Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ / Часть 3 / 18. Функции многих переменных.doc
Скачиваний:
97
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
3.18 Mб
Скачать

I уровень

1.1. Найдите частные производные первого порядка функции:

1) 2)

3) 4)

1.2. Найдите полный дифференциал функции:

1) 2)

3) 4)

1.3.Вычислите приближенно значение:

1) 2)3)

II уровень

2.1.Найдите частные производные и вычислите их значения в указанной точкеМ0:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.2.Найдите дифференциал функции в точкеМ0:

1) 2)

3) 4)

2.3.Вычислите приближенно:

1) 2)

3) 4)

2.4.Вычислите:

1) если

2) если

3) если

III уровень

3.1.Определите, существует ли частная производнаяфункциив точке (1; 0).

3.2.Установите, имеет ли заданная функция частные производные в точкеи дифференцируема ли она в этой точке:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

3.3. Найдите частные производные функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

3.4.Покажите, что функцияудовлетворяет уравнению

3.5.Вычислитеесли

3.6. Найдитеесли

18.3. Дифференцирование сложных функций

Пусть гдепричемимеет непрерывные частные производные, функцииимеют непрерывные производные,t– независимая переменная. Тогдапроизводная сложной функциивычис­ляется по формуле

(18.9)

Пусть игдеx– независимая переменная, причем функцияимеет непрерывные частные производные,– непрерывную производную. Тогда справедливаформула полной производнойфункцииzпоx:

(18.10)

Пусть ипричем функцияимеет непрерывные частые производные поxиy, а функцииимеют непрерывные частные производные поuиv. Тогда частные производные функцииzпоuиvнаходят по формулам:

(18.11)

Формулы (18.9)–(18.11) обобщаются на любое конечное количество переменных (зависимых и независимых).

Пример 1. Найти двумя способами (свести к функции одной переменнойt и по формуле (18.9)), если где

Решение. 1-й способ. Подставив вместо x, y заданные выражения, получим: – функцию одной переменнойt. Тогда

2-й способ. Найдем частные производные по x и y функции z:

Вычисляем производные функций и

По формуле (18.9) получаем:

Заменив x и y их выражениями через t, получим:

Пример 2. Вычислить в точкеесли

где

Решение. Находим частные производные заданной функции

Вычисляем

По формуле (18.9) получаем:

Делаем замену переменных:

Вычислим значение в точке

Пример 3. Вычислить различными способами функциигде

Решение. 1-й способ. Используем метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем равенство, задающее функцию:

или

Дифференцируем по полученное равенство, считая

Подставляя вместо z и y заданные выражения из условия, получаем:

2-й способ. Найдем частные производные:

Вычисляем производную функции у:

Теперь по формуле (18.10) получаем:

или

Пример 4. Найти функцииесли

Решение. Используя формулу (18.11), найдем частные производные:

По формуле (18.11) получим:

или

Заметим, что этот пример можно решать и вторым способом – вначале подставить вместо x, y их выражения через u, v, а затем – найти частные производные по u, v.

Пример 5. Найти функциигдепри

Решение. 1-й способ. Подставив в исходную функцию получим функцию одной переменной:

Дифференцируем по x:

2-й способ. Найдем частные производные:

а также производные:

По формуле (18.10) получаем:

После замены переменных получим:

Пришли к такому же аналитическому выражению для что и в первом способе решения.

Вычислим в точке

Задания