1.2.Контрольные вопросы

1)Что называется множеством?

2)Что называется пересечением множеств?

3)Что называется объединением множеств?

4)Что называется разностью множеств?

5)Назовите виды числовых множеств?

6)Какие подмножества множества действительных чисел вы знаете?

7)Что такое окрестность точки?

8)Что называется функцией, областью определения функции, областью значений функции?

9)Какие функции называются основными элементарными функциями?

10)Дайте определение следующих свойств функции: четность, нечетность; периодичность, ограниченность, приведите примеры.

11)Что называется графиком функции?

Тема 2. Теория пределов

2.1. Вопросы для самостоятельного изучения

2.1.1. Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, которая опреде-

лена на множестве натуральных чисел и обозначается yn = f (n), n .

Определенная таким образом функция каждому натуральному числу n ставит в соответствие действительное число yn . Числовая последовательность записывается в виде: y1, y2 , y3 ,..., yn ,..., или кратко: yn .

2.yn = (−1)n +1, или yn : 0,2,0,2,...

3.y1 = a1, yn = yn−1 + d – арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность может быть задана формулой общего члена yn (примеры 1, 2) или рекуррентной формулой (пример 3).

14

n → ∞).

В этом случае говорят, что последовательность yn сходится к a, или име-

ет конечный предел. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая конечного предела, назы-

вается расходящейся.

2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x → +∞, ес-

ли для любого ε > 0 существует число M > 0 такое, что при всех x > M выпол-

няется неравенство α(x) < ε.

Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x → a , если для любого ε > 0 существует проколотая окрестность Uar точки a , в которой выполняется неравенство α(x) < ε.

Свойства бесконечно малых функций

1.α(x) и β(x) – б.м.ф. α(x)±β(x) – б.м.ф.

2.α(x) – б.м.ф., f (x) – ограниченная α(x) f (x) – б.м.ф.

3.α(x) и β(x) – б.м.ф. α(x) β(x) – б.м.ф.

4.α(x) – постоянная б.м.ф. α(x)= 0 .

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при x → ∞,

если для любого числа A > 0 существует число M > 0 такое, что для всех x > M выполняется неравенство f (x) > A.

15

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при x → a ,

если для любого числа A > 0 существует проколотая окрестность Uar точки a , в

которой выполняется неравенство f (x) > A.

Функция y=f (x) называется ограниченной на интервале, если существу-

ет число C > 0 такое, что для всех x из этого интервала выполняется неравен-

ство f (x) ≤ C .

2.1.4. Предел функции

Число b = lim f (x) называется пределом функции f (x) на бесконеч-

x→+∞

ности ( x → +∞), если f (x)=b + α(x), где α(x) – б.м.ф. при x → +∞.

Число b называется пределом функции f (x) при x → a , если разность f (x)− b является б.м.ф. при x → a .

2.1.5. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть существует предел отношения б.м.ф. α(x) и β(x) при x → a

( x →∞).

Б.м.ф. α(x) называется б.м.ф. более высокого порядка малости, чем

б.м.ф. β(x), если lim α((x)) = 0 .

x→a β x

(x→∞)

ются эквивалентными б.м.ф.

2.1.6. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

lim sin x =1.

x→0 x

16