I уровень
1.1.Найдите экстремум функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
1.2.Найдите
наименьшее и наибольшее значения функции
в треугольнике, ограниченном прямыми
1.3.Найдите
наименьшее и наибольшее значения функции
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
II уровень
2.1.Исследуйте функцию на экстремум (локальный):
1)
2)
3)
4)
5)
2.2.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции в заданной области:
1)
в круге
2)
в области, ограниченной прямыми
3)
в области
4)
в области
5)
в области
III уровень
3.1.Найдите
локальные экстремумы функции
заданной неявно:
1)
2)
3)
4)
3.2.Докажите,
что функция
1) не имеет локального
минимума в точке
2) имеет локальный
минимум вдоль каждой прямой, проходящей
через точку
3.3.Внутри четырехугольника найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин была бы наименьшей.
3.4.В данный конус впишите прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3.5.Проведите
к эллипсоиду
касательную плоскость с наименьшей
суммой отрезков на осях.
Содержание
|
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
3 |
|
13. Линейная алгебра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
13.1. Матрицы и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
|
13.2. Определители, их свойства и вычисление . . . . . . . . . |
15 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
|
13.3. Обратная матрица. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
13.4. Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
40 |
|
14. Векторная алгебра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
|
14.1. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
14.2. Линейная зависимость векторов. Действия над векторами в координатной форме . . . . . . . . . . . . |
52 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
59 |
|
14.3. Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
|
14.4. Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . |
69 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
73 |
|
14.5. Цилиндрическая и сферическая системы координат |
74 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
82 |
|
15. Аналитическая геометрия в пространстве. . . . . . . . . . . |
85 |
|
15.1. Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
|
15.2. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
101 |
|
15.3. Прямая и плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . |
103 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
109 |
|
15.4. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
113 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
120 |
|
16. Предел и непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
16.1. Предел функции в точке и на бесконечности . . . . . . |
123 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
128 |
|
16.2. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
132 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
136 |
|
16.3. Эквивалентность бесконечно малых функций . . . . . . |
139 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
143 |
|
16.4. Односторонние пределы. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
146 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
152 |
|
16.5. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
154 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
162 |
|
17. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
166 |
|
17.1. Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе . . . . . . . . . . . . . . |
166 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
169 |
|
17.2. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
171 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
175 |
|
17.3. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функций. Дифференциал функции . . . . . . . |
177 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
182 |
|
17.4. Производные и дифференциалы высшего порядка . . . |
185 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
191 |
|
17.5. Правило Лопиталя. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . |
195 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
200 |
|
17.6. Исследование функций. Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке . . . . . . . . . . . . . . . . |
203 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
219 |
|
18. Функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
224 |
|
18.1. Основные понятия теории функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
224 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
230 |
|
18.2. Частные производные и дифференциал первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
232 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
237 |
|
18.3. Дифференцирование сложных функций . . . . . . . . . . |
240 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
244 |
|
18.4. Дифференцирование неявных функций . . . . . . . . . . . |
247 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
249 |
|
18.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . |
252 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
255 |
|
18.6. Частные производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
257 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
262 |
|
18.7. Производная по направлению. Градиент . . . . . . . . . . |
266 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
269 |
|
18.8. Экстремумы функций двух переменных . . . . . . . . . . |
271 |
|
Задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
276 |