I уровень
1.1. Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1.2.Найдите линии уровня функции:
1)
2)
3)
4)
1.3.Найдите поверхности уровня функции:
1)
2)
3)
4)
II уровень
2.1.Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4)
Изобразите найденную область D:
5)
6)
2.2. Найдите линии уровня функции:
1)
2)
3)
4)
Изобразите несколько линий уровня для конкретных значений C:
5)
6)
2.3.Найдите поверхности уровня функции:
1)
2)
Изобразите несколько поверхностей уровня для конкретных значений C:
3)
4)
2.4.Вычислите предел:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2.5.Найдите точки разрыва функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
III уровень
3.1.Вычислите предел:
1)
2)
3)
4)
3.2.Докажите, что предел не существует:
1)
2)
3)
4)
3.3.Докажите непрерывность функции вR2:
1)
2)
3.4.Докажите, что функция непрерывна по каждой из переменныхxиyв отдельности (при фиксированном значении другой переменной), но не является непрерывной по совокупности этих переменных:
18.2. Частные производные и дифференциал
первого порядка
Частной
производной по переменной хфункции
в точке
называется предел
(18.1)
если он существует.
Производную (18.1)
обозначают также
Частной
производной по переменной уфункции
в точке
называется предел
(18.2)
если он существует.
Производную (18.2)
обозначают также
Если частные
производные определены на множестве
и
то они являются функциями двух переменных
Для функции трех
переменных
в случае их существования, аналогично
определяют три частные производные
Полным приращением
функции
в точке
называется разность
где
– приращения аргументов.
Функция
называетсядифференцируемой в точке
если полное приращение функции в этой
точке можно представить в виде
(18.3)
где
А,
В
– некоторые числа;
–бесконечно малые при
Если функция дифференцируема в точке М0, то в формуле (18.3)
Главная часть
полного приращения (формула (18.3))
дифференцируемой функции
называется дифференциалом
этой функции и обозначаетсяdz:
(18.4)
Для независимых
переменных хиудифференциалы
совпадают с их приращениями:
Дифференциал
функции двух переменных
вычисляется по формуле
(18.5)
Дифференциал
функции трех переменных
вычисляется по формуле
(18.6)
При достаточно
малых
и
для функции
,
дифференцируемой в точке
и ее окрестности, имеет место приближенное
равенство
(18.7)
Для функции трех переменных (в случае дифференцируемости в точке М0и малых приращениях независимых переменных) справедливо:
(18.8)
Пример
1. Вычислить
и
функции
Найти
значения частных производных в точке
(–1, 1).
Решение. Зафиксируем у, вычислим производную по х, пользуясь правилами дифференцирования (условно считаем y = const):
Тогда
Зафиксируем х, вычислим производную по у:
Тогда
Пример 2. Найти частные производные функции
Решение. Фиксируя у и z, вычислим производную по х:
Зафиксируем x и z и аналогично вычислим производную по y:
Зафиксируем x и y и вычислим производную по z:
Пример
3. Найти
dz
функции
Решение. Используя формулу (18.5), найдем частные производные:
Тогда
Пример
4. Найти
функции
Решение. Используя формулу (18.6), вычислим частные производные:
Тогда
Подставим
Получим:
Пример
5. Вычислить
приближенно
Решение.
Используем
формулу (18.7). Рассмотрим функцию
и найдем ее значение при
Вычислим значения частных производных функции f в точке (0; 1).
Приращения
аргументов
Тогда по формуле (18.7) имеем:
Пример
6. Вычислить
приближенно
Решение.
Рассмотрим
функцию
и найдем ее значение при
Имеем:
Вычислим значения частных производных в точке (1; 3; 0):
Приращение
аргументов
Используя далее формулу (18.8), получаем:
Задания