Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
28
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать
A
РИС. 1.1.1

РАЗДЕЛ. I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Тема 1. Элементы теории множеств. Понятие функции

1.1. Вопросы для самостоятельного изучения

1.1.1. Элементы теории множеств

Множество – это совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку в единое.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами мно-

жества.

Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита: A , B , X , Y , …, а их элементы – малыми буквами: a , b, x , y , ….

Говорят, что элемент a принадлежит множеству A, и пишут a A ( A содержит a ). Запись a A (или a A) означает, что элемент a не принадлежит множеству A. Для наглядности множество A будем изображать в виде плоской геометрической фигуры, например, в виде круга (точки круга – элементы множества A) (рис. 1.1.1).

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов, их можно задать перечислением элементов.

Примеры.

A ={a,b,c,..., p}; C ={2,3,0,1}; B ={b1,b2 ,...,bn }.

Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными. Множество можно задать характеристическим свойством его элементов

– свойством, которым обладают все элементы этого множества и только они.

Записывают так: A ={x : P(x)}, где P(x) – характеристическое свойство.

A ={x : x2 4 = 0}={2,2} – конечное множество,

4

B ={x : x >1} – бесконечное множество.

Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного

элемента.

Множество B называется подмножеством множества менты множества B принадлежат множеству A.

Обозначение: B A.

Иногда говорят: A включает B , или B содержится в A. Для любого множества A справедливо: A A,A. Геометрическое изображение B A показано на рис. 1.1.2.

A, если все эле-

B A

РИС. 1.1.2

1.1.2.Операции над множествами

1)Пересечением A B множеств A и B называется множество, со-

стоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно A и B .

Таким образом, A B ={x : x A и x B}.

На рис. 1.1.3 множество A B выделено двойной штриховкой. Множест-

ва A и B могут быть такими, что их пересечение будет пустым множеством:

A B = (рис. 1.1.4).

A B A B

РИС. 1.1.3

РИС. 1.1.4

2) Объединением

A B множеств A и B называется множество, со-

стоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B .

Таким образом, A B ={x : x A или x B}.

На рис. 1.1.5,а,б множество A B выделено штриховкой. 5

а)

 

б)

 

 

 

A

B

A

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РИС. 1.1.5

 

 

 

3) Разностью A \ B множеств A и B называется множество, состоящее

из всех элементов A, не принадлежащих B .

 

 

 

Таким образом,

 

а)

 

 

б)

 

 

 

 

A B

A \ B ={x : x A и x B}.

 

A

B

На рис. 1.1.6 множество A \ B

 

 

 

выделено двойной штриховкой.

 

 

РИС. 1.1.6

 

Если B – подмножество

A, то разность

A \ B также называют дополне-

нием множества B до множества A (рис. 1.1.6,б).

1.1.3. Отображение множеств. Мощность множества.

Говорят, что задано отображение множества A в множество B , если каждому элементу x из A поставлен в соответствие единственный элемент y из

B .

Обозначение: A f B , или f : A B .

1.1.4. Употребление математической символики. Кванторы общности, существования и единственности

В математике часто используется символическая форма записи. Ранее уже были введены такие символы, как , , , , \ , , , , , , f .

Кроме них при записи определений и формулировок теорем будут также использоваться и другие символы, в частности, символы логических операций

( – «… тогда и только тогда, когда …»; – «если …, то …»; – «… и …», – «… или …»).

Также в математике используются операции, которые называются кван-

торными операциями.

6

Квантором общности по переменной x называется выражение «для лю-

бого x » (для всякого x , для каждого x ) и обозначается x (английское слово

All – все).

« x : G(x)» – для любого x верно G(x).

Квантором существования по переменной x называется выражение

«существует x » (есть x , найдется x ) и обозначается x (английское слово Existence – существование).

Из других кванторов можно указать квантор единственности, обозначаемый !x («для одного и только одного x »).

1.1.5.Числовые множества

={1,2,3,4,...} – множество натуральных чисел.

={...,3,2,1,0,1,2,3,...} – множество целых чисел.

 

 

p

 

 

 

– множество рациональных чисел.

= x : x

=

, p

,q ,q 0

 

 

 

 

q

 

 

 

– множество действительных (вещественных) чисел.

При этом

 

 

.

 

 

Каждое действительное число изображается точкой на координатной пря-

мой (числовой оси) (рис. 1.1.7).

–2

–1

0

1

2

2

3

 

 

 

РИС. 1.1.7

 

 

1.1.6. Подмножества множества

 

(интервалы)

 

Рассмотрим подмножества множества

(интервалы):

(a,b)={x : a < x < b}

– открытый интервал

 

[a,b]={a x b} – замкнутый интервал (отрезок)

7

x

рис. 1.1.8,а;

рис.