Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
88
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.4 Mб
Скачать

Предисловие

Особенностью образовательной системы Республики Беларусь является становление и развитие учебных заведений различного типа, в том числе колледжей и высших колледжей. В условиях многоуровневого образования в системе учебных заведений колледж–университет актуальна реализация принципов непрерывности и преемственности в обучении.

Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения математики в высших колледжах и колледжах технического профиля. Оно может быть использовано учащимися на практических занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.

При создании настоящего пособия авторы ставили перед собой несколько целей: во-первых, дать значительное количество задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно отображали суть основных математических понятий; во-вторых, обеспечить необходимой теоретической информацией для их решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и определили структуру учебного пособия, которое делится на главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа содержится необходимый справочный материал, затем – решение нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности.

Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авторов, делает возможным самостоятельное изучение математики. Его использование позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении – каждый учащийся может решать задания доступного ему уровня сложности.

Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК) в процессе обучения учащихся после базовой школы.

Характерной особенностью методического подхода к изучению математики в МГВРК является построение интегрированного курса математических дисциплин. Этим объясняется то обстоятельство, что определенные темы высшей математики введены в контекст элементарной математики. Поскольку на практике широко реализуется непрерывное образование в системе учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК интегрирован с Белорусским государственным университетом информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учебном процессе) в качестве типовых программу изучения математики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей математики для высших учебных заведений по специальностям электро-, радиотехники и информатики.

Таким образом реализуются основы непрерывного продолжения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое учебное пособие может быть использовано в колледжах при изучении математики по различным базовым и рабочим программам – менее или более полным.

«Математика в примерах и задачах. Часть 3» является непосредственным продолжением учебного пособия «Математика в примерах и задачах. Части 1–2». В этих изданиях принята единая нумерация глав. Предлагаемое пособие (третья часть) состоит из шести глав (гл. 13–18). В отношении авторства отметим, что они подготовлены следующим образом:

М. А. Калугина – гл. 13 «Линейная алгебра», гл. 14 «Векторная алгебра», гл. 15 «Аналитическая геометрия в пространстве»;

Е. В. Уласевич – гл. 16 «Предел и непрерывность функции», гл. 17 «Дифференциальное исчисление»;

Н. В. Михайлова – гл. 18 «Функции многих переменных».

Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Майсеня, она является соавтором всего пособия.

Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам кафедры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, доктору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпуку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, устранение которых улучшило наше издание.

Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать активизации мыслительной деятельности учащихся и повышению эффективности учебного процесса при изучении математики.

13. Линейная алгебра

13.1. Матрицы и операции над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X… . Запись aij используют для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца). Числовую матрицу размеров (т. е. состоящую изm строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде

или в более компактной форме

Ее обозначают также

Если = n матрицу называют квадратной порядка n и обычно обозначают An. Элементы aii, такой матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица вида

(13.1)

где называется диагональной. Если для любогото матрица (13.1) называетсяединичной и обозначается En.

Верхней и нижней треугольными матрицами называются квадратные матрицы вида

и соответственно.

Трапециевидной матрицей называется матрица вида

где числа a11, a12, …, akk отличны от нуля.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.

Две матрицы одинакового размера

и (13.2)

называются равными, если для всех

Суммой матриц (13.2) называется матрица A B размеров m × n, состоящая из элементов где

Произведением матрицы Am×n на число α называется матрица

Разностью матриц (13.2) называется матрица A – B = A + (–1)B.

Противоположной к В называется матрица –В, такая что

Свойства операций сложения матриц и умножения

на число:

  1. A + 0 = А;

  2. А + (–А) = 0;

  3. а матрицы A, B и С – одинакового размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.

Произведением матрицы Al×m на матрицу Bm×n называется матрица элементы которой

Для получения элемента сij матрицы С умножают последовательно каждый элемент i-й строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы B и находят сумму этих произведений.

Свойства операции умножения матриц

В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называютсякоммутативными или перестановочными.

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k-я степень () матрицыA определяется равенством По определению принимаютпри условии

Матрица AT, полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A, т. е.

Свойства операции транспонирования матриц

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрицаA называется симметрической матрицей, а если – токососимметрической.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

  1. перестановку строк;

  2. умножение строки на ненулевое число;

  3. прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.

Пример 1. Найти 2A – 3B, если

Решение. Прежде всего следует заметить, что матрицы A и B имеют одинаковый размер 2×3. Поэтому по определению линейных операций над матрицами имеем:

Пример 2. Если возможно, вычислить соответствующие произведения и проверить справедливость равенства AB = BA для следующих пар матриц:

1) 2)

3) 4)

5)

Решение. 1) Матрицы A и B согласованные, так как матрица A имеет размер 2×2, а матрица B – размер 2×3, т. е. количество столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы B.

Умножение матрицы B на матрицу A невозможно, так как матрицы не согласованы (число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A).

2) Произведения AB и BA могут быть найдены, так как в обоих случаях матрицы согласованы:

.

Приходим к выводу, что

Приведенный пример иллюстрирует не только отсутствие свойства коммутативности операции умножения для многих согласованных для этого действия матриц, но и показывает, что при умножении двух ненулевых матриц может быть получена нулевая.

3) Матрицы A и B согласованы для умножения, но произведения AB и BA имеют разные размеры и элементы:

AB и BA – квадратные матрицы размеров 3×3 и 2×2 соответственно,

4)

Приходим к заключению, что

Очевидно, что условие будет соблюдаться для любых диагональных матриц одного размера.

5) Матрицы A и B согласованы для умножения:

при соблюдении условий: т. е. при Таким образом, матрица A является коммутативной с матрицей или где a, b, с – любые действительные числа.

Пример 3. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию если известна матрица

Решение. Запишем равенство в видеа затеми, наконец,Посколькуто

Пример 4. Найти значение матричного многочлена f(A), если

Решение. По условию задачи

Пример 5. Привести матрицу А к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк, если

Решение. Поменяв строки местами, получим матрицу, эквивалентную исходной:

Затем запишем вместо второй строки сумму первой, умноженной на (–2), и второй, а вместо третьей – результат сложения первой, умноженной на (–3), и третьей:

Осталось прибавить к третьей строке вторую, умноженную на (–2):

В результате получена треугольная матрица, эквивалентная матрице A.

Эти преобразования (без комментария) записывают в виде

Задания