если f ′′(x0 ) < 0 , то x0 – точка максимума,
если f ′′(x0 ) > 0 , то x0 – точка минимума.
5.1.6.Второй способ исследования функции на экстремум
1.Найти область определения Dy функции.
2.Найти f ′(x) , решить уравнение f ′(x) = 0 . Найти критические точки.
3.Найти f ′′(x) и её значения в критических точках, сделать вывод о на-
личии точек экстремума.
4.Найти экстремумы функции.
5.1.7.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Задача. Дана непрерывная на [a, b] |
функция |
f (x) . Требуется найти наи- |
||||||
большее M и наименьшее m значения функции f (x) |
на этом отрезке. |
|
|
|||||
Решение. Из чертежа (Рис. 5.1.8) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
видно, что наибольшее и наименьшее |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
||||
значения функция принимает либо в |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точках экстремума, либо на концах от- |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
резка. |
0 |
а |
x |
b x |
||||
1 |
|
|
||||||
Отсюда вытекает схема решения |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
задачи: |
|
|
|
РИС. 5.1.8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
1.Найти y′, решить уравнение y′= 0 , найти критические точки, лежащие внутри отрезка [a, b].
2.Найти значение функции в этих точках и на концах отрезка.
3.Выделить среди этих значений наибольшее и наименьшее.
5.1.8.Выпуклость, вогнутость графика функции
1) График функции f (x) называется выпуклым на интервале (a,b) , если
он лежит под касательной, проведенной к графику в любой точке интервала
(a,b) (рис. 5.1.9).
37
2) График функции f (x) называется вогнутым на интервале (a,b) , если
он лежит над касательной, проведенной к графику в любой точке интервала
(a,b) (рис. 5.1.10).
y |
y = f (x) |
y |
y = f (x) |
|
|
0 а |
b |
x |
0 а |
b |
x |
|
РИС. 5.1.9 |
|
|
РИС. 5.1.10 |
|
Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции
1)Если f ′′(x) < 0 на (a,b) , то график функции f (x) выпуклый на (a,b) ;
2)Если f ′′(x) > 0 на (a,b) , то график функции f (x) вогнутый на (a,b) .
5.1.9.Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие перегиба.
Определение. Точка M (x0 , y0 ) , ле-
жащая на графике функции, называется точкой перегиба, если она разделяет выпуклую и вогнутую части графика (Рис. 5.1.11).
Необходимое условие перегиба
y
y = f (x) y0 
0 |
x 0 |
x |
|
||
|
РИС. 5.1.11 |
|
Если M0 (x0 , y0 ) – точка перегиба графика функции f (x) , то |
f ′′(x0 ) либо |
||
равна нулю, либо не существует. |
|
|
|
Достаточное условие перегиба |
|
|
|
Если f ′′(x0 ) = 0 или f ′′(x0 ) не существует и при переходе x через точку |
|||
′′ |
M0 (x0 , y0 ) , |
y0 |
= f (x0 ) яв- |
x0 вторая производная f (x) меняет знак, то точка |
|||
ляется точкой перегиба графика непрерывной функции f (x) .
38
5.1.10.Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
1.Найти область определения Dy функции f (x) .
2. Найти f ′(x), f ′′(x) , решить уравнение f ′′(x) = 0 и выделить точки, где
f′′(x) не существует. Найти критические на перегиб точки.
3.Разбить область определения функции критическими точками и точками разрыва функции на интервалы и найти знак f ′′(x) в каждом интервале.
Сделать вывод: найти интервалы выпуклости, вогнутости.
4.Найти вторые координаты точек перегиба, записать эти точки.
5.1.11.Асимптоты графика функции
Прямая называется асимптотой данной кривой, если расстояние от точки M кривой до этой прямой неограниченно уменьшается, когда точка M удаляется по кривой в бесконечность.
Различают вертикальные (Рис. 5.1.12) и наклонные (Рис. 5.1.13, Рис. 5.1.14) асимптоты.
y |
|
y |
|
y |
|
|
M |
|
M |
|
M |
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
x |
0 |
x |
РИС. 5.1.12 |
|
РИС. 5.1.13 |
|
РИС. 5.1.14 |
|
1. |
Вертикальная асимптота, её уравнение имеет вид x = a . Если точка |
||||
x0 = a |
является точкой бесконечного разрыва функции |
f (x) , то уравнение |
|||
x = a является уравнением вертикальной асимптоты. |
|
|
|||
График функции может иметь несколько вертикальных асимптот. |
|||||
2. |
Наклонная асимптота, |
её уравнение имеет вид |
y = k x + b . Найдём |
||
формулу для вычисления k и b , где
k = lim f (x) .
x→∞ x
39