6.1. Векторы

Векторы — это наборы чисел, расположенные горизонтально (вектор-строка) или вертикально (вектор-столбец).

• сложение - два векторааиbс одинаковым числом компо­нент образуют новый векторс:с_i = a_i + b_i;

• умножение на число - каждая компонента вектора умножает­ся на число, т.е. b = λа означает b_i = λа_i

здесь i— номер компоненты вектора.

Упражнение 6.1.1. Сложить два вектора:

1. Ввести в первую строку вектор Х - (А1:Е1)

2. Ввести во вторую строку вектор Y - (А2:Е2)

3. Найти сумму векторов –

• выделить блок ячеек для результата в третьей строке (А3:Е3);

• ввести в строке формул =А1:Е1+А2:Е2

• нажать Ctrl+Shift+Enter.

Иллюстрация к примеру - рис. 14.

А В С D E

1

2

3

Рис. 14. Иллюстрация к упражнению 6.1.1.

Задача 6.1.1. Умножить вектор на число.

Упражнение 6.1.2.

Умножение вектор-столбца на вектор-строку.

В блоке (вектор-столбце) А2:А5 записаны числа: 1,2,3,4. Требуется получить в блоке B2:D5 три вектор-столбца, каждый из которых представляет собой результат умножения исходного вектор-столбца на вектор-строку: 2, -3, 4 (B1:D1). Рис.15. К упр. 6.1.2.

Решение.

1-й способ: за­писать в ячейку В2 формулу =$А2*В$1 и скопировать ее в ос­тальные ячейки диапазона B2:D5.

2 -й способ (более экономный): выделить блок B2:D5. За­пишем в него формулу массива {=А2:А5*B1:D1}.

Анализ решения. Табличный массив {2;-3;4} - вектор-строка, а блок А2:А5 - вектор-столбец. Значит, матрица B2:D5 размерностью 4Х3 является результатом умножения вектор-столбца А2:А5 (4Х1) на вектор-строку B1:D1 (1Х3).

Примечание. Если ввести формулу {=B1:D1* А2:А5}, то получится тот же результат, хотя с позиций матричной алгебры вектор-строку (1х3) нельзя умножать на вектор-столбец (4х1) из-за несогласованности размеров (число столбцов в первом сомно­жителе должно равняться числу строк во втором сомножителе).

Упражнение 6.1.3. Вычислить скалярное произведение двух векторов.

1. Установить курсор в ячейку, где нужен результат.

2. Щёлкнуть кнопку автосуммы - .

3. Выделить массив Х (А5:А12).

4. Нажать знак умножить -*.

5. Выделить массив Y (B5:B12).

6. Нажать Ctrl + Shift + Enter.

Примечание. Тот же результат можно получить с помощью обычной функции: =СУММПРОИЗВ (А5:А12, В5:В12).

6.2. Матричные операции

Простейшие операции, которые можно проделывать с мат­рицами: сложение (вычитание), умножение на число, перемно­жение, транспонирование, вычисление обратной матрицы.

Упражнение 6.2.1. Сложение матриц.

Задание. Сло­жить матрицы М и N, где

Решение.

M= и N=

1-й способ:

• Ввести матрицу М в блок А1:С2, а матрицу N в блок Е1:G2.

• В блок А4:С5 ввести табличную формулу {= А1:С2 + E1:G2}.

Примечание. Выделен блок, имеющий те же размеры, что и исходные матрицы.

2-й способ:

Использование имен делает процедуру ввода табличной формулы намного проще:

• Задать диапазонам А1:С2 и E1:G2 имена М и N.

• В блок E4:G5 ввести табличную формулу { = М + N }.

Результат, естественно, тот же: M+N =

Упражнение 6.2.2. Вычислить линейную комбинацию матриц 2*М - N (матрицы М.и N из упражнения 6.2.1.).

Решение. В блок А7:С8 ввести табличную формулу {= 2*М - N }.

Результат: 2*M - N =

Задача 6.2.1. Осмысленные результаты (не имеющие ничего общего с матричной алгеброй) получаются при сложе­нии матриц разных размеров. Придумать примеры и попытаться выявить правила, по которым Excel выполняет такое сло­жение.

Дляматричных операций в Excel предусмотрены функции, входящие в категорию "Математические":

МОПРЕД — вычисление определителя матрицы;

МОБР — вычисление обратной матрицы;

МУМНОЖ — перемножение матриц;

ТРАНСП — транспонирование.

Примечание. Первая из этих функций возвращает число, поэтому вводит­ся как обычная формула. Остальные функции возвращают блок ячеек, поэтому они должны вводиться как табличные формулы.

Упражнение 6.2.3. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы:

А =

Решение. Разместить исходную матрицу в блоке А1 :СЗ.

1. В ячейке Е2 поместить формулу для вычисления определи­теля = МОПРЕД (А1:СЗ).

2. В блок А5:С7 ввести формулу для вычисления обратной матрицы:

• выделить блок А5:С7 (он имеет три строки и три столбца, как и исходная матрица).

• Ввести формулу {=МОБР (А1:СЗ)}.

Примечания:

1. При использовании Мастера функций нужно завершать ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter (вместо щелчка по кнопке "ОК").

2. Для удобства работы рекомендуется задавать имена исходной матрице и обратной матрице.

3. Проверить правильность вычисления обратной матрицы ум­ножением ее на исходную:

• задать имена исходной матрице - А и обратной матрице - АО;

• в блок D5:F7 ввести формулу {=МУМНОЖ (А,АО)}.

• как и следовало ожидать, получилась матрица, близкая к единичной.

Рис. 16. Иллюстрация к упражнению 6.2.3.

У

Решение:

пражнение 6.2.4. Вычислить абсолютные отклонения величин в матрицах.

В блок А9:С11 ввести табличную формулу {= abs (A-AО)}.

Примервычисления определителя матрицы

А, введен­ной в формулу как массив констант: =МОПРЕД({-73; 78; 24:

92; 66; 25: -80; 37; 10}).

Задача 6.2.2. При каком значении элемента а₃₃ определитель матрицы А обратится в нуль.

Задача 6.2.3. Дана матрица S = . Вычислить матрицу2SS^Т - Е, где Т — операция транспо­нирования,

Е — единичная матрица.

Задача 6.2.4. Вычислить обратную матрицу для

и применить форматирование, чтобы элементы матрицы пред­ставляли собой правильные дроби. Выбрать формат на основе величины определителя матрицы.

 Набор матричных операций в Excel беден.

Если нужно серьезно работать с матрицами, лучше прибегнуть к помощи таких математических пакетов, как MatLAB (Matrix LABoratory), Mathematica, Derive.