18.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением

Тогда уравнение касательной плоскостив точкеимеет вид:

(18.16)

где

Нормальюк поверхности в точкеназывается прямая, проходящая через точкуперпендикулярно к касательной плоскости в этой точке.

Уравнение нормалик поверхности (18.16) в точкеимеет вид:

(18.17)

Если поверхность задана уравнением

(18.18)

и в точке этой поверхности существуют частные производныене равные нулю одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности (18.18) в точкеимеет вид:

(18.19)

Уравнение нормали к поверхности (18.18) в точке имеет вид:

(18.20)

Пример 1. Поверхность задана уравнением Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

Решение. Найдем частные производные:

Их значения в точке равны

Найдем соответствующее значение функции для

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:

или

Уравнение нормали:

Пример 2. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение. Частные производные имеют вид:

Их значения в точке N₀ равны:

Тогда уравнение касательной плоскости в точке N₀: или

Уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности параллельных плоскости

Решение. Найдем частные производные:

Так как касательная плоскость параллельна плоскости то справедливо условие параллельности плоскостей:

т. е.

Координаты точек касания найдем из системы уравнений

Решая систему, получаем:

Точки касания имеют координаты:

и

Тогда уравнения касательных плоскостей имеют вид:

Пример 4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением гдев точке

Решение. Поверхность задана сложной функцией. Найдем частные производные, используя формулы (18.11) (см. § 18.3):

Их значения в точке соответственно равны:

Найдем соответствующее значение

Тогда уравнение касательной плоскости:

или

Пример 5. Записать уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением в точке

Решение. Найдем частные производные и вычислим их в точке N₀:

Уравнение нормали в точке N₀:

или

Равенство нулю означает, что касательная плоскость параллельна осиОх, а нормаль к ней лежит в плоскости

Задания

I уровень

1.1.Найдите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной функциейв точке

1) 2)

3) 4)

5) 6)

1.2.Найдите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнениемв точке

1)

2)

3)

II уровень

2.1.Найдите уравнения касательных плоскостей к поверхностиперпендикулярных координатным плоскостям.

2.2.Составьте уравнения касательных плоскостей к поверхностипараллельных:

1) координатным плоскостям; 2) плоскости

2.3.Составьте уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнениемгдев точке

2.4.Найдите точки на поверхности

в которых нормаль к ее поверхности будет:

1) параллельна осям координат;

2) перпендикулярна осям координат.

III уровень

3.1.Определите, в каких точках сферыкасательные плоскости к ней отсекают на осях координат равные отрезки.

3.2.Найдите точки эллипсоидав которых нормаль к его поверхности образует равные углы с осями координат.

3.3. Выясните, является ли плоскостьв точкекасательной:

1) к параболоиду вращения

2) к конусу

3) к гиперболическому параболоиду

3.4. Найдите точки на поверхности

касательная плоскость в которых к данной поверхности будет:

1) параллельна координатным плоскостям;

2) перпендикулярна координатным плоскостям.

3.5.Докажите, чтогде– направляющие косинусы нормали к поверхности