- •18. Функции многих переменных
- •18.1. Основные понятия теории функций
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •18.2. Частные производные и дифференциал
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •18.3. Дифференцирование сложных функций
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •18.4. Дифференцирование неявных функций
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •18.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •18.6. Частные производные и дифференциалы
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •18.7. Производная по направлению. Градиент
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •18.8. Экстремумы функций двух переменных
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •Содержание
I уровень
1.1. Найдите частные производные первого порядка функции:
1) 2)
3) 4)
1.2. Найдите полный дифференциал функции:
1) 2)
3) 4)
1.3.Вычислите приближенно значение:
1) 2)3)
II уровень
2.1.Найдите частные производные и вычислите их значения в указанной точкеМ0:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
2.2.Найдите дифференциал функции в точкеМ0:
1) 2)
3) 4)
2.3.Вычислите приближенно:
1) 2)
3) 4)
2.4.Вычислите:
1) если
2) если
3) если
III уровень
3.1.Определите, существует ли частная производнаяфункциив точке (1; 0).
3.2.Установите, имеет ли заданная функция частные производные в точкеи дифференцируема ли она в этой точке:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
3.3. Найдите частные производные функции:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
3.4.Покажите, что функцияудовлетворяет уравнению
3.5.Вычислитеесли
3.6. Найдитеесли
18.3. Дифференцирование сложных функций
Пусть гдепричемимеет непрерывные частные производные, функцииимеют непрерывные производные,t– независимая переменная. Тогдапроизводная сложной функциивычисляется по формуле
(18.9)
Пусть игдеx– независимая переменная, причем функцияимеет непрерывные частные производные,– непрерывную производную. Тогда справедливаформула полной производнойфункцииzпоx:
(18.10)
Пусть ипричем функцияимеет непрерывные частые производные поxиy, а функцииимеют непрерывные частные производные поuиv. Тогда частные производные функцииzпоuиvнаходят по формулам:
(18.11)
Формулы (18.9)–(18.11) обобщаются на любое конечное количество переменных (зависимых и независимых).
Пример 1. Найти двумя способами (свести к функции одной переменнойt и по формуле (18.9)), если где
Решение. 1-й способ. Подставив вместо x, y заданные выражения, получим: – функцию одной переменнойt. Тогда
2-й способ. Найдем частные производные по x и y функции z:
Вычисляем производные функций и
По формуле (18.9) получаем:
Заменив x и y их выражениями через t, получим:
Пример 2. Вычислить в точкеесли
где
Решение. Находим частные производные заданной функции
Вычисляем
По формуле (18.9) получаем:
Делаем замену переменных:
Вычислим значение в точке
Пример 3. Вычислить различными способами функциигде
Решение. 1-й способ. Используем метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем равенство, задающее функцию:
или
Дифференцируем по полученное равенство, считая
Подставляя вместо z и y заданные выражения из условия, получаем:
2-й способ. Найдем частные производные:
Вычисляем производную функции у:
Теперь по формуле (18.10) получаем:
или
Пример 4. Найти функцииесли
Решение. Используя формулу (18.11), найдем частные производные:
По формуле (18.11) получим:
или
Заметим, что этот пример можно решать и вторым способом – вначале подставить вместо x, y их выражения через u, v, а затем – найти частные производные по u, v.
Пример 5. Найти функциигдепри
Решение. 1-й способ. Подставив в исходную функцию получим функцию одной переменной:
Дифференцируем по x:
2-й способ. Найдем частные производные:
а также производные:
По формуле (18.10) получаем:
После замены переменных получим:
Пришли к такому же аналитическому выражению для что и в первом способе решения.
Вычислим в точке
Задания