Формула (2) называется формулой замены переменной. Смысл этой формулы состоит в том, что интеграл в правой части либо является табличным, либо приводится к табличному легче, чем исходный. Для этого необходимо вы-
брать удачную замену (подстановку) x =ϕ(t). После того, как интеграл в пра-
вой части вычислен, необходимо вернуться к первоначальной переменной x ,
используя обратную функцию t =ψ(x).
7.1.9.Интегрирование иррациональных выражений
1.Рассмотрим интеграл вида
|
∫R(x, n ax + b )dx , |
(3) |
где R – рациональная функция своих аргументов. Сделаем замену переменной |
||
n ax + b = t ax + b = tn. |
|
|
Выразим x и найдем dx |
|
|
ax =tn −b |
x = 1 (tn − b) |
dx = n tn−1dt |
|
a |
a |
Используя формулу замены переменной (2), получим интеграл от рацио- |
||
нальной функции переменной t . |
|
|
2. Рассмотрим интеграл вида |
|
|
|
∫R(x, m xα , p xβ , ...)dx, |
(4) |
где R – рациональная функция своих аргументов. Найдем наименьшее общее кратное n показателей корней m, p, ... , входящих под знак интеграла. Сделаем замену переменной
n x =t x = tn dx = ntn−1dt .
Используя формулу замены переменной (2), получим интеграл от рациональной дроби.
7.2.Контрольные вопросы
1)Какая функция называется первообразной для функции f (x)? Сколько первообразных имеет данная функция?
50