Примеры решения задач

Пример 1. В вершинах квадрата находятся одинаковые точечные заряды Какой отрицательный заряднадо поместить в центре квадрата, чтобы указанная система зарядов находи­лась в равновесии?

Решение: Все заряды, расположенные в вершинах квадрата, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд сле­дует поместить в центр квадрата, чтобы какой-нибудь из четырёх заря­дов, например , находился в равновесии. Зарядбудет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна 0 (рис. 1):

(1)

где силы, с которыми соответственно

q₂

q₃

q₅

q₄

q₁

Рис 1.

действуют на заряд , зарядыравнодействующая сили.

По закону Кулона, имея в виду, что получим

(2) (3)(4)

где а – сторона квадрата, r=а- диагональ квадрата. Равнодействующая силикак следует из рис. 1, по направле­нию совпадает с силойи по модулю равна

С учётом этого векторное равенство (1) можно заменить скалярным:

. (5)

Равенство (5) с учётом (2)-(4) примет вид:

,

Откуда

.

Произведём вычисления:

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 2. Тонкий прямой стержень длиной равномерно заряжен с линейной плотностью зарядаНа продолже­нии оси стержня, на расстоянии а=20см от ближайшего конца, находится точечный зарядОпределить силу взаимодействия стержня и точечного заряда.

Решение. Так как стержень не является точечным зарядом, то закон Ку­лона непосредственно применить нельзя.

dr

r

q₁

a

Рис. 2

Разобьем стержень на малые элементы и выделим на стержне (рис. 2) элемент dr c зарядом . Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда по закону Кулона

. (1)

Силу взаимодействия точечного заряда и стержня с учётом прин­ципа суперпозиции найдём интегрированием выражения (1)

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу силы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:

Выразим все величины в единицах СИ: ,, а=0,2м,=10Кл/м,,м/Ф.

Произведём вычисления:

Пример 3. Два точечных заряда =2 нКл и= -1 нКл находятся в воз­духе на расстоянииd = 5 см друг от друга. Определить напряжённость и потенциалполя в точке, удалённой от зарядана расстояниеr₁ =6 см и от заряда наr₂ =4 см.

Решение: Согласно принципу суперпозиции электрических полей каж­дый заряд создаёт поле независимо от присутствия в пространстве дру­гих зарядов. Напряжённость результирующего поля . На­пряжённости поля, создаваемого в воздухезарядамии.

, (1) . (2)

Направления векторов и

указаны на рис. 3вектора най­дём по теореме косинусов:

Рис. 3

, (3)

где - угол между векторамии. Из рис.3 видно, что. Тогда.

Следовательно,

(4)

Из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d по теореме косинусов находим

Вычислим отдельно:

.

По принципу суперпозиции потенциал результирующего поля, созда­ваемого зарядами иравен алгебраической сумме потенциаловит.е., или

. (5)

Выразим все величины в единицах СИ:

, ,,,,.

Произведём вычисления по формулам (1), (2), (4), (5):

.

При вычислении Е₂ знак заряда q₂ опущен, так как знак минус опреде­ляет направление вектора , а направлениебыло учтено при его гра­фическом изображении (рис. 3)

Пример 4. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R=6 см, равномерно распределён заряд с линейной плотностью =20 нКл/м. Определить напряжённость Е и потенциалэлектрического поля, создаваемого распределённым зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги, если длина нити составляет 1/3 длины окружно­сти.

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпа­дало с центром кривизны дуги, а ось OY была бы расположена симмет­рично относительно концов дуги (рис. 4). Разобьем нить на элементар­ные участки и выделим элемент длиной c зарядом . Этот заряд можно рассматривать как точечный.

Определим напряжёность элетрического поля в точке О. Для этой точки напряжённость поля,

Рис. 4 создаваемого

зарядом dq, равна

где - радиус- вектор, направленный от элементав точку О. Разо­бьем векторна составляющиеи. Из симметрии задачи следует, что сумма составляющихот всех элементарных участков нити равна нулю и

результирующий вектор направлен вдоль осиOY. Поэтому напряжённость поля определится как

, (1)

где . Так как и ,

то

. (2)

Подставив выражение (2) в (1), получим

(3)

Найдём потенциал электрического поля в точке О. В этой точке потен­циал поля, созданного точечным зарядом , равен

(4)

Потенциал результирующего поля получим интегрированием выражения (4)

Так как, то(5)

Выразим все величины в единицах СИ: ,,,,

Произведём вычисления по формулам (3) и (5):

,

Пример 5. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R=1см, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда Определить работу сил поля по перемещению точеч­ного зарядаиз точки, находящейся на расстояниив точку находящуюся на расстоянииот поверхно­сти цилиндра, в средней его части.

Решение: Работа сил поля по перемещению заряда равна Для нахождения разности потенциалов воспользу­емся соотношениемДля поля с осевой симметрией, ка­ким является поле цилиндра, можно написать

или .

Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях иот оси цилиндра:

(1)

где

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром

(2)

Подставив (2) в (1), получим

,

или . (3)

Таким образом

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу работы. Для этого в пра­вую часть вместо символов величин подставим их единицы:

=

Выразим все величины в единицах СИ: Кл/м,,,. Учитывая, что вели­чиныивходят в формулу (3) в виде отношения, их можно выразить в сантиметрах.

Произведём вычисления:

Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной ни­тью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда На расстоянии а = 20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусомR = 1 cм. Определить поток вектора напряжённости через площадку, если её плос­кость составляет угол с линией напряжённости, проходящей через середину площадки.

Решение: Поле, создаваемое нитью, является неоднородным, так как

(1)

Поэтому поток вектора равен

где - угол между векторамии(рис 5.).

Так как размеры площадки малы по сравнению с расстоянием до нити, то Е в пределах площадки меняется незначительно. Поэтому значения Е ипод знаком интеграла можно заменить их средними значениямии

и вынести за знак интеграла

Рис 5.

Заменяя иих приближёнными значениямии, вычисленными для средней точки площадки, получим

. (2)

Из рис. 5 следует, что . С учётом этого формула (2) примет вид

.

Выразим все величины в единицах СИ: ,,,,.

Рисс. 5

Произведём вычисления:

Пример 7. Электрон движется вдоль силовой линии однородного элек­трического поля. В некоторой точке поля с потенциалом электрон имел скоростьопределить потенциалточки поля, дойдя до которой электрон потеряет половину своей скоро­сти.

Решение: Из-за отсутствия сил трения полная механическая энергия электрона не изменяется, то есть гдекинетическая и- потенциальная энергия электрона. В начале движения

, (1)

в конце движения с учётом того, что

(2)

Приравнивая выражение (1) и (2), получим для потенциала

Выразим все величины в единицах СИ: ,,

Произведём вычисления:

Возможен и другой подход к решению. Изменение кинетической энергии частицы равно работе результирующей силы, т.е.

.

Так как электрон тормозится силами поля, то .

Пример 8. Сила взаимного притяжения пластин плоского воздушного конденсатора Площадь каждой пластиныОпределить объёмную плотность энергии поля конденса­тора.

Решение: Объёмная плотность энергии поля конденсатора

, (1)

где - напряжённость электрического поля между пласти­нами конденсатора,

- поверхностная плотность заряда на пластинах.

Подставив выражение для Е в (1), получим

(2)

Найдём силу взаимного притяжения пластин. Заряд одной пластины находится в поле напряжённостьюсозданным зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

(3)

Выразив из выражения (3) и подставив в (2), получим

.

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу объёмной плотности энергии. Для этого в правую часть формулы вместо величин подставим их единицы измерений:

Выразим все величины в единицах СИ: .

Произведём вычисления:

Пример 9. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов находятся два слоя диэлектриков: стекла толщинойи эбонита толщинойПло­щадь каждой пластиныОпределить

а) напряжённость поля Е, индукцию D и падение потенциала U в каж­дом слое;

б) электрическую ёмкость конденсатора С.

Решение: При переходе через границу раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора в обоих слоях диэлектриков имеет одинаковые значения.

В конденсаторе силовые линии вектора перпендикулярны к границе раздела диэлектриков, следовательно,и. По­этому

(1)

Учитывая, что, и сокращая наиз равенства (1)

получим

, (2)

где и- напряжённости поля в первом и во втором слоях диэлек­триков,и- диэлектрические проницаемости слоёв.

Разность потенциалов между пластинами конденсатора очевидно равна сумме напряжений на слоях диэлектриков

(3)

В пределах каждого слоя поле однородно, поэтому иС учётом этого равенство (3) примет вид

(4)

Решая совместно уравнения (2) и (4), получим

Выразим все величины в единицах СИ: ,,,,

Произведём вычисления:

,

,

,

,

Определим ёмкость конденсатора

(5)

где - заряд каждой пластины конденсатора.

Учитывая, что поверхностная плотность зарядов на пластинах конден­сатора численно равна модулю электрического смещения, т.е.получим

.

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу электроёмкости. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:

Произведём вычисления:

Пример 10. Сила тока в проводнике сопротивлением Ом равно­мерно нарастает от 0 дов течение времениОпреде­лить количество теплоты, выделившейся в проводнике за первые три се­кунды.

Решение: Закон Джоуля - Ленца в виде справедлив для посто­янного тока. Так как сила тока является функцией времени, тогдекоэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока ,

В этом случае закон Джоуля - Ленца справедлив для бесконечно малого интервала времени, т.е.

За первые три секунды выделится количество теплоты

Произведём вычисления: