Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.

Объём продукции , произведённой за отрезок временипри производительности, равен.

Издержки производства при известной функции издержеки заданном изменении объёмапроизводстваравны.

Тема 3. Несобственные интегралы.

Интегралы с бесконечными пределами.

Если функция интегрируема на отрезке, тонесобственным интегралом первого рода от функции на промежуткеназываетсяи обозначается, т.е.. Аналогично:.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный интегралопределяется равенством:

, где - произвольное число, причём интеграл в левой части равенства сходится, если сходятся оба интеграла в правой части.

Интегралы от неограниченных функций.

Если функция интегрируема прии, тонесобственным интегралом второго рода от функции на отрезкеназываетсяи обозначается, т.е.. Аналогично, в случаеи:.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Тема 4. Кратные интегралы.

Замкнутую область , где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке, будем называтьэлементарной в направлении оси и обозначать(рис.8).

Замкнутую область , где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке, будем называтьэлементарной в направлении оси и обозначать(рис.9).

Рис.8 Рис.9

Область, элементарная в направлении одной из осей, не обязана быть элементарной в направлении другой.

Выражение называетсяповторным интегралом от

функции по области , а выражениеназываетсяповторным интегралом от функции по области .

В повторных интегралах сначала вычисляются внутренние интегралы, причём интегрирование производится по внутренней переменной, а внешняя переменная считается постоянной. В результате получится подынтегральная функция для внешнего интеграла, интегрируя которую получим число.

Имеет место равенство =, если. Еслине является множеством такого вида, то при изменении порядка интегрирования, её представляют в виде конечного объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей, каждая из которых является элементарной в направлении той или другой координатной оси. Тогда в силу аддитивности повторный интеграл по областибудет равен сумме повторных интегралов по областям.

Представление области в виде, часто существенно упрощается при изображении областина чертеже.

Двойным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой областиназывается число, где,и суммирование ведётся по тем значениями, для которых.

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Если не является множеством такого вида, то её представляют в виде объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей, каждая из которых является элементарной в направлении той или другой оси. Разбиение зависит от желаемого порядка расстановки пределов интегрирования. Тогда в силу аддитивности двойного интеграла

.

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам, связанным с прямоугольными координатами соотношениями ,,имеет место формула ,где - область интегрирования в плоскости переменныхи.

Если область имеет вид, где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке, то двойной интеграл ,где ,вычисляется по формуле . Если область интегрированияне принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.

Площадь области вычисляется по формуле. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координатк полярным координатам, имеет место формула,где - область интегрирования в плоскости переменныхи.

Среднее значение непрерывной функции в области вычисляется по формуле.

Объём υ цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостьюи с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскостиобласть, вычисляется по формулеυ. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координатк полярным координатам, имеет место формулаυ,где - область интегрирования в плоскости переменныхи.