2. Содержание и структура дисциплины (2-ой семестр обучения). Раздел. Интегральные исчисления.

Тема 1. Неопределённый интеграл.

Первообразная функция, её свойства. Неопределённый интеграл, условия его существования, свойства. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование; интегрирование заменой переменной, интегрирование по частям. Неправильные и правильные рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простые. Интегрирование простых, правильных, неправильных рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.

Литература: [1] –C.162-187; [2] –C.247-276; [3] – C.315-348; [5] – C.159-177.

Тема 2. Определённый интеграл.

Определённый интеграл, условия его существования, геометрический смысл и свойства. Оценка интеграла и формулы среднего значения. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле. Применение определённого интеграла для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел.

Литература: [1] –C.187-233; 310-317; [2] –C.278-302; [3] – C.356-376; 401-411; [5] – C.177-207.

Тема 3. Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования и от неограниченной функции. Понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.

Литература: [1] –C.237-249; [2] –C.302-306; [3] – C.378-384; [5] – C.209-214.

Тема 4. Кратные интегралы.

Понятия двойного и тройного интегралов, условия их существования, геометрический и физический смысл, свойства. Оценка интегралов и формулы средних значений. Понятие правильной области. Повторные интегралы по правильным областям. Вычисление кратных интегралов переходом к повторным в декартовых координатах. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Приложения двойных и тройных интегралов.

Литература: [1] –C.390-405; [2] –C.406-409; [4] –C.152-172; 190-199; [5] –C.307-318; 346-353.

Раздел.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. РЯДЫ.

Тема 5. Числовые ряды.

Понятие числового ряда. Частичная сумма, остаток, сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды, их свойства. Необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости ряда. Ряды с положительными членами, достаточные признаки их сходимости (признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши). Ряд геометрической прогрессии и обобщённый гармонический ряд, условия их сходимости, расходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка суммы и остатка знакочередующегося ряда. Знакопеременные ряды, достаточный признак их сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды, их свойства.

Литература: [1] –C.249-262; [2] –C.343-364; [4] –C.245-266; [5] –C.379-391.

Тема 6. Функциональные последовательности и ряды.

Понятия функциональной последовательности и функционального ряда. Частичная сумма, остаток, точка и область сходимости, сумма функционального ряда. Нахождение области сходимости.

Литература: [4] –C.266-275.

Тема 7. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Понятие степенного ряда. Признак Абеля. Интервал и радиус абсолютной сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда, её нахождение. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложимости функций в ряд Тейлора. Применение ряда Тейлора в приближённых вычислениях.

Литература: [1] –C.262-272; [2] –C.366-382; [4] –C.275-292; [5] –C.391-409.

Тема 8. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье. Тригонометрические системы функций, их свойства. Условия Дирихле. Достаточный признак Дирихле разложимости функции в ряд Фурье. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций, функций, заданных на половине периода.

Литература: [1] –C.272-282; [4] –C.318-332; [5] –C.410-416.

Раздел. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ, РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Понятие дифференциального уравнения (ДУ). ДУ 1-ого порядка, основные сведения о них (формы записи, решение, начальные условия, общее и частное решения). Задача Коши. ДУ с разделёнными и разделяющимися переменными. Однородное ДУ. Линейное ДУ и уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Литература: [1] –C.477-489; 516-523; [2] –C.319-334; [4] –C.16-37; 45-47; [5] –C.416-425.

Тема 10. Дифференциальные уравнения высших порядков.

ДУ порядка , основные сведения о них (формы записи, решение, начальные условия, общее и частное решения). Задача Коши. ДУ порядка, допускающие понижение порядка. Линейное ДУ порядка. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости систем функций. Фундаментальная система решений (ФСР). Структура общего решения ЛДУ порядка. Принцип суперпозиции частных решений. Однородные и неоднородные ЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение ФСР и общего решения ОЛДУ для различных типов корней характеристического уравнения. Нахождение частного и общего решений НЛДУ в случае специальной правой части уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

Литература: [1]–C.489-515;523-527; [2]–C.334-341; [4] –C.55-94; [5] –C.431-449.