Тема 11. Системы дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений вида , где- искомые функции, называетсянормальной системой дифференциальных уравнений. Число называется порядком системы. Совокупность функций ,,…,обращающих каждое уравнение системы в тождество, называетсярешением этой системы.

Условия ,,…,, где,,,…,- заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения нормальной системы уравнений, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Общим решением нормальной системы ДУ называется решение:

,,…,,

зависящее от произвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,…,. Общее решение, заданное в неявном виде,называетсяобщим интегралом системы.

Частным решением системы называется решение ,,…,, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных. Если для искомого частного решения системы заданы начальные условия,…,и известно общее решение,,…,системы, то значенияпроизвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений.

Нормальные системы ДУ с небольшим числом уравнений решают методом исключения неизвестных функций приводя их к одному дифференциальному уравнению -го порядка или к нескольким уравнениям порядка, меньшего чем.

Для нахождения решения, например, нормальной системы двух уравнений ,, где,- неизвестные функции независимой переменнойпоступают следующим образом. Сначала дифференцируют попервое из уравнений системы и получают уравнение. Затем определяютиз первого уравнения системы и подставляют найденное выражениев уравнение. В результате получают ДУ второго порядка относительно неизвестной функции, решая которое находят, гдеи-произвольные постоянные. Подставляяв формулу, определяют функцию. Совокупность функций,даёт общее решение системы.

Тема 12. Обыкновенные разностные уравнения.

Если неизвестная функция и заданная функцияявляются функциями одного целочисленного аргумента, то уравнение вида,, где- постоянные коэффициенты, называетсялинейным разностным уравнением (ЛРУ) го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение называетсяоднородным.

Функция ,, обращающая разностное уравнение в тождество, называется егорешением.

Условия ,,…,, где,,…,- заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением РУ -го порядка называется решение, зависящее отпроизвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,,…,.Частным решением называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных.

Общее решение однородного ЛРУ -го порядкаищется, аналогично общему решению дифференциального уравнения, в виде, где- фундаментальная система его решений;- произвольные постоянные.

Фундаментальной системой решений однородного ЛРУ -го порядканазывается любая система излинейно независимых частных решений,,…,этого уравнения.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корнейхарактеристического уравнения . А именно:1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решениеразностного уравнения;2) если - действительный корень кратности, то ему в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,…,;3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения:,, где,.

Общее решение неоднородного линейного разностного уравнения имеет вид, где- общее решение соответствующего однородного разностного уравнения,- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение разностного уравнения с правой частью специального видаищетсяметодом неопределённых коэффициентов в виде , где, если число, для которогои, не является корнем характеристического уравнения, иравно кратности корняв противном случае;и- полные многочлены степенис неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степенисоответственно являются:,,,,…. Для нахождения коэффициентов многочленови, надо подставить решениев неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

По аналогии с нормальными системами дифференциальных уравнений рассматриваются также и нормальные системы разностных уравнений вида , где- искомые функции,- заданные функции целочисленного аргумента,. Число называется порядком системы. Совокупность функций ,,…,обращающих каждое уравнение системы в тождество, называетсярешением этой системы.

Условия ,,…,, где,,…,- заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением системы РУ -го порядка называется решение:

,,…,,

зависящее от произвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,,…,.

Частным решением системы называется решение ,,…,, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных.