Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт информационных технологий БГУИР

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.02.2016

Размер:

956.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

101

www.studhelp.info

x−1

= - t xe−t

∞

G(x + 1) = òt xe−t dt =

u = t

, du = xt

∞ + x òt x−1e−t dt = xG(x).

dv = e−t dt, v = -e−t

Таким образом, имеет место формула приведения

Γ(x +1) = xΓ(x) .

(9.1)

При

nG(n + 1) = nG(n) = n(n -1)G(n - 1) = ... = n × (n -1) ×... × 2 ×1 = n!,

G(1) = 0!=1.

Формула дополнения. При 0 < x <1 справедлива формула дополнения

G(x)G(1 - x) =

sin πx

Заменив x на

x +1 в формуле (9.3), получим

G(x + 1)G(-x) =

sin π (x + 1)

sin πx

Отсюда и из справедливости формулы (9.3) при

0 < x <1 вытекает справед-

ливость равенства (9.3) при любом x , не являющемся целымPчислом.

Применяя повторно формулу (9.1), получаем

Γ(x + n) = (x + n −1)(x + n − 2)...(x +1)xΓ(x) .

æ 7

5 ö

UDH5 æ 3 ö 5 3

æ 3 ö

Отсюда при x

имеем

1 ö

3 ö

1 ö

1× 3 ×...× (2n - 1) × (2n -1)

π . (9.4)

Gçn

= çn -

× çn -

...×

× Gç

2 ø è

2 ø

пº2. Найти Gç

÷.

2 ø

D Имеем, согласно формуле (9.4):

÷ = Gç1 +

Gç1 +

Gç

÷ =

× Gç

÷ =

è 2

2 ø

2 Tè 2 ø

2 ø

è 2 ø

5 3

1 ö

5 3 1

æ 1 ö

5 × 3 ×1

www

π .

× Gç1 +

× Gç

÷ =

è .2 ø

è 2 ø

▲

Бета-функция B(x, y) определяется несобственным интегралом

B(x, y) = òtx−1(1- t)y

−1dt, x > 0, y > 0,

(9.5)

зависящим от двух параметров x и y .

Свойства функции B(x, y) :

B(x, y) – симметричная функция, т.е B(x, y) = B(y, x) .

D Действительно, положив τ =1 − t , получим

103

102

www.studhelp.info

B(x, y) = òt x−1(1 - t) y−1dt = òτ y−1(1 -τ ) x−1dτ = B( y, x).

▲

2) Гамма– и бета-функции связаны соотношением

B(x, y) =

Γ(x)Γ( y) .

(9.6)

G(x + y)

D В самом деле, положим в равенстве (9.5) t = cos2τ . Тогда имеем

dt = -2 cosτ sinτ dτ ,1 - t = 1 - cos2 τ = sin 2 τ ,

t = 0 Þ τ =

π , t = 1Þ τ = 0.

Отсюда получаем, что

x−1

- t)

y−1

= -2

2x−2

τ sin

2y−2

B(x, y) = òt

òcos

τ cosτ sin

τ dτ =

π / 2

(9.7)

π / 2

= 2 ò cos2x−1 τ sin 2y−1 τ dτ.

В формуле (9.1) положим t = u ,dt = 2u du и получим

UDH

−u2

∞

2x−2

−u2

E∞ 2x−1

G(x) = òu

du = 2 òu

du .

Аналогично при t = v2 имеем

∞

G(y) = 2 ò v2y−1e−v2 dv; G(x + y) = 2 òτ 2(x+ y)−1e−τ 2 dτ..

(9.8)

Отсюда получим, что

∞ ∞

−1v 2y−1e−(u2 +v2 ) dudv .

G(x)G(y) = 4ò

òu 2x

www

Перейдя к полярнымSкоординатам u = r cosθ , y = r sinθ,0 £ r < ¥,0 £θ £ π ,

получим с учетом формул (9.7) и (9.8):

π / 2

∞

G(x)G(y) = 4 ò dθ ò r × r 2x−1 cos2x−1 θ × r 2y−1 × sin 2 y−1 θe−r2 dr =

π / 2

∞

= 2 ò cos2x−1 θ × sin 2 y−1 θdθ × 2 ò r 2(x+ y)−1e−r2 dr =B(x, y)G(x + y).

Отсюда и следует формула (9.6).

▲

Бета– и гамма-функции называются интегралами Эйлера первого и второго рода соответственно.

Применение интегралов Эйлера к вычислению определенных интегра-

лов. Из формул (9.6) и (9.7) получаем равенство

104

103

π / 2	cos2x−1 τ sin 2y−1 τ dτ =	1	G(x)G( y) .
ò
		2
0			G(x + y)

Отсюда, заменив x на α , y на β , получаем формулу

π / 2	cos2α −1 x sin 2β −1 x dx =	1	G(α )G(β ) .
ò
		2
0			G(α + β )

www.studhelp.info

(9.9)

æ a

sinα

x cosβ

x dx = 1

ø .

(9.10)fo

1 ö

Так как a = 2ç

÷ -1, то из (9.9) следует формула

2 ø

Gæα + 1öGæ β + 1ö

π / 2

æα + β

Gç

+ 1÷

π / 2

пº3. Вычислить интеграл

sin5 xcos3 x dx .

D По формуле (9.10) имеем:

æ 5 + 1ö

æ 3 + 1ö

π / 2

Gç

÷Gç

UDH

2 ×1

sin5 x cos3 x dx =

æ 5 + 3

▲

G(5)

Gç

+ 1÷

При β =-α формула (9.10) принимает вид

π / 2

æα +1

ö æ1-α

ò tgα x dx =

Gç

÷Gç

÷,|α |<1.

Отсюда и из формулы дополнения (9.3) получаем равенство

π / 2

æ 1 α

æ 1

α öö

1 π

tgα x dx =

Gç

T+ ÷Gç1 -

÷÷

,| α |<1,

è 2 2

ø è

è 2 2 øø

α ö

απ

cos

sinç

www

cos 4

2 ø

или

π / 2

tgα x dx =

2 cosαπ

,|α |<1.

(9.11)

π / 2

пº4. По формуле (9.11) имеем

tg x

dx =

В интеграле (9.5) сделаем замену

t =

,dt =

,u Î[0,¥).

+ u

(1+ u)2

Тогда

105

104

	∞		u x−1		G(x)G( y)
B(x, y) = ò				du =		.
B(x, y) = ò		(1 + u) x+ y		du =	G(x + y)	.
	0	(1 + u) x+ y			G(x + y)
Отсюда при x =α , y = β получаем формулу
∞	xα −1		G(α )G(β )
0ò			dx = G(α + β ) .
0ò	(1+ x)α +β		dx = G(α + β ) .

www.studhelp.info

(9.12)

∞

æ 5

пº5. Вычислить интеграл ò

dx.

(1 + x)7

D По формуле (9.12) имеем

∞

x5 / 2−1

Gç ÷G(1)

x3/ 2

è 2

dx =

dx = ò

dx =

▲

7 / 2

5 / 2+1

0 (1+ x)

0 (1

+ x)

0 (1+ x)

Gç

÷ .

§ 10. Дифференциальные уравнения и функции Бесселя

Уравнение Бесселя и его решение с помощью рядов. Линейное однород-

UDH

ное дифференциальное уравнение

x2 y''+xy'+(x2 - v2 ) y = 0

(10.1)

называется уравнением Бесселя с параметром v .

Решение y = y(x)

будем искать в виде обобщенного степенного ряда:

y = x p

∞

åak xk = åak xk+ p,a0 ¹ 0.

(10.2)

k=0

Отсюда имеем:

∞

Ty' = åak (k + p)xk+ p−1,

k=0

www

∞

k+ p+2

2 ∞

k+ p

∞

y'' = åak (k + p)(k + p -1)xk+ p−2.

Подставив y, y'

и y' '

k=0

в (10.1), получим:

∞

+ p - 1)xk+ p

∞

+ p)x k+ p +

åak (k + p)(k

+ åak (k

k=0

+ åak x

- v å ak x

= 0

k=0

или

106

105

www.studhelp.info

å∞ ak ((k + p)2 + x2 - v2 )xk+ p = 0 .

k=0

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях

x , получим бесконеч-

ную систему:

x p

( p2 - v2 ) = 0,

x p+1

(( p + 1)2 - v2 )

= 0,

x p+2

(( p + 2)2 - v2 ))+ a0 = 0,

x p+3

(( p + 3)2 - v2 ))+ a = 0,

.........................................................

x p+n

(( p + n)2 - v 2 ))+ an−2 = 0 in

При a0 ¹ 0 имеем p = ±v . Тогда при p = v

коэффициенты an

с нечетными

индексами равны нулю, а с четными индексами

a2k

(-1)k a0

UDH

k!22k (v

+1)(v +

2)...(v + k)

При a0 =

2v G(v

+1)

имеем

a2k

(-1)k

G(k + 1)G(k + v + 1)22k+v

и, следовательно, решение (10.2) представится в виде ряда

∞

(-1)

æ x

2k+v

y = y(x) = å

= Jv (x) .

(10.3)

G(k + 1)G(k + v + 1)

k=0

è 2

При p = −v и a

0 =

имеем решение

www

−v

G(-v + 1)

ö2k−v

∞

(-1)k

æ x

J −v (x) =

× ç

(10.4)

G(k + 1)G(k - v +

k=0

è 2

Функции Jv (x)

и J−v (x), определенные равенствами (10.3) и (10.4), называ-

ются функциями Бесселя первого рода. Общее решение уравнения Бесселя (10.1) при нецелом v имеет вид

y = C1J v (x) + C2 J −v (x) ,

где C1 и C2 – произвольные константы. При целом n имеет место равенство

J −n (x) = (-1)n J n (x) ,

107

106 www.studhelp.info

т.е. функции Jv (x) и J−v (x) линейно зависимы. Второе линейно независимое

решение уравнения второго порядка (10.1) определяется предельным соотношением

(x) = lim

Jn(x)cosπn − J

−v (x)

– нецелое.

sinπn

v→n

Функция N n (x)

называется функцией Неймана. В этом случае общее реше-

ние уравнения (10.1) имеет вид

2k+v−1

∞

(-1)k 2k

æ x ö2kfo+v−1

∞

(-1)k (2k + v)

æ x ö

= C1J v (x) + C2 Nn (x) .

Реккурентные соотношения.

Продифференцировав функцию Jv (x) , будем

иметь

J v' (x) = å

= å

2G(k + 1)G(k + v + 1)è 2 ø

k=0

2kG(k)G(k

+ v + 1)nè 2 ø

∞

(-1)k v

æ x ö2k+v−1

+ å

k=0

2G(k + 1)G(k + v + 1)è

ö2(k−1)+(v+1)

2k+v

(-1)k−1(-1)

(-1)k

∞

æ x

∞

æ x

= å

åL

G(k)G((k - 1) + (v + 1) + 1)

k=0

è 2

x k=0

G(k + 1)G(k

+ v + 1)è 2

(-1)

(2(k + v) -UDHv) æ x ö

(-1)

æ x ö

= -J v+1(x) +

J v (x).

Таким образом,

Jv' (x) = -Jv' +1(x) +

Jv(x).

(10.5)

С другой стороны,

2k +v−1

∞

Jv' (x) = å

G(k +1)G(k + (v -1)

k =0

2G(k +1)GT(k + v +1)è 2 ø

k =0

+1)è 2 ø

∞

(-1)k

æ x ö2k +v

www

= J '

(x)

(x),

è 2 ø

v−1

x k=0 G(k +

1)G(k

+ v +1)

т.е. имеет место реккурентное соотношение

J v' (x) = J v−1(x) - vx J v (x).

Интеграл Люамеля. Решением уравнений

x2u''+xu'+(β 2 x2 - v2 )u = 0, x2 y''+xy'+(α 2 x2 - v2 )u = 0,

108

107	www.studhelp.info

являются функции u = Jv (βx) и y = Jv (αx) . Умножим первое уравнение на xy ,

второе – на ux и затем вычтем из одного равенства другое. В результате полу-

чим равенство:

x(u'' y - y''u) + (u' y - uy') = (α 2 - β 2 )uxy,

ö'

которое при u'= βJv' (βx), y'= αJv' (αx) можно переписать в виде

x(u' y - y'u) = (α 2 - β 2 )uxy,

или в подробной записи:

ç x(βJ v (βx)J v (αx) - αJ v (βx)J (αx)÷ = (α

- β

)xJv (αx)J v (βx). (10.6)

Отсюда, используя реккурентную формулу (10.5), получим равенство

ö'

(βx)÷ .

(αx)J

(βx) =

(αJ

(βx)J

v+1

(αx) - βJ

(αx)J

v+1

- β

èα

Проинтегрировав равенство от 0 до x, получим формулу

UDH

ò SJ v (αx)J v (βx) dS =

(αJ v

(

βx)J v

(αx) - βJ v (αx)J v+1(βx)),

α 2 - β 2

которая называется интегралом Люамеля.

Корни бесселевых функций.

Корнями бесселевых функций Jv (x) называ-

ются все точки x, при которых Jv (x) =0.

Свойства корней:

1. Все корни бесселевых функций, кроме x=0, являются простыми.

D Если бы x

был корнем кратности 2, то J

(x ) = 0, J '

(x ) = 0

и задача Ко-

ши для однородного линейного уравнения имела бы только нулевое решение.

2. Все корни.бесселевых функций – действительные числа. ▲ D Если z – комплексный корень функции Jv (x) , то и z – тоже корень этой функции. В этом случае при α = z,β = z из интеграла Люамеля получаем, учтя,

что J v (z)=0, Jv (z) = 0, соотношение

(zJ v (

))= 0, (10.7)

ò sJv (zs)J v (

zs) ds =

)J v+1 (z) -

zJ v (z)J v+1(

z 2 - z 2

2 > 0 при 0 < s <1. ▲

что невозможно, поскольку sJ v (zs)J v (

J v (zs)

zs) ds = s

www

3. Корни бесселевых функций Jv (x) и Jv+

1(x)

взаимно разделены, т.е. ме-

жду двумя последовательными корнями функции Jv (x) находится ровно один корень функции Jv+1(x) , и наоборот, между двумя корнями функции Jv+1(x) находится ровно один корень функции Jv (x) .

109

108	www.studhelp.info

Ортогональность бесселевых функций. Напомним, что система функций

{ϕn (x)} называется ортогональной на отрезке [a,b] с весом p(x) > 0 , если выполнены условия

ò p(x)ϕi (x)ϕ j (x)dx = 0,i ¹ j.

Нормой

ϕm

функции ϕn (х) с весом p(x) называется число, определяемое

равенством

ϕn

2 = ò p(x)ϕn2 (x) dx .

Пусть αi

– корни бесселевой функции Jv (x) . Рассмотрим систему функ-

ций {J v (αi x)}. При z = αi из равенства (10.7) имеем, заменив s на x :

ò xJ v (αi x)J v (α j x) dx = 0, i ¹

j, .

(αi x)} ортогональна на

откуда следует,

что система бесселевых функций {J v

отрезке [0,1]

с весом

p(x) = x . Норма бесселевых функций вычисляется по

формуле:

J v

= ò xJ v2 (αi x) dx.

Можно показать, используя интеграл Люамеля, что

J v

(αi x)

J v' (αi ).

Разложение функций в ряд Фурье-Бесселя. Пусть функция f (x) опре-

делена на отрезке [0,1]. Рядом Фурье-Бесселя функции

f (x) называется

∞

UDH

f (x) = åαi Jv (αi x) ,

где коэффициенты αi

i=1

определяются по формулам

αi

ò xf (x)Jv (αi x)dx .

(10.8)

(Jv' (αi ))2 0

пº1. Разложить в ряд Фурье-Бесселя по системе функций {J0(αix)}, где αi

– корни функции J 0 (x), функцию f (x) = 1.

D Коэффициенты αi

вычисляем по формуле (10.8):

при f (x) = 1 имеем

www

αi =

ò xJ v (αi x) dx .

(J v' (αi ))2

Из равенства (10.5) при V = 0 получаем

J0' (x) = −J1(x) .

(10.9)

При V =1 реккурентное соотношение (10.6) имеет вид

110

109

www.studhelp.info

J1' (x) = J 0 (x) -

J1 (x).

Отсюда следует, что

(xJ1 (x))' = J1 (x) + xJ1' (x) = J1(x) + xç J 0

(x) -

1(x)÷

= xJ 0 (x).

Подставив это значение xJ0 (x)

в αi , получим:

(J v' (αi ))2 αi2 0

αi =

(J v' (αi ))2

ò xJv (αi x) dx =

(J v' (αi ))2αi2

ò (αi x)J v (αi x) d(αi x) =

αi

ò sJ 0 (s) ds =

(sJ1 (s))2 ds =

(J v' (αi ))2 αi2

×αi J i (αi ) =

αi J1' (αi )

в силу равенства (10.9).

f (x) = 1

Таким образом, ряд Фурье-Бесселя функции

по системе функций

{J0(αix)} имеет вид

∞

(a x)

x + y

1 = åαi J0(ai x) = å

▲

i=1

i=1αi J1(ai )

Вопросы для самоконтроля

1. Линейные (векторные) пространства.

Аксиомы метрики. Метрические пространства.

Пространства Rn

, C[a,b], L

[a,b], l

Аксиомы нормы. НормированныеUDHлинейные пространства. Нормы в про-

странствах Rn , C[a,b], L [a,b], l .

Расстояние между элементами в метрическом и нормированном про-

www

странствах

Сходимость последовательности в метрическом и нормированном про-

странствах.

Фундаментальные последовательности, их свойства.

Полные метрические, нормированные пространства.

Унитарные пространства.

Норма элемента и расстояние между точками в унитарном пространстве.

10.Гильбертово пространство.

11.Ортогональные и ортонормированные системы в гильбертовом простран- стве.

12.Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

13.Линейные операторы и линейные функционалы.

14.Дифференцируемость функционалов.

15.Вариации функционала.

111

				110						www.studhelp.info
16.	Краевая задача математической физики: формулировка.
17.	Простейшие уравнения с частными производными гиперболического, па-
	раболического и эллиптического типов.
18.	Формула Д’Аламбера.
19.	Метод разделения переменных для уравнений гиперболического, парабо-
	лического и эллиптического типов.
20.	Понятие об обобщенных функциях.										fo
21.	δ-функция и ее свойства.										fo
21.	δ-функция и ее свойства.
22.	Импульсная реакция линейных стационарных систем с одним входом.
23.	Симметрическое преобразование Фурье и его свойства.									n
24.	Преобразование Фурье обобщенных функций.									n
24.	Преобразование Фурье обобщенных функций.
25.	Дискретное преобразование Фурье и его свойства.
26.	Восстановление решетчатой функции по ее дискретному преобразованию
	Фурье.						P
	Фурье.								i
27. Z -преобразование Лорана и его свойства.						L		.
28.	Восстановление решетчатой функции по ее Z -преобразованию.
29.	Решение линейных разностных уравнений с помощью Z -преобразования.
30.	Преобразование Гильберта.				E
30.	Преобразование Гильберта.
31.	Определение Г-функции.
32.				UDH
32.	Формула дополнения для Г-функции.
33.	Формула приведения для Г-функции.
34.	Применение интегралов Эйлера к вычислению некоторых определенных
	интегралов.
35.	Дифференциальное уравнение Бесселя и порождаемые им функции.
36.	Реккурентные соотношения для бесселевых функций.
37.	Корни бесселевых функций.
38.			T
38.	Ортогональность бесселевых функций.
39.	Разложение функций в ряды Фурье-Бесселя.
40.		S
40.	Простейшая задача вариационного исчисления.
41.	.
41.	Необходимое условие экстремума функционала.
42.	Уравнение Лагранжа-Эйлера.
www
43.	Экстремали функционала.
44.	Решение уравнения Эйлера-Лагранжа в специальных случаях.
45.	Блочные матрицы.
46.	Теорема Гамильтона-Кели.
47.	Передача дискретной информации.
48.	Расстояние Хэмминга.
49.	Двоичные линейные коды.
50.	Двойственный код.
51.	Обнаружение ошибок кодирования.

112

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.02.20163.66 Mб9Lc2_2015_ПДС.pdf
#
24.02.2016824.37 Кб34metodichka_fizika_2_semestr.pdf
#
24.02.2016911.42 Кб8montag.pdf
#
24.02.201638.81 Кб36ozi_gavrilenkov481971_6.docx
#
24.02.20164.6 Mб12PADS_Eval_Guide.pdf
#
24.02.2016956.88 Кб13SMMiF_bsuir.pdf
#
24.02.20161.7 Mб10TM_Kontrol.pdf
#
24.02.20166.53 Mб146TM_Lectures.pdf
#
24.02.2016394.59 Кб10TM_Work_Plan.pdf
#
24.02.201647.62 Кб38Topics(вечерники).doc
#
24.02.2016540.29 Кб32tx_29 ТКС.docx