Загальні теореми динаміки точки

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки. - кількість руху матеріальної точки,- елементарний імпульс сили.- елементарна зміна кількості руху матеріальної точки дорівнює елементарному імпульсу сили, прикладеній до цієї точки (теорема в диференційній формі) або- похідна по часу від кількості руху матеріальної точки дорівнює рівнодіючій силі, прикладеній до цієї точки. Проінтегруємо:- зміна кількості руху матеріальної точки за кінцевий період часу дорівнює елементарному імпульсу сили, прикладеній до цієї токи, за той же період часу.- імпульс сили за період часу. В проекції на осі координат:.

Теорема про змінення моменту кількості руху матеріальної точки момент кількості руху матеріальної точки відносно центру О.- похідна по часу від моменту кількості руху матеріальної точки відносно якого-небудь центра дорівнює моменту сили, прикладеній до точки, відносно того ж центра. Проектуя векторну рівність на осі координат, отримуємо три скалярних рівняння:і так далі - похідна від моменту кількості руху матеріальної точки, відносно тієї ж осі. При дії центральної сили, яка проходить через О,

- секторна швидкість. Під дією центральної, тобто радіус-вектор описує («обмітає») рівні площини в любі рівні періоди часу (закон площин). Цей закон має місце при русі планет та супутників – один із законів Кеплера.

Робота сили. Потужність. Елементарна робота - проекція сили на дотичну до траєкторії, направлена в бік переміщення, абоЯкщо α – гострий, то, тупий- скалярний добуток вектора сили на вектор елементарного переміщення точки її положення;- аналітичний вираз елементарної роботи сили. Робота сили на любому кінцевому переміщенні. Якщосила постійна, то . Одиниці роботи.

, так як і так далі, тоТеорема про роботу сили: робота рівнодіючої сили дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил на тому ж переміщенні

Робота сили тяж есті: якщо початкова точка вище кінцевої. Робота сили пружності:

- робота сили пружності дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на різницю квадратів початкового та кінцевого подовжень (або стиснень) пружини.

Робота сили тертя: якщо сила тертя const, то - завжди негативна,коефіцієнт тертя, N нормальна реакція поверхні.

Робота сили тяжіння. Сила притягнення (тяжіння): , знаходимо коефіцієнт- не залежить від траєкторії.

Потужність – величина, визначаюча роботу в одиницю часу,

. Якщо зміна роботи відбувається рівномірно, то потужність постійна: (кіловат) ==

Теорема про змінення кінетичної сили точки. В диференційній формі: - повний диференціал кінетичної енергії матеріальної точки = елементарній роботі всіх діючих на точку сил.- кінетична енергія матеріальної точки. В кінцевому вигляді:- зміна кінетичної енергії матеріальної точки, при переході її з початкового в конечне (поточне) положення дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх сил, прикладених до точки.

Силове поле – область, в кожній точці якої на розміщену в ній матеріальну точку діє сила, однозначно визначена по розміру та напрямку в довільний момент часу, тобто може бути відома . Нестаціонарне силове поле, якщоявно залежить відстаціонарне силове поле, якщо сила не залежить від часу. Розглядаються стаціонарі силові поля, коли сила залежить тільки від положення точки: і так далі. Властивості стаціонарних силових полів:

1. Робота сил стаціонарного поля залежить в загальному випадку від початкового М₁ та кінцевого М₂ положення та траєкторії, але не залежить від закону руху матеріальної точки.

2. Має місце рівність . Для нестаціонарних полів ці властивості не виконується.

Приклад: поле сили тяготіння, електростатичне поле, поле сили пружності. Стаціонарні силові поля, робота сил яких не залежить від траєкторії (шляху) руху матеріальної точки. Й визначається лише її початковим та кінцевим положеннями називається потенційними (консервативними). , де- любі шляхи, А_1,2 – загальні значення роботи. В потенційних силових полях існує така функція, безперечно залежна від координат точок системи, через яку проекції сили на координатні осі в кожній точці поля виражаються так: . Функціяназивається силовою функцією. Елементарна робота сил поля: . Якщо силове поле являється потенційним, елементарна робота сил в цьому полі дорівнює повному диференціалу силової функції. Робота сил на кінцевому переміщенні, тобто робота сил в потенційному полі дорівнює різниці значень силової функції в кінцевому та початковому положеннях та не залежить від форми траєкторії. На замкнутому переміщенні робота дорівнює 0.Потенційна енергія П дорівнює сумі робіт потенційного поля на переміщенні системи з даного положення в нульове. В нульовому положенні П₀ = 0. . Робота сил поля на переміщення системи з першого положення в друге дорівнює різниці потенційних енергій.Еквіпотенційні поверхні - поверхні рівного потенціалу. Сила направлена по нормалі до еквіпотенційній поверхні. Потенційна енергія системи відрізняється від силової функції, взятої зі знаком мінус, на постійну величину . Потенційна енергія поля сили тяжіння:. Потенційна енергія поля потенційних сил.Центральна сила – сила, яка в будь-якій точці простору направлена по прямій, проходяча через деяку точку (центр), та модуль її залежить лише від відстані r точки масою m до центру:. Центральною є гравітаційна сила

, - постійне тяготіння. Перша космічна швидкість- радіус Землі; тіло виходить на кругову орбіту. Друга космічна швидкістьтраєкторія тіла параболи, пригіпербола. Потенційна енергія відновлюючі сили пружин:- модуль приросту довжини пружини. Робота відновлюючої сили пружини:- деформації, відповідаючі початковій та кінцевій

точкам шляху.