2012_MATAN-2 / 2012 МАТАН-2 / 2012 МАТАН-2 Вопросы к экзамену

2

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математический анализ-2»

Раздел. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

1. Первообразная функция, её основные свойства.

2. Неопределённый интеграл, условия его существования и основные свойства.

3. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям.

4. Вычисление интегралов вида: а), б) в), г).

5. Неправильная и правильная рациональные дроби, разложение правильной дроби на простые.

6. Интегрирование простых, правильных и неправильных рациональных дробей.

7. Нахождение интегралов вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

8. Нахождение интегралов вида с помощью подстановки .

9. Нахождение интегралов вида с помощью подстановки .

10. Нахождение интегралов вида с помощью подстановки .

11. Нахождение интегралов вида: , где - целые неотрицательные числа.

12. Нахождение интегралов вида

13. Нахождение интегралов вида .

14. Определенный интеграл как предел интегральной суммы, его геометрический смысл. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу, их геометрический смысл. Условия существования определённого интеграла.

15. Основные свойства определенного интеграла. Оценка определённого интеграла и формулы среднего значения.

16. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

17. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле.

18. Площадь плоской фигуры (заданной декартовыми координатами) и её вычисление с помощью определённого интеграла.

19. Длина дуги кривой (заданной декартовыми координатами и в параметрическом виде) и ее вычисление с помощью определённого интеграла.

20. Объем тела вращения и его вычисление с помощью определенного интеграла.

21. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования, их сходимость и расходимость.

22. Несобственные интегралы от неограниченных функций, их сходимость и расходимость.

Раздел. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.

23. Понятие числового ряда (ЧР). Частичная сумма и остаток ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда.

24. Основные свойства сходящихся и расходящихся рядов. Необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости ряда.

25. Достаточные признаки сравнения (классический и предельный) сходимости рядов с положительными членами.

26. Эталонные числовые ряды (геометрический и обобщённый гармонический), условия их сходимости и расходимости.

27. Достаточные признаки Даламбера и Коши (радикальный и интегральный) сходимости ЧР с положительными членами, условия их применимости.

28. Знакочередующийся числовой ряд. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка суммы знакочередующегося ряда и его остатка. Вычисление суммы знакочередующегося ряда с заданной степенью точности ?

29. Знакопеременный числовой ряд. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды, их основные свойства. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

30. Функциональный ряд (ФР). Область определения ФР. Частичная сумма, остаток, точка сходимости, область сходимости, сумма ФР.

31. Степенной ряд. Признак Абеля сходимости степенного ряда. Радиус, интервал, область сходимости степенного ряда, их нахождение.

32. Основные свойства степенных рядов.

33. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора. Применение ряда Тейлора в приближённых вычислениях.

34. Ряд Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Представление функции Лапласа рядом Маклорена.

Раздел. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

35. Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Различные формы записи ДУ первого порядка. Решение, начальные условия, общее и частное решения ДУ первого порядка. Задача Коши, условия существования и единственности её решения.

36. ДУ с разделёнными и разделяющимися переменными, их решение.

37. Однородное ДУ первого порядка, его решение.

38. Линейное ДУ первого порядка, его решение. Уравнение Бернулли, его решение.

39. Дифференциальное уравнение порядка , различные формы его записи. Решение, начальные условия, общее и частное решения ДУ порядка . Задача Коши, условия существования и единственности её решения.

40. ДУ порядка , допускающие понижение порядка, их решение.

41. Понятие линейной зависимости и независимости системы функций. Примеры линейно независимых систем функций.

42. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости систем функций.

43. Линейное ДУ порядка и его разрешимость. Однородные и неоднородные линейные ДУ. Свойства частных решений ОЛДУ. Фундаментальная система решений ОЛДУ.

44. Теорема о структуре общего решения однородного линейного ДУ порядка .

45. Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного ДУ порядка . Принцип суперпозиции частных решений НЛДУ.

46. ОЛДУ порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение ФСР и общего решения ОЛДУ в случаях, когда корни характеристического уравнения: а) действительные и различные; б) действительные и есть кратные; в) комплексно-сопряжённые.

47. Нахождение частного решения НЛДУ порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида .

48. Нормальная система ДУ, формы её записи. Решение, начальные условия, общее и частное решения нормальной системы ДУ. Задача Коши, условия существования и единственности её решения. Нахождение решения нормальной системы ДУ методом исключения.