Математика для юристов - Д.А. Ловцова
.pdfJ FRR Fh PR 0.4985.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɫɤɨɦɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɋȼ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ] 3, 3[ ɪɚɜɧɚ
P( 3 X 3) 2uJ 0.9970.
ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ «ɩɪɚɜɢɥɨ ɬɪɟɯ ɫɢɝɦ» ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɨɰɟɧɢɬɶ ɋɄɈ ɥɸɛɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɩɪɢɫɬɪɟɥɤɢ ɨɪɭɠɢɹ ɮɢɤɫɢɪɭɸɬ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɨɬ ɰɟɧɬɪɚ ɦɢɲɟɧɢ. Ɍɪɟɬɶɹ ɱɚɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɢ ɛɭɞɟɬ ɨɰɟɧɤɨɣ ɋɄɈ – ɤɭɱɧɨɫɬɶɸ ɫɬɪɟɥɶɛɵ.
ȼɨɩɪɨɫɵ ɢ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɫɚɦɨɤɨɧɬɪɨɥɹ
1.ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɣɬɟ ɩɨɧɹɬɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ.
2.Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨɧɹɬɢɟ «ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ». ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɬɶ ɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ.
3.Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨɧɹɬɢɟ «ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ». ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɬɶ ɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ.
4.Ⱦɚɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ. ɑɬɨ ɜ ɩɨɜɟɞɟɧɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ?
5.ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ S – ɱɢɫɥɨ ɝɟɪɛɨɜ ɩɪɢ ɱɟɬɵɪɟɯ ɛɪɨɫɤɚɯ ɦɨɧɟɬɵ. ɇɚɣɬɢ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɥɹ
S.
6.Ȼɪɨɫɚɸɬ ɞɜɚ ɢɝɪɚɥɶɧɵɯ ɤɭɛɢɤɚ. ɇɚɣɬɢ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɥɹ ɫɭɦɦɵ ɜɵɩɚɜɲɢɯ ɨɱɤɨɜ.
7.ɋɪɟɞɢ ɞɟɧɟɠɧɵɯ ɛɚɧɤɧɨɬ 20% ɮɚɥɶɲɢɜɵɯ. ɇɚɭɝɚɞ ɛɟɪɭɬ 3 ɤɭɩɸɪɵ. ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɧɚɣɬɢ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ – ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɮɚɥɶɲɢɜɵɯ ɤɭɩɸɪ ɜ ɷɬɨɣ ɜɵɛɨɪɤɟ.
8. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɡɚɞɚɧɚ ɪɹɞɨɦ ɪɚɫ- |
|
Ɍɚɛɥɢɰɚ ɋȼ |
|||
ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɬɚɛɥ. ɋȼ). |
X |
2 |
5 |
8 |
19 |
ɇɚɣɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫ- |
p |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.1 |
ɩɟɪɫɢɸ ɷɬɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. |
|
|
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9. ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɡɚɞɚɧɚ ɮɨɪɦɭɥɨɣ:
f(x) |
0 |
ɩɪɢ x 0, |
®OueOux ɩɪɢ x t 0. |
||
|
¯ |
|
131
ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɧɚɣɬɢ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɥɹ X.
f(v) |
10. ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟ- |
ɥɢɱɢɧɵ V ɡɚɞɚɧɚ ɪɢɫ. 8.13. ȼɟɥɢɱɢɧɵ a ɢ b ɢɡ- |
cɜɟɫɬɧɵ.
ɇɚɣɬɢ:
ɚ) ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ c,
vɛ) ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ f(v) ɢ
a b 0 |
F(v), |
Ɋɢɫ. 8.13 |
ɜ) ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɣ- |
ɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ V. |
132
Ответы к задачам
ɉɪɢɜɟɞɟɧɵ ɨɬɜɟɬɵ ɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɤ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɵɦ ɡɚɞɚɱɚɦ.
Раздел I. Основания математики
Глава 1. Элементы теории множеств
4.ɚ) A (ºA B) <3> (AºA) (A B) <5> E (A B) <4’> A B.
ɛ) (A B) (AºB) <3’> A (BºB) <5> A E <4’> A.
ɜ) º(A B) (ºAºB). Ɋɟɲɚɟɦ ɡɚɞɚɱɭ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢ. ɋɮɨɪɦɢɪɭɟɦ ɨɬɞɟɥɶɧɨ ɥɟɜɭɸ º(A B) ɢ ɩɪɚɜɭɸ (ºAºB) ɱɚɫɬɢ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ (ɪɢɫ. ɜ).
|
: |
|
A |
B |
ºA |
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A B |
ºB |
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|
º(A B) |
ºA ºB |
Ɋɢɫ. ɜ)
Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɨɧɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ. Ɂɧɚɱɢɬ, ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ º(A B) (ºAºB) ɜɟɪɧɨ.
ɝ) ɍɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ º(A B) (ºAºB) ɜɟɪɧɨ, ɩɨɬɨɦɭ ɱɬɨ ɨɧɨ ɞɭɚɥɶɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɱɬɨ ɞɨɤɚɡɚɧɧɨɦɭ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɸ ɜ).
5. |
2 Aº(B C); |
6 (A B)ºC; |
8 A B C. |
7. |
ɚ) ɂȻ Ɂɂ; |
ɛ) ɂȻºɁɂ; ɜ) ºɂȻ Ɂɂ; |
ɝ) ɂȻ Ɂɂ. |
Глава 2. Элементы математической логики
3. ɚ) ɍɝɨɥɨɜɧɨɣ ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ ɩɨɞɥɟɠɢɬ ɥɢɰɨ, ɞɨɫɬɢɝɲɟɟ ɤɨ ɜɪɟɦɟɧɢɫɨɜɟɪɲɟɧɢɹɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹɲɟɫɬɧɚɞɰɚɬɢɥɟɬɧɟɝɨɜɨɡɪɚɫɬɚ – A,
ɥɢɰɨ ɫɨɜɟɪɲɢɥɨ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɟ – ȼ, ɥɢɰɨ ɞɨɫɬɢɝɥɨ 16 ɥɟɬ – ɋ,
ɥɢɰɨ ɩɨɞɥɟɠɢɬ ɭɝɨɥɨɜɧɨɣ ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ – D.
133
Ɂɧɚɱɢɬ,
A (B C)oD.
ɞ) Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ «ɟɫɥɢ x!y, ɚ y!z, ɬɨ v w» ɤɚɤ A, x!y – ɤɚɤ B, y!z – ɤɚɤ C, v w – ɤɚɤ D. Ɍɨɝɞɚ
A (B C)oD, A º(B C) D.
5. ɜ)
((AoºA)oºA) ((ºA ºA)oºA) <7> (ºAoºA) ººA ºA <12> A ºA <5> 1.
Ɉɫɬɚɥɶɧɵɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɞɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ.
Раздел II. Основы математического анализа
Глава 3. Числа
2.10o2
617 |
19 |
08 |
07 |
16 |
15 |
04 |
13 |
02 |
01 |
10 |
512 |
|
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105 |
|
2o16 |
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64 |
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0010 0110 1001 269 |
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41 |
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32 |
|
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16o10 |
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|
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|
9 |
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226190 |
2u162 6u161 9u160 |
617 |
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8 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
1
1
0
4. |
(1000)mod19 12, (1000)mod6 4, |
|
(1000)mod10 0. |
(73)mod19 16, |
|
(73)mod6 |
1, (73)mod10 |
3. |
5. |
ɋɦ. ɪɢɫ. ɈɄɊ. |
|
7. |
ɇɟɤɨɦɩɥɟɤɬ ɫɭɞɟɣ: |
|
|
ɚ) ɜ Ȼɪɸɤɨɜɨ: |
|
55 u100 38%;
145
ɛ) ɜ ɘɛɤɢɧɨ:
98 u100 28%.
352
Ɂɧɚɱɢɬ, ɜ Ȼɪɸɤɨɜɨ ɞɟɥɚ ɯɭɠɟ.
A 0.a-1a-2 a-ka-k-1 a-m
Aɭɫɟɱ 0.a-1a-2 a-k
0
a-k-1t5
1
Aɨɤɪ Aɭɫɟɱ 
Aɨɤɪ Aɭɫɟɱ 1-ku10-k
ɋɌɈɉ
Ɋɢɫ. ɈɄɊ
134
Глава 4. Функции
ɉɪɹɦɚɹ
Ɍɚɛɥɢɰɚ ɉɈɎ
x |
1 |
0 |
2 |
|
4 |
|
8 |
|
y |
Ɉɛɪɚɬɧɚɹ |
|||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||||
y |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
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4. Ⱦɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ: x 2-y. Ɉɬɫɸɞɚ y log2(x) – ɮɭɧɤɰɢɹ, ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɢɫɯɨɞɧɨɣ. ɋɬɪɨɢɦ ɬɚɛɥɢɰɭ ɩɪɹɦɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ. Ɍɚɛɥɢɰɭ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨɥɭɱɢɦ, ɩɨɦɟɧɹɜ ɦɟɫɬɚɦɢ ɫɬɪɨɤɢ ɬɚɛɥɢɰɵ ɩɪɹɦɨɣ ɮɭɧɤ-
ɰɢɢ(ɬɚɛɥ. ɉɈɎ).
ɉɨ ɞɚɧɧɵɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɫɬɪɨɢɦ ɝɪɚɮɢɤɢ ɩɪɹɦɨɣ ɢ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɣ (ɪɢɫ. 5).
11. ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɢɪɭɸ- |
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ɳɢɯ ɩɪɹɦɵɯ: |
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|
|
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|
|
|
|
y |
|
M0(x) |
|
|
|
|||||||
Mk(x) ytk |
ytk 1 ytk |
u(x xtk ) , k |
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4 |
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|
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|||||
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||||||||||||
|
0,n 1, |
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|
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||||||||
|
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|||||||||
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|||||||||||
|
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|
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|||||||||||
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|
xtk 1 xtk |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
x |
|||||
0 |
|
|
ɩɪɢ x xt0, |
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||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|||||||
k(x) |
|
®n 1 |
ɩɪɢ x!xtn, |
|
2 |
|
|
|
6 |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
¯i ɩɪɢ xtidxdxti+1, ɞɥɹ i |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
||||
0,n 1. |
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||||||
|
|
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|
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|||||||
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|||||||||||
ɍ ɧɚɫ n |
3. |
|
|
|
4 |
|
M1(x) |
|
M2(x) |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x1 |
1 x0, k 0, y1 M0( 1) 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Ɋɢɫ. Ɉ.2 |
||||||||||||
x2 |
3, x1 x2 x2, k 1, y2 M1( 3) |
0. |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ɉɨ ɞɚɧɧɵɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɫɬɪɨɢɦ ɬɨɱɟɱɧɵɣ ɝɪɚɮɢɤ, ɫɨɟɞɢɧɹɟɦ ɫɨɫɟɞɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɩɪɹɦɵɦɢ ɥɢɧɢɹɦɢ (ɪɢɫ.Ɉ.2). ɇɚ ɷɬɨɦ ɪɢɫɭɧɤɟ ɥɟɝɤɨ ɭɛɟ-
ɞɢɬɶɫɹ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɞɥɹ x1 |
1 ɢɦɟɟɦ y1 2, ɚ ɩɪɢ x2 |
3 ɩɨɥɭɱɚɟɦ y2 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
12. ɚ) |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x2 4ux 3 |
|
|
0 |
|
|
x2 4ux 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
! |
lim |
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
x 3 u x 3 |
|
3 |
log2(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
xo3 |
x2 9 |
|
xo3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
lim x 2 1 u x 2 1 |
2 |
|
|
|
|
|
§ 1 ·x |
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
2 |
¹ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
xo3 |
|
x 3 u x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x 2 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x 3 u x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
xo3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
x 1 u x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ɋɢɫ. 5 |
|
|
|
|
||||||
x 3 u x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
xo3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim |
|
x 1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
xo3 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||
135
Глава 5. Основы дифференциального исчисления
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§ x2 |
1·3 |
|
2 u x u x2 |
1 x2 1 u 2 u x |
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|||||||||||||||||||
2. |
ɜ) |
|
|
|
|
y’ |
4 u¨ |
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
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|
x2 12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
©¨ x2 1¹¸ |
|
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|||||||||||||||
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|
ɞ) |
|
y’ |
(arccos(x))’ |
|
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1 |
|
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|
1 . |
|||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
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|||||||||||
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|
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|
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sin arccos(x) |
|
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||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
1 cos arccos(x) 2 |
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
8. |
ɛ) |
|
e1.05 e1+0.05 ¢ex+'x |
ex (ex)’u'x |
|
ex exu'x |
exu(1 'x)² |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
eu1.05 2.854. |
|
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||||||||||||||||||||
10. |
ɚ) |
|
|
ɉɪɢɛɥɢɠɟɧɢɟ |
|
ɮɭɧɤɰɢɢ |
y |
e-x |
ɬɪɟɦɹ |
ɫɥɚɝɚɟɦɵɦɢ: |
||||||||||||||||||||||||||||||
M(x) 1 x |
x2 |
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x3 |
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, ɩɟɪɜɨɟ ɢɡ ɨɬɛɪɨɲɟɧɧɵɯ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ u3 |
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. ȼɟɪɯɧɹɹ |
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2 |
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6 |
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ɝɪɚɧɢɰɚ ɞɢɚɩɚɡɨɧɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x!0, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ¸u3¨dH, ɧɚɣɞɟɦ ɬɚɤ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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d0.1, x |
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Глава 6. Основы интегрального исчисления |
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5. |
ɜ) |
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³sin(7 u x) u dx ¢7ux |
t, |
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u³sin(t)udt |
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ucos(7ux). |
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7. ɛ) |
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sin(x) |
t, dt |
cos(x) |
dx, |
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sin2 (x) |
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, |
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, |
1 |
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t |
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8. ɛ) |
³e aux udx |
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³e aux udx t aux, dt |
1 |
F(x) |
audx, dx a udx, |
|
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x a 0, at |
0, x b f, bt f |
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t |
|
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t |
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0 |
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f |
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1 . a
11. Ʉɨɝɞɚ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɨɣ ɜ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ
b
ɮɨɪɦɟ, ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ³f(x)udx ɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɦɟɬɨɞɨɦ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ
a
ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɡɚɞɚɧɧɚɹ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɦ ɭɞɜɨɟɧɢɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ n, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ n 2, ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ, ɩɨɤɚ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɢɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɟ »PR«dH. ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ Mathcad. ɇɢɠɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧ ɥɢɫɬɢɧɝ Mathcad-ɞɨɤɭɦɟɧɬɚ ɫ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ. Ɂɞɟɫɶ, ɤɚɤ ɨɛɵɱɧɨ, ɫɬɪɨɢɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɫ ɲɚɝɨɦ h (ɜɬɨɪɚɹ ɫɬɪɨɤɚ ɥɢɫɬɢɧɝɚ) ɢ ɫ ɲɚɝɨɦ 2uh (ɬɪɟɬɶɹ ɫɬɪɨɤɚ). ɉɨɬɨɦ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ Mathcad ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦ ɮɨɪɦɭɥɵ ɬɪɚɩɟɰɢɣ (6.7) ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ Fh ɢ F2h (ɱɟɬɜɟɪɬɚɹ ɫɬɪɨɤɚ). ɉɨɞ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɧɢɯ ɜɵɜɨɞɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ Fh ɢ F2h. Ⱦɚɥɟɟ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦ ɮɨɪɦɭɥɭ (6.6) ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɨɩɪɚɜɤɢ Ɋɭɧɝɟ ɢ ɜɵɜɨɞɢɦ ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ. ɇɚɤɨɧɟɰ, ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ ɢ ɜɵɜɨɞɢɦ ɢɫɤɨɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ FRR.
137
|
f(x) |
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e |
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2 |
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1 |
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0.74587 |
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0.74298 |
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PR |
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Fh F2h |
PR |
0.00096 |
FRR Fh |
PR |
FRR |
0.74683 |
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3 |
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Ʉɚɤ ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ, ɩɪɢ n 2 PR 0.01581!H, ɩɪɢ n 4 PR 0.00387!H, ɚ
ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ PR 0.00096 H ɞɨɫɬɢɝɚɟɦ ɩɪɢ n 8 (ɥɢɫɬɢɧɝ).
Раздел III. Основы теории вероятностей
Глава 7. Понятие вероятности
3.ɇɚ ɤɚɠɞɵɣ ɢɡ ɲɟɫɬɢ ɜɨɩɪɨɫɨɜ ɦɨɠɧɨ ɞɚɬɶ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɬɪɟɯ ɨɬɜɟɬɨɜ. Ɂɧɚɱɢɬ, ɜɫɟɝɨ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɨɬɜɟɬɨɜ ɛɭɞɟɬ 36 729.
4.ɂ ɡɞɟɫɶ ɱɢɫɥɨ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ 210 1024.
6. Ⱦɨɩɨɥɧɢɦ ɤɚɪɬɢɧɭ ɟɳɟ ɨɞɧɢɦ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ – ɧɢɱɶɟɣ ɇ. Ɍɨɝɞɚ : {A,B,H}. ɉɨ ɫɦɵɫɥɭ ɡɚɞɚɱɢ ɫɨɛɵɬɢɹ A, B ɢ H – ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɟ (ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɢɝɪɵ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɢɡ ɷɬɢɯ ɫɨɛɵɬɢɣ): AuB AuH BuH . ɉɨɷɬɨɦɭ
ɚ) ɫɨɛɵɬɢɟ ºB (ɜɬɨɪɨɣ ɧɟ ɜɵɢɝɪɚɥ) ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɜɵɢɝɪɚɥ ɩɟɪɜɵɣ ɢɥɢ ɩɚɪɬɢɹ ɡɚɤɨɧɱɢɥɚɫɶ ɜɧɢɱɶɸ, ɬɨ ɟɫɬɶ ºB A H. Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤ ɢ ɫɨɛɵɬɢɟ
ºA B H,
ɛ) ɫɨɛɵɬɢɟ ºAuºB (ɧɟ ɜɵɢɝɪɚɥ ɩɟɪɜɵɣ ɢ ɧɟ ɜɵɢɝɪɚɥ ɜɬɨɪɨɣ) – ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɧɢɱɶɹ:
ºAuºB ¢10’² º(A B) ¢A B ºH² ººH ¢12² ɇ.
138
ɜ) ɫɨɛɵɬɢɟ ºA ºB (ɧɟ ɜɵɢɝɪɚɥ ɩɟɪɜɵɣ, ɢɥɢ ɧɟ ɜɵɢɝɪɚɥ ɜɬɨɪɨɣ, ɢɥɢ ɧɟ ɜɵɢɝɪɚɥ ɧɢ ɬɨɬ, ɧɢ ɞɪɭɝɨɣ) ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɜɨɡɦɨɠɟɧ ɥɸɛɨɣ ɢɫɯɨɞ ɢɝɪɵ. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ,
ºA ºB º(AuB) ¢AuB ² º :.
12. ɚ) ɋɭɯɨɜ ɜɵɛɟɪɟɬ ɜɫɟ ɩɹɬɶ ɜɨɩɪɨɫɨɜ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɟ ɡɧɚɟɬ ɨɬɜɟɬɵ:
15 |
u |
14 |
u |
13 |
u |
12 |
u |
11 |
|
13 |
#0.06. |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
230 |
|
|||||
13. ɉɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɬɪɢ ɞɟɥɚ. ɋɨɛɵɬɢɟ «ɜɡɹɬɨ ɞɟɥɨ ɨ ɤɪɚɠɟ» ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɤɚɤ Ʉ, ɫɨɛɵɬɢɟ «ɜɡɹɬɨ ɞɟɥɨ ɧɟ ɨ ɤɪɚɠɟ» – ɤɚɤ ɇ.
ɚ) Ɍɨɝɞɚ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ – «ɫɪɟɞɢ ɬɪɟɯ ɜɡɹɬɵɯ ɧɚ ɩɪɨɜɟɪɤɭ ɞɟɥ ɞɜɚ ɨ ɤɪɚɠɟ» ɫɭɬɶ:
Ⱥ ɄuɄuɇ ɄuɇuɄ ɇuɄuɄ,
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɬɚɤ:
P(A) |
6 |
u |
5 |
u |
24 |
|
6 |
u |
24 |
u |
5 |
|
24 |
u |
6 |
u |
5 |
|
18 |
|
#0.089. |
|
30 |
29 |
28 |
30 |
29 |
28 |
30 |
29 |
28 |
203 |
|
|
|||||||||||
19. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɤɥɢɟɧɬ ɛɟɪɟɬ ɜɤɥɚɞ p |
1 |
|
, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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|
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|
|
4 |
|
|
||
ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜɤɥɚɞ ɨɧ ɛɪɚɬɶ ɧɟ ɛɭɞɟɬ g 3 . 4
ɚ) ɷɬɨ ɫɨɛɵɬɢɟ ɭɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɫɯɟɦɭ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɩɪɢ n 6, m 2:
2 |
2 |
2 |
4 6u5 |
§ |
1 |
·2 |
§ |
3 |
·4 |
5 |
§ |
1 |
·12 |
1215 |
|
|
P6 |
ɋ6 up um |
|
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|
¸ |
u¨ |
|
¸ |
5u3 u¨ |
|
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#0.3. |
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|
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4 |
4 |
2 |
4096 |
|||||||||||
|
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|
|
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¹ |
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¹ |
|
© |
¹ |
|
|||||
20. ɂ ɡɞɟɫɶ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɭɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɫɯɟɦɭ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ p 0.2 ɢ q 0.8. ɋɨɛɵɬɢɟ «ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ» ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨ ɫɨɛɵɬɢɸ «ɧɢ ɨɞɧɨɝɨ». ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɪɚɜɧɚ
0.9. Ɂɧɚɱɢɬ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɚɜɧɚ Pn0 0.1. Ⱥ
P0 |
qn , |
0.1 0.8n , |
ln(0.1) nuln(0.8), |
n |
ln(0.1) |
10.32. |
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||||||
n |
|
|
|
|
ln(0.8) |
|
|
|
|
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||
Ɂɧɚɱɢɬ, ɩɨɬɪɟɛɭɟɬɫɹ 11 ɜɵɫɬɪɟɥɨɜ.
139
Глава 8. Случайные величины
5. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɪɟɲɟɬɤɭ ɤɚɤ 0, ɝɟɪɛ – ɤɚɤ 1. ȼɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɱɟɬɵɪɟɯ ɛɪɨɫɚɧɢɣ ɦɨɧɟɬɵ ɫɜɟɞɟɧɵ ɜ ɬɚɛɥɢɰɭ 1. ɂɡ ɧɟɟ ɩɨɥɭɱɢɦ ɢɫɤɨɦɵɟ ɞɚɧɧɵɟ ɞɥɹ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɪɹɞɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ nS ɜɵɩɚɜɲɢɯ ɝɟɪɛɨɜ (ɬɚɛɥ. 2).
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Ɍɚɛɥɢɰɚ 1 |
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Ɍɚɛɥɢɰɚ 2 |
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0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
nS |
0 |
|
1 |
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2 |
3 |
|
4 |
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||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
pS |
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1 |
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4 |
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6 |
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|
4 |
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1 |
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0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
16 |
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16 |
|
16 |
16 |
|
16 |
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|||||||
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
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7. ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ ɭɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɫɯɟɦɭ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ:
n 3, m 0,3 , p 0.2, q 0.8. ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ ɮɨɪɦɭɥɨɣ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ
Pnm Cmn upnuqn-m,
ɩɨɫɬɪɨɢɦ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ m ɮɚɥɶɲɢɜɵɯ ɤɭɩɸɪ (ɬɚɛɥ. 3), ɚ ɩɨɬɨɦ ɧɚɣɞɟɦ ɢ ɟɝɨ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ:
Ɍɚɛɥɢɰɚ 3
m |
0 |
1 |
2 |
3 |
Pm |
0.512 |
0.384 |
0.096 |
0.008 |
n |
|
|
|
|
n
M[m] ¦muPnm 0.6;
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m 0 |
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|
n |
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D[m] |
¦(m M[m])2 uPnm |
0.480; V |
D[m] |
0.693. |
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||||||
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m 0 |
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|
n |
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8. |
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M[X] |
¦xk upk |
2u0.2 5u0.3 8u0.4 19u0.1 7.0. |
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|
k 1 |
|
|
|
|
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D[X] M[(X mx)2 (2 7)2u0.2 (5 7)2u0.3 (8 7)2u0.,4 (19 7)2u0.1 21. |
|||||||||||||||||
|
f |
2 |
|
f§ |
1 ·2 |
|
Oux |
|
1 |
|
1 |
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||||
Dx |
³ |
x mx |
uf(x)udx |
¨x |
|
¸ |
uOue |
|
|
udx |
|
|
, Vx |
|
|
! |
|
|
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O2 |
|
O |
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|
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³© |
O ¹ |
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f |
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0 |
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|
10. ɚ) ȼɟɥɢɱɢɧɭ c ɧɚɣɞɟɦ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨ 2 ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫ- |
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ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. |
|
|
f |
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|
|
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|||
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|
1 |
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ȼ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ (ɪɢɫ. 8.13): |
³f(v)udv |
|
cu(b a) |
1, ɢ c |
. |
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|
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|
f |
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|
b a |
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140