Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ / Часть 3 / 15. Аналитическая геометрия.doc
Скачиваний:
84
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2 Mб
Скачать

15. Аналитическая геометрия

в пространстве

15.1. Плоскость в пространстве

Пусть P – плоскость, для которой требуется построить уравнение,– произвольная точка этой плоскости.

1. Если задана точка плоскостиРи два неколлинеарных вектораипараллельных данной плоскости, то справедливовекторно-парамет­рическое уравнение плоскостиP

(15.1)

где – радиус-вектор точки

Запись уравнения (15.1) в координатной форме

(15.2)

называется параметрическими уравнениями плоскости.

Кроме того, исходные данные позволяют записать уравнение плоскости Ри с помощью определителя

(15.3)

2. Если известны три точки плоскостиP, не лежащие на одной прямой, то аналогично (15.3) можно построить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки,

(15.4)

3. Если известны точки пересечения плоскости Pс координатными осями, т. е.M0(a, 0, 0),M1(0, b, 0),M2(0, 0, c), то справедливо уравнение плоскости «в отрезках»

(15.5)

4. Если задан нормальный вектор и точкаплоскостиР, то справедливо уравнение

(15.6)

на основании которого выводится общее уравнение плоскости P

где

5. В качестве нормального вектора плоскости Pможно взять единичный векторнаправленный из начала координат в сторону плоскости, т. е.гдеТогда справедливо нормальное уравнение плоскости

(15.7)

где – расстояние от начала координат до плоскости.

Величина

(15.8)

называется отклонением точкиМ0от плоскостиР. При этом:еслиМ0иO(0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости;– если лежат по разные стороны;еслиРасстояниеот точкиМ0до плоскостиРравно абсолютному значению ее отклонения, т. е.

От общего уравнения плоскости к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель

(15.9)

Расстояние от точкидо плоскостиР, заданной общим уравнениемможет быть найдено по формуле

(15.10)

Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторамииэтих плоскостей:

(15.11)

Пример 1. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторами

Решение. 1-й способ. Поскольку векторы ине коллинеарны (их соответствующие координаты не являются пропорциональными), то, согласно формуле (15.3), справедливо уравнение

Преобразуем левую часть:

Таким образом, получаем общее уравнение искомой плоскости:

2-й способ. Найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение векторов и

Тогда, согласно уравнению (15.6), имеем:

Пример 2. Записать общее уравнение плоскости P, проходящей через точки ипараллельно вектору

Решение. Векторы ине коллинеарны. Если точка– произвольная точка плоскости, то векторыикомпланарны. Поэтому, согласно формуле (15.3), уравнение плоскости имеет вид:

откуда получаем общее уравнение

Задачу можно решить и вторым способом, если найти нормальный вектор плоскости (см. 2-й способ решения примера 1).

Пример 3. Записать уравнение плоскости

1) «в отрезках»;

2) в параметрическом виде.

Решение. Запишем уравнение плоскости в виде откуда после деления на –2 получим искомое уравнение «в отрезках»:

Из полученного уравнения «в отрезках» имеем точки икоторые лежат в заданной плоскости. Тогда в качестве двух неколлинеарных векторовипараллельных плоскости, можно взятьиИспользуя параметрические уравнения плоскости (15.2), получим:

Это и есть параметрические уравнения заданной плоскости.

Пример 4. Привести к нормальному виду уравнение плоскости найти единичный нормальный вектор плоскости и расстояние до нее от начала координат.

Решение. Запишем нормальное уравнение плоскости. Так как 21 – это свободный член уравнения плоскости, то по формуле (15.9) вычисляем нормирующий множитель

Тогда нормальным уравнением будет:

Значит, а расстояние от начала координат до плоскости равно 3.

Пример 5. Найти уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями и

З а м е ч а н и е. Такие плоскости называются биссекторными.

Решение. Пусть точка принадлежит искомой плоскости. Тогдат. е. выполняется равенство

которое приводит к двум уравнениям

или

Таким образом, задача имеет два решения:

Заметим, что это две взаимно перпендикулярные плоскости. Действительно, ит. е.а значит,

Пример 6. Определить, пересекает ли плоскость отрезокAB, если A(1, –1, 2) и B(2, 4, –3).

Решение. Данная плоскость P пересекает отрезок AB тогда и только тогда, когда По формуле (15.8) находим:

Значит, Следовательно, плоскость пересекает отрезок.

Пример 7. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние

Решение. Пусть – точка искомой плоскости. Тогда, используя формулу расстояния (15.10), имеем:

т. е.

Отсюда получаем уравнения искомых плоскостей

и

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 0, –1), B(1, 3, –4) и образующей угол с плоскостью

Решение. Не ограничивая общности, будем искать уравнение плоскости в виде

Поскольку точки A(1, 0, –1) и B(1, 3, –4) лежат в искомой плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Значит, имеем:

откуда Подставим найденные значенияD и B, выраженные через C, в уравнение плоскости:

Следовательно, нормальный вектор есть

Воспользуемся тем, что плоскость образует угол с плоскостьюнормальный вектор которой. По формуле косинуса угла между плоскостями (15.11) имеем:

откуда илиНаходимC, преобразовывая последнее равенство:

Окончательно имеем уравнения двух плоскостей:

и

Задания