|
Adx |
|
|
A(x − x |
)−k+1 |
|
k ≠1: ∫ |
|
= |
0 |
|
+ C . |
|
(x − x0 ) |
k |
−k + |
1 |
|||
|
|
|
|
2. Простейшие дроби второго типа
∫ |
Mx + N |
M |
ln (x2 + a2 )+ |
N |
|
x |
|
x2 + a2 dx == |
2 |
|
arctg |
|
+ C |
||
a |
a |
.
7.1.7. Интегрирование рациональных дробей
Вычисление интеграла от рациональной дроби
Q(x)
∫Pnm(x)dx , где
Qm (x), Pn (x) – многочлены с действительными коэффициентами, будем про-
водить по следующей схеме:
1) определить, является дробь Qm((x)) правильной (m < n) или неправиль-
Pn x
ной (m ≥ n), у неправильной дроби выделить целую часть
Qm (x) |
= S |
|
(x)+ |
Rk (x) |
, где k < n ; |
|||
P |
(x) |
m−n |
P |
(x) |
||||
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2)разложить многочлен Pn (x) на действительные множители;
3)разложить правильную дробь в сумму простейших дробей;
4)подставить полученное разложение под знак интеграла и вычислить интегралы, пользуясь табличными интегралами и способами интегрирования простейших дробей.
7.1.8.Метод замены переменной (метод подстановки)
Рассмотрим неопределенный интеграл ∫ f (x)dx . Вместо переменной x
под знак интеграла можно ввести новую вспомогательную переменную t , свя-
занную с x некоторой зависимостью |
x =ϕ(t). Тогда dx = ϕ′(t)dt , |
а интеграл |
|||
преобразуется к виду |
|
∫ |
|
|
|
∫ |
f (x)dx = |
|
|||
|
|
f ϕ(t) ϕ′(t)dt . |
(2) |
||
|
|
|
49 |
|
|