ловцова

ɧɚɧɟɫ ɭɳɟɪɛ ɟɝɨ ɞɟɥɨɜɨɣ ɪɟɩɭɬɚɰɢɢ. Ɍɨɝɞɚ x1 x0 – ɷɬɨ ɢɥɢ ɞɟɣɫɬɜɢɟ x1, ɢɥɢ ɞɟɣɫɬɜɢɟ x0, ɢɥɢ ɢ ɬɨ ɢ ɞɪɭɝɨɟ ɜɦɟɫɬɟ (ɢ ɜɫɟ ɨɧɢ ɪɟɝɭɥɢɪɭɸɬɫɹ ɫɬ. 4 Ɂɚɤɨɧɚ ɨ ɤɨɧɤɭɪɟɧɰɢɢ).

Ⱦɢɡɴɸɧɤɰɢɹ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤ:

y xn-1 xn-2 x0.

Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɢɥɢ 0, ɢɥɢ 1. Ɂɧɚɱɢɬ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɨɞɧɨɣ ɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɦɨɠɟɬ ɜɵɫɬɭɩɚɬɶ ɨɩɟɪɚɧɞɨɦ ɜ ɞɪɭɝɨɣ. Ɍɚɤ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɢ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ (ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ) ɢ ɢɡ ɩɪɨɫɬɵɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ ɫɨɫɬɚɜɥɹɬɶ ɫɥɨɠɧɵɟ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɫɥɟɞɭɟɬ ɪɭɤɨɜɨɞɫɬɜɨɜɚɬɶɫɹ ɩɪɚɜɢɥɨɦ ɨ ɩɪɢɨɪɢɬɟɬɚɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ. ɗɬɢ ɩɪɢɨɪɢɬɟɬɵ ɭɛɵɜɚɸɬ ɜ ɬɚɤɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ: ɇȿ, ɂ, ɂɅɂ, ɚ ɬɪɟɛɭɟɦɵɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ, ɧɚɪɭɲɚɸɳɢɣ ɩɪɚɜɢɥɨ ɨ ɩɪɢɨɪɢɬɟɬɚɯ, ɡɚɞɚɸɬ ɫɤɨɛɤɚɦɢ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ,

y º((x1ºx0) (ºx1 x0)).

Ɋɚɡɪɚɛɨɬɚɟɦ ɬɚɛɥɢɰɭ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ (ɬɚɛɥ.2.4), ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɧɚɱɚɥɚ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɣ (x1ºx0) ɢ (ºx1 x0), ɩɨɬɨɦ ɢɯ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɸ ɢ, ɧɚɤɨɧɟɰ, ɢɧɜɟɪɫɢɸ ɷɬɨɣ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɢ. Ɍɚɤ ɩɨɥɭɱɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɝɨ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ y ɞɥɹ ɩɨɥɧɨɝɨ ɧɚɛɨɪɚ ɜɫɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ-ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ x1 ɢ x0.

Ɉɬɪɢɰɚɧɢɟ, ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɹ ɢ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɹ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɩɨɥɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɥɨɝɢɤɢ.

Ʌɸɛɭɸ ɞɪɭɝɭɸ ɥɨɝɢɱɟɫɤɭɸ ɨɩɟɪɚɰɢɸ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɟɣ ɷɬɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ. Ɍɟɦ ɧɟ ɦɟɧɟɟ ɩɪɢɜɟɞɟɦ ɟɳɟ ɞɜɟ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɢɦɟɸɬ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɚɥɝɟɛɪɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ.

ɂɦɩɥɢɤɚɰɢɹ – ɞɜɭɦɟɫɬɧɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ. Ɉɧɚ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɬɚɛɥ.2.5, ɚ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɤɚɤ

y x1ox0.

21

ɬɨɥɶɤɨ ɧɚ ɨɞɧɨɦ ɧɚɛɨɪɟ, ɚ ɢɦɟɧɧɨ ɤɨɝɞɚ x1 1 (ɩɨ-

ɫɵɥɤɚ ɢɫɬɢɧɧɚ), ɚ x0 0 (ɡɚɤɥɸɱɟɧɢɟ ɥɨɠɧɨ). ɇɚ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ ɧɚɛɨɪɚɯ ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨ 1 (ɢɫɬɢɧɚ). ɗɬɨ ɩɪɨɳɟ ɡɚɩɨɦɢɧɚɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ 1 ɢ 0 ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɧɚ ɢɯ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɵ: ɧɟɬ ɢ ɞɚ (ɬɚɛɥ. 2.5).

Ʌɨɝɢɱɟɫɤɭɸ ɤɨɧɫɬɪɭɤɰɢɸ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ ɢɦɟɸɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɟɨɪɟɦɵ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ,

«ȿɫɥɢ ɞɜɚ ɭɝɥɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵ, ɬɨ ɨɧɢ ɪɚɜɧɵ».

Ɂɞɟɫɶ x1 – ɞɜɚ ɭɝɥɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵ, x0 – ɨɧɢ ɪɚɜɧɵ. ȼɟɪɧɨɫɬɢ ɬɟɨɪɟɦɵ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɩɨɫɥɟɞɧɹɹ ɫɬɪɨɤɚ ɬɚɛɥ.2.5. ɍɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ «ȿɫɥɢ ɞɜɚ ɭɝɥɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵ, ɬɨ ɨɧɢ ɧɟ ɪɚɜɧɵ» – ɥɨɠɧɨ, ɚ ɷɬɨ – ɬɪɟɬɶɹ ɫɬɪɨɤɚ ɬɚɛɥ.2.5. ɍɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ «ȿɫɥɢ ɞɜɚ ɭɝɥɚ ɧɟ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵ, ɬɨ ɨɧɢ ɪɚɜɧɵ» (ɫɬɪɨɤɚ ɜɬɨɪɚɹ ɬɚɛɥ.2.5) ɢ «ȿɫɥɢ ɞɜɚ ɭɝɥɚ ɧɟ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɵ, ɬɨ ɨɧɢ ɧɟ ɪɚɜɧɵ» (ɩɟɪɜɚɹ ɫɬɪɨɤɚ ɬɚɛɥ.2.5) ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢɫɬɢɧɧɵɦɢ ɢɥɢ ɥɨɠɧɵɦɢ, ɧɨ ɜ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ ɩɨɞɨɛɧɵɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɤɚɤ ɢɫɬɢɧɧɵɟ.

ȼ ɸɪɢɞɢɱɟɫɤɢɯ ɞɨɤɭɦɟɧɬɚɯ ɮɨɪɦɭ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɣ ɢɦɟɸɬ ɩɪɚɜɨɜɵɟ ɩɪɟɞɩɢɫɚɧɢɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ (ɀɄ ɊɎ, ɫɬ. 79, ɱ.6):

ȼ ɜɟɪɧɨɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɭɛɟɞɢɦɫɹ, ɩɨɫɬɪɨɢɜ ɬɚɛɥɢɰɭ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ (ɬɚɛɥ.2.6) ɞɥɹ ɩɪɚɜɨɣ ɟɝɨ ɱɚɫɬɢ ɢ ɫɪɚɜɧɢɜ ɟɟ

ɜɵɯɨɞ ɫ ɜɵɯɨɞɨɦ ɬɚɛɥ.2.5. ɉɪɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɢ ɬɚɛɥ.2.6 ɦɵ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚ-

ɥɢ ɬɚɛɥ. 2.1 ɢ ɬɚɛɥ.2.3.

ɗɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ – ɦɧɨɝɨɦɟɫɬɧɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ. Ⱦɥɹ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɨɧɚ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɬɚɛɥ.2.7, ɚ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤ:

y (x1 x0).

22

x0 ɟɫɬɶ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɟ ɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɞɥɹ x1. ɟɫɥɢ x1, ɬɨ x0, ɂ ɟɫɥɢ x0, ɬɨ x1;

Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ ɪɚɜɧɚ 1 (ɢɫɬɢɧɧɚ) ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɟɟ ɚɪɝɭɦɟɧɬɵ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ – ɢɥɢ ɜɫɟ ɪɚɜɧɵ 0 (ɥɨɠɧɵ), ɢɥɢ ɜɫɟ ɪɚɜɧɵ 1 (ɢɫɬɢɧɧɵ). ɉɨɷɬɨɦɭ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɟɳɟ ɪɚɜɧɨɡɧɚɱɧɨɫɬɶɸ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɫɢɦɜɨɥɨɦ .

Ʌɸɛɨɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ, ɟɫɥɢ ɟɝɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɨɞɧɨ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶɸ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, «ȼɫɟ ɟɞɢɧɨ, ɱɬɨ ɜ ɥɨɛ, ɱɬɨ ɩɨ ɥɛɭ».

ɗɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚ-

ɡɨɦ:

ȼ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɩɨɥɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤ:

(x1 x0) ºx1ºx0 x1 x0.

ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɬɚɛɥɢɰɭ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ (ɬɚɛɥ.2.8), ɫɪɚɜɧɢɦ ɟɟ ɜɵɯɨɞ ɫ ɜɵɯɨɞɨɦ ɬɚɛɥ.2.7 ɢ ɭɛɟɞɢɦɫɹ ɜ ɜɟɪɧɨɫɬɢ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ.

Ɍɚɛɥɢɰɚ 2.8

ɉɨɫɥɟɞɧɢɣ ɢɡ ɫɢɧɨɧɢɦɨɜ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ (ɟɫɥɢ x1, ɬɨ x0, ɂ ɟɫɥɢ x0, ɬɨ x1) ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɞɥɹ ɧɟɟ ɟɳɟ ɢ ɬɚɤɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ:

(x1 x0) (x1ox0) (x0ox1).

ɑɢɬɚɬɟɥɸ ɩɪɟɞɥɚɝɚɟɬɫɹ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɜɟɪɧɨɫɬɶ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ.

23

ɉɨɥɟɡɧɨ ɛɵɜɚɟɬ ɩɪɨɢɡɜɟɫɬɢ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɚɜɨɜɵɯ ɧɨɪɦ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ ɞɥɹ ɨɛɧɚɪɭɠɟɧɢɹ ɢ ɭɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɜ ɧɢɯ ɧɟɹɫɧɨɫɬɟɣ, ɧɟɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɫɬɟɣ. ȼɨɡɶɦɟɦ, ɤ ɩɪɢɦɟɪɭ, ɬɚɤɨɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ:

«ɍɦɵɲɥɟɧɧɨɟ ɩɪɢɱɢɧɟɧɢɟ ɬɟɥɟɫɧɨɝɨ ɩɨɜɪɟɠɞɟɧɢɹ (x0) ɢɥɢ ɧɚɧɟɫɟɧɢɟ ɩɨɛɨɟɜ (x1), ɩɨɜɥɟɤɲɟɟ ɡɚ ɫɨɛɨɣ ɤɪɚɬɤɨɜɪɟɦɟɧɧɨɟ ɪɚɫɫɬɪɨɣɫɬɜɨ ɡɞɨɪɨɜɶɹ (x2) ɢɥɢ ɧɟɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɭɸ ɫɬɨɣɤɭɸ ɭɬɪɚɬɭ ɬɪɭɞɨɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɢ (x3), – ɧɚɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɢɲɟɧɢɟɦ ɫɜɨɛɨɞɵ ɧɚ ɫɪɨɤ ɞɨ ɨɞɧɨɝɨ ɝɨɞɚ (x4) ɢɥɢ ɢɫɩɪɚɜɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɪɚɛɨɬɚɦɢ ɧɚ ɬɨɬ ɠɟ ɫɪɨɤ (x5)».

ȼ ɬɟɤɫɬɟ ɷɬɨɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɤɚɠɞɨɟ ɩɪɨɫɬɨɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɦɵ ɨɛɨɡɧɚɱɢɥɢ ɫɜɨɟɣ ɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ. Ⱦɜɚ ɩɟɪɜɵɯ ɫɨɸɡɚ «ɢɥɢ» ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɬɚɤɢɟ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɢ: x0 x1, x2 x3. Ⱥ ɜɨɬ ɬɪɟɬɢɣ ɫɨɸɡ «ɢɥɢ» ɫɥɟɞɨɜɚɥɨ ɛɵ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɪɚɡɞɟɥɢɬɟɥɶɧɵɦ ɫɨɸɡɨɦ «ɥɢɛɨ», ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɞɜɚ ɧɚɤɚɡɚɧɢɹ ɧɚɡɧɚɱɟɧɵ ɛɵɬɶ ɧɟ ɦɨɝɭɬ. ɏɨɬɹ ɢ ɫɨɸɡ «ɢɥɢ» ɢɦɟɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɡɞɟɥɢɬɟɥɶɧɨɝɨ: «ɂɥɢ ɫɨ ɳɢɬɨɦ, ɢɥɢ ɧɚ ɳɢɬɟ!». (Ɉɬɦɟɬɢɦ ɩɨɩɭɬɧɨ, ɱɬɨ ɜ ɚɥɝɟɛɪɟ ɥɨɝɢɤɢ ɟɫɬɶ ɬɚɤɚɹ ɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ, ɤɚɤ ɢɫɤɥɸɱɚɸɳɟɟ ɂɅɂ. ȿɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɪɚɜɟɧ 1 ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɥɢɲɶ ɨɞɧɚ ɢɡ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, ɧɚɞ ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɷɬɚ ɨɩɟɪɚɰɢɹ, ɪɚɜɧɚ 1, ɚ ɜɫɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɢɦɟɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ 0.) Ⱦɚɥɟɟ, ɫɥɨɜɨ «ɩɨɜɥɟɤɲɟɟ» ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɚɦ ɫɨɝɥɚɫɨɜɚɧɢɹ ɨɬɧɨɫɢɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɤ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɸ x1, ɚ ɩɨ ɫɦɵɫɥɭ ɨɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɫɹ ɤ ɨɛɨɢɦ ɩɪɟɫɬɭɩɧɵɦ ɞɟɣɫɬɜɢɹɦ x0 ɢ x1. ɇɟ ɭɥɭɱɲɚɟɬ ɫɢɬɭɚɰɢɸ ɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟɧɧɨɟ ɱɢɫɥɨ «ɩɨɜɥɟɤɲɢɟ», ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ x1 – «ɩɨɛɨɢ» ɬɨɠɟ ɫɬɨɢɬ ɜɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟɧɧɨɦ ɱɢɫɥɟ. ȿɫɥɢ ɩɨɦɟɧɹɬɶ ɦɟɫɬɚɦɢ x0 ɢ x1, ɡɚɦɟɧɢɬɶ «ɩɨɜɥɟɤɲɟɟ» ɧɚ «ɩɨɜɥɟɤɲɢɟ», ɬɨ ɨɬɦɟɱɟɧɧɚɹ ɧɟɬɨɱɧɨɫɬɶ ɜ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɭɫɬɪɚɧɟɧɚ. Ɍɨɝɞɚ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ ɜ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɦ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɢ ɦɨɠɧɨ ɡɚɞɚɬɶ ɬɚɤɨɣ ɮɨɪɦɭɥɨɣ:

((x1 x0) (x2 x3))o((x4ºx5) (ºx4 x5)).

ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɨɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ – ɫɭɬɶ ɫɬ. 112 ɭɬɪɚɬɢɜɲɟɝɨ ɫɢɥɭ ɍɄ ɊɋɎɋɊ. ȼ ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɦ ɍɄ ɊɎ ɷɬɢɯ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ ɭɠɟ ɧɟɬ.

Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɜ ɩɨɫɥɟɞɧɟɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɲɟɫɬɶ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɞɥɹ ɧɟɟ ɬɚɛɥɢɰɭ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɧɟɩɪɨɫɬɨ. Ⱦɟɥɨ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɬɚɛɥɢɰɚ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɥɹ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ 2n ɫɬɪɨɤ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ (ɧɚɛɨɪɨɜ), ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ (ɨɬ ɧɚɛɨɪɚ «ɜɫɟ – ɧɭɥɢ» ɞɨ ɧɚɛɨɪɚ «ɜɫɟ – ɟɞɢɧɢɰɵ»). ɉɪɢ n 6 ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ ɛɭɞɟɬ 64 ɫɬɪɨɤɢ. ɉɪɢ ɟɟ ɡɚɩɨɥɧɟɧɢɢ ɧɭɠɧɨ ɧɟ ɩɪɨɩɭɫɬɢɬɶ ɧɢ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɧɚɛɨɪɨɜ, ɚ ɤɚɤɢɟ-ɬɨ ɢɡ ɧɚɛɨɪɨɜ – ɧɟ ɩɨɜɬɨɪɢɬɶ. ɉɪɚɜɞɚ, ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɩɪɨɫɬɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɡɚɩɨɥɧɟɧɢɹ ɬɚɛɥɢɰɵ ɧɚɛɨɪɚɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ. Ɉɧɨ ɨɫɧɨɜɚɧɨ ɧɚ ɬɨɦ ɮɚɤɬɟ, ɱɬɨ ɥɸɛɚɹ ɢɡ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɧɚ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɢɡ 2n ɧɚɛɨɪɨɜ ɢɦɟɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ 0, ɚ ɧɚ ɞɪɭɝɨɣ ɩɨɥɨɜɢɧɟ – ɡɧɚɱɟɧɢɟ 1. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɢɦ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɩɨ ɤɨ-

24

ɥɨɧɤɚɦ ɫɥɟɜɚ ɧɚɩɪɚɜɨ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɭɛɵɜɚɧɢɹ ɢɯ ɢɧɞɟɤɫɨɜ: x5 x4 x3 x2 x1 x0. ɉɪɚɜɭɸ ɤɨɥɨɧɤɭ ɞɥɹ x0 ɡɚɩɨɥɧɹɟɦ ɫɜɟɪɯɭ ɜɧɢɡ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶɸ ɧɭɥɶ, ɨɞɢɧ, ɧɭɥɶ, ɨɞɢɧ ɢ ɬ.ɞ. ɞɨ ɩɨɫɥɟɞɧɟɣ ɫɬɪɨɤɢ ɬɚɛɥɢɰɵ. Ʉɨɥɨɧɤɭ ɞɥɹ x1 ɡɚɩɨɥɧɹɟɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶɸ ɞɜɚ ɧɭɥɹ ɞɜɟ ɟɞɢɧɢɰɵ, ɤɨɥɨɧɤɭ ɞɥɹ x2 – ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɱɟɬɵɪɟ ɧɭɥɹ, ɱɟɬɵɪɟ ɟɞɢɧɢɰɵ. ɉɪɨɞɨɥɠɚɟɦ ɷɬɭ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ: ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɦɟɧɵ ɧɭɥɟɣ ɢ ɟɞɢɧɢɰ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɤɨɥɨɧɤɟ ɜɞɜɨɟ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ. ȼ ɫɚɦɨɣ ɥɟɜɨɣ ɤɨɥɨɧɤɟ ɞɥɹ x5 ɩɟɪɜɵɟ 32 ɫɬɪɨɤɢ ɛɭɞɭɬ ɡɚɩɨɥɧɟɧɵ ɧɭɥɹɦɢ, ɚ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ 32 ɫɬɪɨɤɢ – ɟɞɢɧɢɰɚɦɢ. ɂɦɟɧɧɨ ɩɨ ɷɬɨɦɭ ɩɪɚɜɢɥɭ ɦɵ ɡɚɩɨɥɧɹɥɢ ɬɚɛɥɢɰɵ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɨ ɫɢɯ ɩɨɪ ɢ ɛɭɞɟɦ ɢɯ ɡɚɩɨɥɧɹɬɶ ɜ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɟɦ.

2.2.Аксиомы и теоремы алгебры логики

ȼɛɭɥɟɜɨɣ ɚɥɝɟɛɪɟ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ A, B ɢ C ɫɩɪɚɜɟɞ-

ɥɢɜɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɚɤɫɢɨɦɵ 1..5 ɢ 1’..5’, ɚ ɬɚɤɠɟ ɢ ɬɟɨɪɟɦɵ 6..12 ɢ 6’..11’ (ɬɚɛɥ. 2.9). Ⱦɥɹ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɢ ɢ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɢ ɜ ɛɭɥɟɜɨɣ ɚɥɝɟɛɪɟ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɡɚɤɨɧɵ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɵɟ 1, 1’, ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɵɟ 2, 2’ ɢ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɵɟ 3, 3’. Ʉɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɫɬɶ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɬɶ ɨɩɟɪɚɧɞɵ ɜ ɧɟɣ ɜ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ. Ⱥɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɫɬɶ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɜɟɫɬɢ ɦɧɨɝɨɦɟɫɬɧɭɸ ɨɩɟɪɚɰɢɸ ɤ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɞɜɭɦɟɫɬɧɵɯ. Ⱦɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɫɬɶ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɜɵɧɨɫɢɬɶ ɡɚ ɫɤɨɛɤɢ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɟ ɱɥɟɧɵ ɢɥɢ ɡɚɞɚɟɬ ɩɪɚɜɢɥɨ ɪɚɫɤɪɵɬɢɹ ɫɤɨɛɨɤ.

Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɚɤɫɢɨɦ ɢ ɬɟɨɪɟɦ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɩɪɢɧɰɢɩɭ ɞɜɨɣɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ.

Ɍɚɛɥɢɰɵ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚɞɚɸɬ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ, ɬɨɠɟ ɩɨ ɫɭɬɢ ɫɜɨɟɣ ɚɤɫɢɨɦɵ. Ɂɚɦɟɧɢɦ ɜ ɷɬɢɯ ɬɚɛɥɢɰɚɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɩɪɨ-

ɢɡɜɨɥɶɧɵɦɢ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹɦɢ A ɢ B ɢ ɫɜɟɞɟɦ ɢɯ ɜ ɨɞɧɭ ɨɛɳɭɸ ɬɚɛɥ.2.10. ɉɪɢɨɪɢɬɟɬɵ ɷɬɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɭɛɵɜɚɸɬ ɜ ɬɚɤɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ: ɨɬɪɢɰɚɧɢɟ, ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɹ, ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɹ, ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɹ, ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ.

ɇɚɤɨɧɟɰ, ɩɪɢɜɟɞɟɦ ɮɨɪɦɭɥɵ (2.1) ɢ (2.2), ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɸ ɢ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ ɞɥɹ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ A ɢ B ɜ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɩɨɥɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ.

«ɇɟɩɪɚɜɞɚ, ɱɬɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɸɪɢɫɬɭ ɧɟ ɧɭɠɧɚ» — ɧɟ ɱɬɨ ɢɧɨɟ, ɤɚɤ ɞɜɨɣɧɨɟ ɨɬɪɢɰɚɧɢɟ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ

«Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɸɪɢɫɬɭ ɧɭɠɧɚ».

25

ɍɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ 9 ɢ 9’ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɡɚɤɨɧɚɦɢ ɫɤɥɟɢɜɚɧɢɹ. Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɜɬɨɪɨɟ ɢɡ ɷɬɢɯ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ:

(A B) (AºB) ¢3² A (BºB) ¢5’² A 0 ¢4² A.

ɑɢɬɚɬɟɥɸ ɩɪɟɞɥɨɠɢɦ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ 10 ɢ 10’, ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɚɦɢ ɞɟ Ɇɨɪɝɚɧɚ (ɩɨ ɢɦɟɧɢ ɲɨɬɥɚɧɞɫɤɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɢ ɥɨɝɢɤɚ Ɉɝɸɫɬɚ ɞɟ Ɇɨɪɝɚɧɚ, ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɪɟɡɢɞɟɧɬɚ Ʌɨɧɞɨɧɫɤɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɛɳɟɫɬɜɚ). Ɇɵ ɠɟ ɩɪɨɢɥɥɸɫɬɪɢɪɭɟɦ ɨɞɧɨ ɢɡ ɷɬɢɯ ɩɪɚɜɢɥ ɬɚɤɢɦ ɩɪɢɦɟɪɨɦ. ɉɪɨ ɤɨɝɨ-ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ: «ɇɢ ɪɵɛɚ, ɧɢ ɦɹɫɨ!». ɋɪɟɞɫɬɜɚɦɢ ɥɨɝɢɤɢ ɷɬɚ ɮɪɚɡɚ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɬɚɤ: (ɨɧ ɇȿ ɪɵɛɚ) ɂ (ɨɧ ɇȿ ɦɹɫɨ). Ʌɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɷɬɨ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚ 10. Ɍɭ ɠɟ ɦɵɫɥɶ ɦɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɢɧɚɱɟ: ɇȿɉɊȺȼȾȺ, ɱɬɨ (ɨɧ ɪɵɛɚ ɂɅɂ ɨɧ ɦɹɫɨ). Ⱥ ɷɬɚ ɤɨɧɫɬɪɭɤɰɢɹ – ɥɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚ 10.

ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚ 1..11, 1’..11’ ɢ 12 ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ ɢ ɞɥɹ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɥɸɛɵɯ ɞɪɭɝɢɯ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ.

26

Ɉɞɧɚɤɨ ɜ ɬɚɛɥ.2.9 ɧɟɬ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ ɢ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɪɟɠɞɟ ɱɟɦ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɷɬɢɦɢ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚɦɢ, ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥ (2.1) ɢ (2.2) ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ ɢ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɜ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɩɨɥɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɩɟɪɚɰɢɣ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɚɤɨɣ ɩɪɢɦɟɪ. ɀɸɪɢ ɢɡ ɬɪɟɯ ɱɟɥɨɜɟɤ A, B, C ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɪɟɲɟɧɢɟ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɨɦ ɝɨɥɨɫɨɜ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɤɚɠɞɵɣ ɱɥɟɧ ɠɸɪɢ ɦɨɠɟɬ ɝɨɥɨɫɨɜɚɬɶ ɥɢɛɨ «ɡɚ», ɥɢɛɨ «ɩɪɨɬɢɜ». Ɉɩɢɲɟɦ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɝɨɥɨɫɨɜɚɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɤɚɠɞɨɦɭ ɢɡ ɱɥɟɧɨɜ ɠɸɪɢ ɩɨɫɬɚɜɢɦ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɫɜɨɸ ɥɨɝɢɱɟɫɤɭɸ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ D (D {A,B,C}), ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ 0, ɟɫɥɢ ɨɧ ɝɨɥɨɫɭɟɬ «ɩɪɨɬɢɜ», ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ 1, ɤɨɝɞɚ ɨɧ ɝɨɥɨɫɭɟɬ «ɡɚ». Ʌɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ R ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ 0, ɟɫɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ, ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ 1, ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ.

Ⱥɬɟɩɟɪɶ ɫɨɫɬɚɜɢɦ ɬɚɛɥɢɰɭ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ

(ɬɚɛɥ.2.12). Ʉɨɥɨɧɤɢ ɞɥɹ C, B ɢ A ɡɚɩɨɥɧɹɟɦ ɩɨ

ɷɬɨɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ D (D {A,B,C}) ɜɯɨɞɢɬ ɜ ɬɚɤɭɸ

ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɸ ɩɪɹɦɨ, ɟɫɥɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɫɬɪɨɤɟ D 1, ɟɫɥɢ ɠɟ ɡɞɟɫɶ D 0, ɬɨ ɨɧɚ ɜɯɨɞɢɬ ɜ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɸ ɩɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɢɧɜɟɪɫɢɢ. ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɢ ɨɛɴɟɞɢɧɢɦ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɢ. Ɍɨɝɞɚ:

R (ºA B C) (AºB C) (A BºC) (A B C).

ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɹɦɢ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ, ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɭɩɪɨɫɬɢɬɶ:

R ¢7² (ºA B C) (AºB C) (A BºC)

(A B C) (A B C) (A B C) ¢2²

(ºA B C A B C) (AºB C A B C) (A BºC A B C)

¢9, 6’² B C A C A B.

27

ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɪɚɧɟɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ ɢ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɜ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɛɭɥɟɜɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ ɛɵɥɢ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɢɦɟɧɧɨ ɬɚɤɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ (ɩɨɫɬɪɨɟɧɵ ɩɨ ɟɞɢɧɢɰɚɦ).

ȿɳɟ ɨɞɢɧ ɩɪɢɦɟɪ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɡɚɤɨɧɨɦ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɝɨ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ. ɘɪɢɞɢɱɟɫɤɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ ɷɬɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɬɚɤɨɣ: ɟɫɥɢ ɫɨɫɬɚɜɥɟɧ ɩɟɪɟɱɟɧɶ ɭɥɢɤ (A), ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɵɣ ɞɥɹ ɡɚɤɥɸɱɟɧɢɹ ɨ ɜɢɧɨɜɧɨɫɬɢ (B), ɢ ɷɬɢ ɭɥɢɤɢ ɫɨɛɪɚɧɵ (Ⱥ), ɬɨ ɨɛɜɢɧɹɟɦɵɣ ɜɢɧɨɜɟɧ (ȼ).

ɇɚ ɹɡɵɤɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ ɷɬɨɬ ɡɚɤɨɧ ɦɨɠɧɨ ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɬɚɤɨɣ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶɸ:

(((AoB) A)oB) 1.

ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɨɛɳɚɹ ɫɯɟɦɚ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɣ ɜ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɟ ɡɚɤɨɧɚ ɜɟɪɧɚ (ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɰɢɹ ɨɛɜɢɧɟɧɢɹ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢ ɤɨɪɪɟɤɬɧɚ). ɋɧɚɱɚɥɚ ɭɩɪɨɫɬɢɦ ɩɨɫɵɥɤɭ ɜɬɨɪɨɣ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ:

(AoB) A ¢(2.1)² (ºA B) A ¢3’² (ºA A) (B A) ¢5’² 0 B A ¢4,1² A B.

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,

(((AoB) A)oB) ((A B)oB) ¢(2.1)² (º(A B) B) ¢10’² ºA

ºB B ¢5,6² 1.

Ɂɧɚɱɢɬ, ɥɨɝɢɱɟɫɤɢ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɚ ɡɚɤɨɧɚ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɝɨ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɜɟɪɧɚ.

ɂɬɚɤ, ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɥɨɝɢɤɚ ɪɚɡɜɢɜɚɟɬ ɤɭɥɶɬɭɪɭ ɥɨɝɢɱɧɵɯ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɣ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɭɸ ɜ ɥɸɛɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɧɚɧɢɣ (ɚ ɜ ɸɪɢɫɩɪɭɞɟɧɰɢɢ – ɨɫɨɛɟɧɧɨ). Ɉɞɧɚɤɨ ɧɭɠɧɨ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɢɦɟɧɢɦɨɫɬɶ ɫɪɟɞɫɬɜ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɚ. Ɍɚɤ, ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ A B ɢ B A ɜ ɚɥɝɟɛɪɟ ɥɨɝɢɤɢ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ ɜ ɫɢɥɭ ɚɤɫɢɨɦɵ 1’. Ⱥ ɜɨɬ ɮɪɚɡɵ «ɍ Ⱦɠɟɣɧ ɪɨɞɢɥɫɹ ɪɟɛɟɧɨɤ (A), ɢ ɨɧɚ ɜɵɲɥɚ ɡɚɦɭɠ (B)» ɢ «Ⱦɠɟɣɧ ɜɵɲɥɚ ɡɚɦɭɠ (B), ɢ ɭ ɧɟɟ ɪɨɞɢɥɫɹ ɪɟɛɟɧɨɤ (A)» ɩɨɧɢɦɚɸɬɫɹ ɩɨ-ɪɚɡɧɨɦɭ. ɗɬɨ ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɨ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɜ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɮɪɚɡɚɯ ɫɥɟɞɭɸɬ ɨɞɧɨ ɡɚ ɞɪɭɝɢɦ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ.

Ⱥ ɜ ɚɥɝɟɛɪɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ ɜɪɟɦɹ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɦ – ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ. Ɂɧɚɱɢɬ, ɫɬɪɟɦɢɬɶɫɹ ɩɟɪɟɜɟɫɬɢ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɧɚ ɹɡɵɤ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ ɢ ɚɧɚɥɢɡɢɪɨɜɚɬɶ ɷɬɢ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɟɟ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ ɧɭɠɧɨ, ɨɞɧɚɤɨ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɫɥɟɞɭɟɬ ɛɵɬɶ ɚɤɤɭɪɚɬɧɵɦ. Ʉ ɬɨɦɭ ɠɟ ɟɫɬɶ ɫɥɭɱɚɢ, ɤɨɝɞɚ ɷɬɨ ɢ ɜɨɜɫɟ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ A ºA 0 ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɜɟɪɧɨ. Ⱥ ɜɨɬ ɫɬɪɨɤɢ ɢɡ ɫɬɢɯɨɬɜɨɪɟɧɢɹ ɫɪɟɞɧɟɜɟɤɨɜɨɣ ɮɪɚɧɰɭɡɫɤɨɣ ɩɨɷɬɟɫɫɵ Ʌ. Ʌɚɛɟ:

Ɉɬ ɫɱɚɫɬɶɹ ɹ ɜ ɬɨɫɤɟ ɫɦɟɪɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɚɱɭ, Ʌɟɝɤɚ ɦɧɟ ɠɢɡɧɶ, ɥɟɝɤɚ ɢ ɬɹɠɟɥɚ.

28

ɧɟɩɨɞɜɥɚɫɬɧɵ ɷɬɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ. ɗɬɨ ɡɧɚɱɢɬ, ɱɬɨ ɨɬɧɸɞɶ ɧɟ ɜɫɹɤɭɸ ɝɚɪɦɨɧɢɸ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɚɥɝɟɛɪɨɣ (ɩɭɫɬɶ ɷɬɨ ɞɚɠɟ ɢ ɚɥɝɟɛɪɚ ɥɨɝɢɤɢ).

Вопросы и задачи для самоконтроля

1.Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɥɨɝɢɤɢ: «ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ», «ɩɪɨɫɬɨɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ», «ɫɥɨɠɧɨɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ».

2.ɉɪɢɜɟɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ: ɨɬɪɢɰɚɧɢɟ, ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɹ, ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɹ, ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɹ, ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶ.

3.ɉɟɪɟɜɟɫɬɢ ɧɚ ɹɡɵɤ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɹ:

ɚ) ɍɝɨɥɨɜɧɨɣ ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ ɩɨɞɥɟɠɢɬ ɥɢɰɨ, ɞɨɫɬɢɝɲɟɟ ɤɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɫɨɜɟɪɲɟɧɢɹ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɢɥɟɬɧɟɝɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚ.

ɛ) Ʌɢɰɨ ɧɟ ɩɨɞɥɟɠɢɬ ɭɝɨɥɨɜɧɨɣ ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ ɡɚ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɟ, ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɞɨɛɪɨɜɨɥɶɧɨ ɢ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɨɬɤɚɡɚɥɨɫɶ ɨɬ ɞɨɜɟɞɟɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɞɨ ɤɨɧɰɚ.

ɜ) Ⱦɟɡɟɪɬɢɪɫɬɜɨ ɫ ɨɪɭɠɢɟɦ, ɜɜɟɪɟɧɧɵɦ ɩɨ ɫɥɭɠɛɟ, ɚ ɪɚɜɧɨ ɞɟɡɟɪɬɢɪɫɬɜɨ, ɫɨɜɟɪɲɟɧɧɨɟ ɝɪɭɩɩɨɣ ɥɢɰ ɩɨ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨɦɭ ɫɝɨɜɨɪɭ ɢɥɢ ɨɪɝɚɧɢɡɨɜɚɧɧɨɣ ɝɪɭɩɩɨɣ, ɧɚɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɢɲɟɧɢɟɦ ɫɜɨɛɨɞɵ ɧɚ ɫɪɨɤ ɨɬ ɬɪɟɯ ɞɨ ɞɟɫɹɬɢ ɥɟɬ.

ɝ) x y ɢɥɢ x y;

ɞ) ɟɫɥɢ x!y, ɚ y!z, ɬɨ v w;

4.ɋɨɫɬɚɜɢɬɶɬɚɛɥɢɰɵ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ:

ɚ) Po(PoQ); ɛ) Poº(Q R); ɜ) (Po(Q R)) (ºP Q).

5.Ⱦɨɤɚɡɚɬɶ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ:

ɚ) º(A ºA) 1 – ɡɚɤɨɧ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɹ,

ɛ) A (AoB)oB – ɩɪɚɜɢɥɨ ɢɡɜɥɟɱɟɧɢɹ ɫɥɟɞɫɬɜɢɹ, ɜ) (AoºA)oºA – ɩɪɢɧɰɢɩ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɤ ɚɛɫɭɪɞɭ, ɝ) (AoB) (ºBoºA) – ɡɚɤɨɧ ɤɨɧɬɪɚɩɨɡɢɰɢɢ,

ɞ) ((AoB) (BoC))o(AoC) – ɡɚɤɨɧ ɫɢɥɥɨɝɢɡɦɚ.

29

РАЗДЕЛ II.

Основы математического анализа

ȼɪɟɦɹ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɥɢɰɚ ɩɨɞ ɫɬɪɚɠɟɣ ɞɨ ɫɭɞɟɛɧɨɝɨ ɪɚɡɛɢɪɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɡɚɫɱɢɬɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɫɪɨɤɢ ɥɢɲɟɧɢɹ ɫɜɨɛɨɞɵ, ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɜ ɞɢɫɰɢɩɥɢɧɚɪɧɨɣ ɜɨɢɧɫɤɨɣ ɱɚɫɬɢ ɢ ɚɪɟɫɬɚ ɢɡ ɪɚɫɱɟɬɚ ɨɞɢɧ ɞɟɧɶ ɡɚ ɨɞɢɧ ɞɟɧɶ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹ ɫɜɨɛɨɞɵ – ɨɞɢɧ ɞɟɧɶ ɡɚ ɞɜɚ ɞɧɹ, ɢɫɩɪɚɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɪɚɛɨɬ ɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹ ɩɨ ɜɨɟɧɧɨɣ ɫɥɭɠɛɟ – ɨɞɢɧ ɞɟɧɶ ɡɚ ɬɪɢ ɞɧɹ, ɚ ɜ ɫɪɨɤ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɵɯ ɪɚɛɨɬ – ɢɡ ɪɚɫɱɟɬɚ ɨɞɢɧ ɞɟɧɶ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɩɨɞ

ɫɬɪɚɠɟɣ ɡɚ ɜɨɫɟɦɶ ɱɚɫɨɜ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɵɯ ɪɚɛɨɬ.

(ɍɄ ɊɎ, ɋɬ. 72, ɱ.3)

Глава 3. Числа

3.1. Системы счисления

ɑɢɫɥɨ – ɞɪɟɜɧɟɣɲɟɟ ɢɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɧɹɬɢɣ. Ɉɧɨ ɪɨɞɢɥɨɫɶ ɜ ɨɬɜɟɬ ɧɚ ɧɭɠɞɵ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ, ɯɨɡɹɣɫɬɜɟɧɧɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɱɟɥɨɜɟɤɚ. ɇɚɱɚɥɨɫɶ ɜɫɟ ɫ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɹɜɢɥɢɫɶ ɜ ɫɜɹɡɢ ɫ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɶɸ ɩɨɞɫɱɢɬɵɜɚɬɶ ɨɬɞɟɥɶɧɵɟ ɩɪɟɞɦɟɬɵ (ɫɤɨɬ, ɪɚɛɨɜ, ɜɨɢɧɨɜ ɢ ɞɪ.). Ɍɨɪɝɨɜɥɹ, ɩɪɢɛɵɥɶ ɢ ɞɨɥɝɢ ɩɪɢɜɟɥɢ ɤ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɸ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ (ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɯ ɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ). Ⱦɚɥɶɧɟɣɲɟɟ ɭɫɥɨɠɧɟɧɢɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɢɡɦɟɪɹɬɶ ɢ ɜɵɱɢɫɥɹɬɶ ɞɥɢɧɵ ɩɪɹɦɵɯ, ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɢ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɟɣ ɩɨɪɨɞɢɥɢ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɢ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ.

ȼɵɞɚɸɳɢɦɫɹ ɦɵɫɥɢɬɟɥɶɧɵɦ ɚɤɬɨɦ, ɧɚɱɚɥɨɦ ɚɛɫɬɪɚɤɬɧɨɝɨ ɦɵɲɥɟɧɢɹ ɛɵɥɨ ɨɬɞɟɥɟɧɢɟ ɱɢɫɥɚ ɨɬ ɩɪɟɞɦɟɬɚ ɫɱɟɬɚ, ɤɨɝɞɚ ɜ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɯ ɫɬɚɥɢ ɨɩɟɪɢɪɨɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɫ ɫɚɦɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. Ⱥ ɷɬɨ ɩɨɬɪɟɛɨɜɚɥɨ ɭɦɟɧɢɹ ɡɚɩɢɫɵɜɚɬɶ ɱɢɫɥɚ.

ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɩɪɢɟɦɨɜ ɢ ɩɪɚɜɢɥ, ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɸɳɢɯ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɱɢɫɥɨɦ ɢ ɟɝɨ ɡɚɩɢɫɶɸ, ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ (ɧɭɦɟɪɚɰɢɟɣ).

30