Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
26
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать

РАЗДЕЛ. III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 7. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами

7.1. Вопросы для самостоятельного изучения

7.1.1. Неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) , если вы-

полняется равенство F(x) = f (x) .

Любая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообраз-

ных. Если F (x) – одна из первообразных функции f (x), то все множество первообразных имеет вид F (x) + C , где C – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неоп-

ределенным интегралом от функции f (x) и обозначается f (x)dx .

Терминология:

f (x) – подынтегральная функция;

f (x)dx – подынтегральное выражение;

x– переменная интегрирования;

– знак интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции на-

зывается интегрированием.

7.1.2.Свойства неопределенного интеграла

1.Свойства, связывающие операции дифференцирования и интегрирования:

а) (f (x)dx)= f (x);

б) d (f (x)dx)= f (x)dx ;

в) F(x)dx = F (x)+ C ;

г) dF (x) = F (x) + C .

 

45

2. Свойства линейности неопределенного интеграла:

f1 (x) ± f2 (x) dx = f1 (x)dx ± f2 (x)dx ;

af (x)dx = af (x)dx ,

где a – постоянная.

3. Если f (x)dx = F (x) + C , то f (ax + b)dx = 1a F (ax + b)+ C .

7.1.3. Таблица интегралов

1. dx = x + C

 

 

 

 

2. xndx =

 

 

xn+1

+ C , n ≠ −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. dx

= ln

 

x

 

+ C

 

 

4. axdx =

 

ax

+ C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

exdx = ex + C

 

 

 

6. cos xdx = sin x + C

 

 

7.

sin xdx = −cos x + C

 

8.

 

dx

 

= tgx + C

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

dx

= −ctgx + C

 

 

10.

dx

= arcsin x + C

 

 

1 x2

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

dx

 

 

= arctgx + C

 

12.

 

 

dx

 

 

 

 

 

= arcsin

x

+ C

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

a

1

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

dx

 

=

1

arctg

x

+ C

14.

 

xdx

 

 

 

=

1

ln (x2

+ a2 )+ C

 

a

2

+ x

2

a

a

x

2

+ a

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.1.4. Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям

udv = uv vdu .

Виды интегралов, берущихся методом интегрирования по частям

При разбиении подынтегрального выражения на множители u , dv необходимо руководствоваться следующими соображениями:

1) при вычислении интеграла udv

методом интегрирования по частям

приходится вычислять два интегралаdv

и vdu , поэтому, за dv необходимо

46

 

обозначить такое выражение, которое можно проинтегрировать, а интеграл

vdu должен быть проще, чем исходный;

2) так как под знаком нового интеграла vdu находится дифференциал du =udx функции u(x), то за u надо обозначить функцию, которая при диф-

ференцировании упрощается.

Выделим два типа интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

Первый тип:

xn cos axdx, xn sin axdx, xneaxdx, n > 0 – целое.

Здесь u = xn , а в качестве dv выбирается cos axdx , sin axdx , eaxdx .

Второй тип:

xn ln xdx, xn arctg xdx, xn arcsin xdx .

Здесь в качестве u берутся функции ln x , arctg x , arcsin x , а dv = xndx .

7.1.5. Рациональные дроби

Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией называет-

ся отношение двух многочленов

f (x)=

Q

(x)

 

b xm + b xm1

+...+ b

m

 

=

0

1

m

.

Pn

(x)

a xn + a xn1

 

 

 

+...+ a

 

 

 

 

0

1

n

Если m < n , то дробь называется правильной, если m n , то дробь назы-

вается неправильной.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби

Qm (x)

= S

 

(x)+

Rk (x)

, (k < n) .

(1)

P

(x)

mn

P

(x)

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

Представление (1) называется выделением целой части.

Среди правильных рациональных дробей выделяются простейшие дроби двух видов:

1. Простейшие дроби первого типа:

47

A

 

,

k 1 – целое;

(x x

)k

0

 

 

 

2. Простейшие дроби второго типа:

Mx + N

,

r 1 – целое, p2 4q < 0 .

(x2 + px + q)r

 

 

Разложение рациональной дроби в сумму простейших дробей

1. Множителю знаменателя вида (x x0 ) соответствует одна простейшая

дробь первого типа

 

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Множителю знаменателя вида

(x x

)k

соответствует k простейших

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

A2

 

 

 

Ak

 

 

 

 

 

 

 

 

дробей первого типа:

 

,

 

, …,

 

 

 

.

 

 

 

 

 

x x0

(x x )2

(x x

)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

3.

Множителю знаменателя вида

x2 + px + q , где

p2 4q < 0 , соответст-

вует одна простейшая дробь второго типа

 

Mx + N

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + px + q

 

 

 

 

 

4.

Множителю знаменателя вида (x2 + px + q)r , где

p2 4q < 0 соответ-

ствует

r простейших дробей второго типа:

 

M1x + N1

 

,

 

M2 x + N2

, …,

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + px + q)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + px + q

 

 

Mr x + Nr . (x2 + px + q)r

Здесь числа A, A1, A2 ,..., M , N, M1, N1, ... – неопределенные коэффициен-

ты.

7.1.6.Интегрирование простейших рациональных дробей

1.Простейшие дроби первого типа

Adx

k =1: x x0 = A = Aln x x0 + C ;

48