15.2. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное

расположение прямых

Пусть L– прямая, для которой необходимо составить уравнения,– произвольная точка этой прямой.

1. Если известны координаты направляющего вектора прямойLи некоторой фиксированной ее точкито уравнение

(15.12)

где – радиус-вектор точки– радиус-вектор произвольной точки,называетсявекторно-параметрическим уравнением прямойL. В координатной форме уравнение (15.12) равносильно трем параметрическим уравнениям:

(15.13)

Система (15.13) определяет параметрические уравнения прямой L.

По исходной информации получаем также канонические уравнения прямой L:

(15.14)

2. Пусть известны две точки илежащие на прямойL. Тогда векторыколлинеарны, и можно записать уравнения прямой, проходящей через две точки:

(15.15)

3. В пространстве прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей:

(15.16)

В уравнениях плоскостей (15.16) коэффициенты при переменных не являются пропорциональными (иначе плоскости либо параллельны, либо совпадают).

О взаимном расположении двух прямых в пространстве можно судить по их направляющим векторам.

Угол между прямымиможно определить через косинус угла между направляющими векторами.

Прямые параллельны при условии коллинеарности их направляющих векторов (координаты пропорциональны).

Угол между прямыми прямой при условии перпендикулярности их направляющих векторов (скалярное произведение равно 0).

Прямые лежат в одной плоскости при условии компланарности их направляющих векторов и вектора гдеМ₁иМ₂– точки этих прямых (смешанное произведение равно 0).

Расстояние от точки М₀ до прямой L вычисляется по формуле

(15.17)

где – направляющий вектор;М₁– точка прямой.

Эту формулу можно использовать и для нахождения расстояния между параллельными прямыми.

Если прямые L₁иL₂являются скрещивающимися, то расстояние между ними определяют по формуле

(15.18)

где и– радиус-векторы точекипринадлежащих прямымL₁иL₂соответственно, а векторыи– направляющие векторы этих прямых.

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через:

1) точку параллельно вектору

2) две заданные точки и

Решение. 1) Пусть – произвольная точка искомой прямой. Тогдат. е. их координаты пропорциональны.. Согласно (15.14) получаем уравнения

которые и представляют собой канонические уравнения прямой.

2) Пусть – произвольная точка прямой. Тогда, используя уравнение (15.15) для нашего случая, имеем:

откуда

Это и есть искомый результат.

Пример 2. Записать канонические уравнения прямой, заданной системой уравнений двух плоскостей

Решение. Для перехода к каноническим уравнениям прямой обычно поступают следующим образом. Подбирают какую-либо точку фиксируя числовое значение одной из координат и решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Затем находят направляющий векторпрямойL как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих прямую L. Реализуем этот подход на данном примере.

Имеем – нормальный вектор плоскости– нормальный вектор плоскости

Тогда вектор является направляющим вектором прямойL. Определим его координаты:

Для нахождения точки зафиксируем одно из координатных значений, например,Тогда, подставив в заданные общие уравнения значениеимеем:

или т. е.

Таким образом, получаем искомые канонические уравнения заданной прямой L:

З а м е ч а н и е. Для нахождения точки можно сначала решить систему в общем виде, а потом выбрать частное решение, а в качестве взятьгде

Пример 3. Доказать, что прямые L₁ и L₂ параллельны, и найти расстояние между ними, если они заданы параметрическими уравнениями:

и

Решение. Прямая L₁ имеет направляющий вектор аL₂ – вектор причемтак как Значит,

Найдем расстояние между ними, используя формулу расстояния (15.17) от точки до прямой. В параметрических уравнениях заданных прямых полагаемимеемТогда

Вычисляем векторное произведение:

После этого находим длины нужных векторов:

Значит,

Пример 4. Доказать, что прямые L₁ и L₂ пересекаются, и найти координаты точки пересечения, если они заданы параметрическими уравнениями:

и

Решение. Координаты направляющего вектора прямой равны соответственно числовым коэффициентам при t, т. е. При этомЗначит

Прежде всего определим, лежат ли прямые в одной плоскости, т. е. являются ли векторы икомпланарными (здесь). Найдем для этого их смешанное произведение:

Значит, прямые лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно, они пересекаются.

Найдем точку их пересечения

Поскольку тото

Получаем, что при подстановке в уравнение прямой

Значит, Итак,– точка пересечения заданных прямых.

Пример 5. Доказать, что прямые L₁ и L₂ скрещиваются, найти расстояние между ними, если они заданы параметрическими уравнениями:

и

Решение. Направляющий вектор прямой L₁ есть а прямойL₂ – вектор причемЗначитОпределим, пересекаются ли прямые. Так както условием пересечения прямых служит компланарность векторовиНайдем смешанное произведение этих векторов:

(15.19)

Значит, указанные векторы, а вместе с ними и прямые L₁ и L₂, не лежат в одной плоскости.

Прямые L₁ и L₂ скрещиваются, так как они не пересекаются и не параллельны. Найдем расстояние между ними по формуле (15.18), используя (15.19):

Определяем координаты:

Тогда

Получаем:

Задания