Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
956.88 Кб
Скачать

41

www.studhelp.info

Напомним, что для абсолютно интегрируемых функций существуют прямое и обратное преобразования Фурье. Прямое преобразование Фурье F(ω) функ-

ции f (t) задается формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω) = ò f (t)ei2πωt dt

 

 

 

 

 

(4.1)

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

и иногда еще называется спектральной функцией интеграла Фурье.

fo

Зная функцию F(ω) , можно восстановить сигнал

f (t) с помощью обратного

преобразования Фурье:

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = ò F(ω)ei2πωt dω .

 

 

 

 

.

(4.2)

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В дальнейшем будем использовать запись f (t) ↔ F(ω) , означающую, что

функция F(ω) является прямым преобразованием Фурье сигналаif (t) .

Легко заметить, что операторы (4.1) и (4.2) линейны:

 

 

 

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

f1(t) ↔ F1(ω) ,

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

f 2 (t) ↔ F2 (ω),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

UDH

+ c2F2 (ω) ,

 

 

 

 

 

 

c1 f1

(t) + c2 f

2 (t) ↔ c1F1(ω)

 

 

 

где c1,c2 – произвольные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Дано:

 

 

 

 

f (t) ↔ F(ω) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти спектральную функцию сигнала F(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D По определению спектральной функции для сигнала F(t) имеем:

 

 

 

+ ¥

F(t) e- i2pwt dt =

введем

замену

 

 

 

 

 

S

=

 

 

 

 

 

 

w = -w1

 

 

 

 

 

 

.

- ¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

- ¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ¥

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

=

ò F(t) ei2pw1t dt = f (w ) = f (-w).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, мы вывели очень важное свойство дуальности соответствия: если

f (t) ↔ F(ω) ,

то

F(t) ↔ f (−ω) .

Рассмотрим геометрический смысл этого свойства:

43

42

www.studhelp.info

если

f(t)

F(ω)

0

t0

 

t

 

 

0

 

 

ω

то

F(t)

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

(−ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

.0

 

 

0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-t

0

ω

 

 

 

 

 

 

L

 

Задача 2. Доказать:

 

 

E

P

 

 

а) если f (−t) ≡ f (t), то F(−ω) = F(ω);

 

 

 

 

 

 

б) если f (−t) ≡ − f (t) , то F(−ω) = −F(ω) .

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

Из (4.1) с учетом формулы Эйлера следует, что

 

 

 

 

 

+∞

 

+∞

 

 

 

 

 

 

F(ω) = ò f (t) cos 2πωt dt i ò f (t) sin 2πωt dt = a(ω) − ib(ω) .

 

 

 

−∞

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

144424443

144424443

 

 

 

 

 

 

a(ω)

 

b(ω)

 

 

 

 

Заметим, что F(−ω) = a(ω) + ib(ω).

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

а)

Пусть f(t)

– четная функция. Тогда a(ω) = 2ò f (t) cos 2πωt dt как интеграл

 

 

S

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от четной функции по симметричному интервалу интегрирования и b(ω) = 0

 

.

 

 

Утверждение пункта б) доказывается аналогично.

 

Если говорить образно, то справедливы такие картины соответствия:

 

а)

 

f

 

F

 

www

f(t)

 

F(ω)

 

0

t

0

ω

как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу. Следователь-

но, F(−ω) = F(ω)

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

б)

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Доказать справедливость утверждения:

 

 

 

 

fo

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) ↔ F(ω) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f '(t) ↔ i2πωF(ω) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрируем

по

частям :

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = ei2πωt ;

dv = f '(t)dt;

= f (t)ei2πωt

 

 

 

f ' (t) ↔ ò f '(t)ei2πωt dt =

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

du = −i2πωei2πωt dt; v = fP(t)

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

первое

слагаемое

суммы равно нулю,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так

как

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (−∞) = f (∞) = 0

из− за

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

+ i2πω ò f (t)ei2πωtdt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= i2πωF(ω).

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

условия

 

ò|

f (t) | dt = Q < +∞,

а второе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слагаемое

преобразуем

по

формуле (4.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как операция интегрирования обратна операции дифференцирования, то

легко доказать, что справедливо соответствие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDHt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

ò

f (t)dt

F(ω)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

i2πω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Доказать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

f (t − τ)

ei2πωτ F(ω), τ – число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

введем

замену

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = t − τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t − τ) ↔ ò f (t − τ)ei2πωt dt =

 

 

 

 

=

ò f (u)ei2πω(u+τ) du =

 

 

t = u + τ

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

dt = du

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2πωτ

 

 

 

 

i2πωu

 

 

i2πωτ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

du =e

 

 

 

 

F(ω). ▲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

 

ò f (u)e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

Заметим, что | ei2πω |=1. Поэтому операция запаздывания временного аргумента никак не отразится на модуле спектральной функции F(ω) .

45

44

www.studhelp.info

Задача 5. Обосновать формулу Рэлея

(u(t), v(t)) = (U (ω),V (ω)) (4.3)

– скалярное произведение сигналов u(t) и v(t) равно скалярному произведению их спектральных характеристик U (ω) и V (ω) .

Пусть u(t) и v(t) – комплексные сигналы, а U (ω) и V (ω) – соответственно их спектральные характеристики:

 

 

 

 

 

 

 

 

v(t) ↔ V (ω) =

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òv(t)ei2πωt dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t) ↔ U (ω)

=

òu(t)ei2πωt dt,

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

.

 

 

 

 

Зная V (ω) , можно восстановить

 

−∞

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

v(t)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(t) = òV (t)ei2πωt dt.

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для v * (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

– комплексно сопряженной к

v(t)

функции – получаем

 

 

ò

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v * (t)

=

òV * (t)ei2πωt dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярное произведение функций u(t) и v(t) вычисляется так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

используя

 

представление

 

 

 

 

 

 

(u, v) = òu(t)v * (t)dt =

 

 

формуле

=

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

T

v * (t)

 

по

 

предыдущей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

u(t)dt

V * (ω)ei2πωt dω =

 

поменяем

в

двойном интеграле

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

порядок

интегрирования

 

 

 

 

 

 

−∞

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ò

V * (ω)dω

 

ò

u(t)ei2πωt dt =

ò

V * (ω)U (ω)dω = (U ,V ).

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1442443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если формулу Рэлея (4.3) рассмотреть для случая v(t) = u(t) , то получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u,u) = (U ,U )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| u(t) ||2 =|| U (ω) ||2 .

 

 

 

 

(4.4)

 

www

Формула (4.4) называется формулой Парсеваля-Планшеренеля. Оеа. говорит о

том, что нормы временной u(t) и

 

спектральной характеристик U (ω) сигнала

совпадают. Другими словами, если

f (t) ↔ F(ω) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||

f (t) ||=|| F(ω) ||,

 

 

 

 

 

 

46

45

www.studhelp.info

||f (t) ||2 = ò f 2 (t)dt = ò F(w)F * (w)dw = || F(w) ||2 .

−∞ −∞

Здесь мы полагали функцию f (t) – временную характеристику сигнала –

вещественной.

Запишем в таблицу 1 сводку формул, теорем и правил соответствия временных f (t) и спектральных характеристик F(ω) .

Таблица 1. Свойства преобразования Фурье

 

 

 

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω)

 

 

fo

 

 

 

+∞

 

 

 

i2πωt

 

 

 

 

+∞

 

 

 

− 2πωt

 

 

 

 

f (t) =

 

F(w) e

dw

 

F(w) =

 

 

 

 

f (t) e

 

 

 

 

ò

 

 

ò

 

 

 

ndt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ .

 

 

 

 

Если

f * (t) = f (t),

то F(ω) = F * (−ω) | F(ω) |=| F(−ω) |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Четная симметрия:

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

f (−t) ≡ f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(−ω) = F(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нечетная симметрия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (−t) ≡ − f (t)

 

 

F(−ω) = −F(ω)

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 f1(t) + c2 f2 (t)

 

 

c1F1(ω) + c2 F2 (ω)

 

 

 

 

Дуальность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

f (−ω)

 

 

 

 

 

 

Изменение масштаба:

 

 

 

1

 

æ wö

 

 

 

 

 

 

 

f (kt)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fç ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| k |

è k ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задержка во времени:

 

 

e

i2πωτ

F(w)

 

 

 

 

 

f (t − τ)

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение на ei2πω0t :

 

 

 

F (ω − ω0 )

 

 

 

 

 

e

i2πω0t

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свертка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò f (u)g(t - u)du = f * g

 

 

 

F(ω)G(ω)

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)g(t)

 

 

òF(w)G(w - u)du

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцирование:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ' (t)

 

 

 

 

 

 

i2πωF(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование:

 

 

 

 

 

 

F(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2pw

 

 

 

 

47

 

 

 

 

 

 

46

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò f (t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Рэлея:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò f (t)g * (t)dt = ( f , g)

 

 

 

 

 

 

 

(F,G) = òF(w)G * (w)dw

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

Формула Парсеваля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò| f (t) |2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò| F(w) |2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

4.2. Функция Дирака δ(t)

P

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Физиком Дираком был рассмотрен

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следующий пример. Материальная точка А

E

 

 

 

B

 

 

 

 

(шарик) до начального момента покоилась.

 

A

 

 

 

 

 

 

 

В момент t = 0 по ней ударили молоточком, после чего

 

 

 

 

 

 

она мгновенно перескочила в положение B ,

пройдя единичный путь А B , и

 

опять остановилась.

UDH0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассуждая как физик, Дирак предложил ввести функцию δ(t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì0,

 

если

 

t ¹ 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(t) = í

если

 

t = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î¥,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом предполагается, что выполняются условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

ì0,

 

если

 

t < 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

d(t) = í

если

 

t ³ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь эту функцию называют дельта-функцией Дирака.

 

 

 

 

 

ò

.ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратимся теперь к удивительным свойствам этой функции:

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)δ (t)dtS= ε f (t)δ (t)dt =

здесь

ε - скoль угодно

 

=

 

 

 

 

 

1º. −∞

 

−ε

 

 

малое

 

число > 0

 

 

 

 

 

 

 

ε

= f (0) òδ (t)dt = f (0);

−ε

2º. ò f (t)d(t - t0 )dt = f (t0 ).

−∞

Итак, дельта-функция обладает фильтрующим свойством: под знаком опре- деленного интеграла она выхватывает значение перемножаемой с ней функции при определенном значении аргумента t0 .

48

47

www.studhelp.info

Есть еще много удивительных свойств у дельта-функции (например, оказывается, что ее можно сколько угодно раз дифференцировать), но мы пока рассматривать их не будем.

Попробуем включить δ(t) -функцию в число сигналов и займемся ее спек-

тральным изображением. А попутно мир сигналов пополним еще кое-какими функциями.

4.3. Спектральная плотность постоянного сигнала

 

n

Напомним, какие ограничения нужно наложить на функцию f (t)

для того,

чтобы ее можно было представить интегралом Фурье.

i

fo

Теорема 4.1. Если функция f (t)

.

 

1) кусочно-непрерывная на всей числовой оси R, имеет конечное число точек разрыва 1-го рода и конечное число точек экстремума на любом отрезке [−l,l]

(условие Дирихле);

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

+∞

 

 

2) абсолютно интегрируема на всей числовой оси: ò| Pf (t) | dt = Q < +∞ ,

то для нее существует интеграл Фурье

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

UDH

 

 

 

 

 

 

 

f (t − 0)

+ t(t + 0)

 

 

 

ò F(ω)ei2πωt dω =

E

,

 

 

−∞

 

 

2

 

 

 

который сходится при любом t к среднему значению левого и правого преде-

лов функции f (t) в точке t .

 

 

 

 

 

 

Заметим, что второе условие этой теоремы дает жесткое ограничение на

 

T

 

 

 

 

 

класс функций f (t) , представимых интегралом Фурье. В дальнейшем мы будем

S

 

 

 

 

 

 

обсуждать, как можно изменить оператор Фурье, чтобы класс функций f (t)

мог быть значительно расширен.

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть f (t) = A – число. Этот сигнал,

 

 

 

 

 

wwwΦ(ω):

 

 

 

 

А

f (t) = A

вообще говоря, запрещен теоремой 4.1,

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

так как условие 2) ò| f (t) | dt = Q < +∞

 

0

 

t

−∞

 

 

 

f (t) = A и осью t здесь беско-

здесь не выполнено. Площадь между графиком

нечна. Но мы все-таки попробуем применить преобразование (4.1) чисто формально.

Пусть ϕ(t) – благопристойный сигнал, имеющий спектральную плотность

 

Φ(ω) = òϕ(t)ei2πωtdt .

(4.5)

−∞

Воспользуемся теперь формулой Рэлея:

49

 

 

 

 

 

 

 

 

48

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( f , j) = (F(w), F(w)) Û ( f , j) = ò f (t)j * (t)dt = ò F(w)F * (w)dw = (F, F) .

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

−∞

 

 

 

(4.6)

 

 

 

В нашем случае левая часть формулы (4.6) в силу (4.5) дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

A òj * (t)dt = AF(0) ,

 

 

 

fo

а правая часть есть интеграл

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò F(w)F * (w)dw = AF(0) .

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Замечаем, что F(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проявляет свойство 1º дельта-функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω) = Aδ(ω).

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

 

f (t) = A F(ω) = Aδ(ω) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а по принципу двойственности

Aδ(t) ↔ A.

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математики

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

договорились

δ(t) -функцию обозначать вектором единичной

длины, исходящим вертикально из начала координатE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ý d(t)

 

 

 

 

 

 

Ý d(t - t0 )

 

 

 

 

 

0

 

 

t, тогда

 

 

0

t0

 

 

 

t .

 

 

Поэтому образно в картинках наши последние выводы выглядят так:

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

Ad(w)

 

 

 

 

 

 

.

Tt

 

 

Ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

и

0

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ad(t)

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

Ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

4.4. Спектральная плотность комплексного сигнала

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим комплексное колебание

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t) = ei2πωt

50

49

www.studhelp.info

с частотой ω в Герцах. Этот сигнал также не обладает свойством абсолютной интегрируемости на всей числовой прямой. Но оказывается, что для него спектральная плотность существует.

Задача 6. Доказать, что если

f (t) ↔ F(ω) ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

ei2πω0t f (t) « F(w - w0 ) .

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D f (t) « F(w) = ò f (t) ei2πωt dt;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

ei2πω0t f (t) « ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) ei2πω0t × ei2πωt dt = ò f (t) ei2π(ω−ω0)t dt = F(w - w0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем теперь

f (t) =1. Тогда

f (t) ↔ δ (t) и, согласно итогу задачи 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

ei2πω0t ×1 « d(w - w

0

)

Û ei2πω0t « δ (ωP- ω ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Заметим, что для вещественных сигналов f (t) модуль спектральной плотно-

сти есть четная функция от ω :

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

| F(−ω) |=| F(ω) |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А теперь рассмотрим в качестве

 

 

 

E

F

 

 

 

 

 

сигнала ei2πω0t – комплексное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ý d(w - w0 )

 

 

колебание, для которого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

ω0

 

ω

спектральная функция δ(ω − ω0 )

имеет

 

 

 

 

 

 

 

 

несимметрический модуль относительно вертикальной оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.5. Спектральная плотность гармонических колебаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим спектральные характеристики простейших гармонических коле-

баний cos 2πω

0

t,sin 2πω

t . Для этого воспользуемся формулами Эйлера:

 

 

 

 

 

 

 

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei2πω0t + ei2πω0t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ(ω + ω )

1

 

 

δ(ω − ω )

 

 

1) cos 2πω0t =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

 

d( - 0 ) + d(w + w0 )

;

 

 

 

 

 

 

 

-ω0

 

 

ω0

 

ω

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wwwei2πω0t - ei2πω0t

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

δ(ω − ω0 )

 

2)

sin 2πω0t =

 

 

 

 

2i

 

 

 

«

 

 

 

 

-ω0

2

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

 

δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )

.

 

 

-

δ(ω+ ω0 )

 

- 1

 

ω0

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

2

 

 

 

 

 

51

50

www.studhelp.info

4.6. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала

Пусть дан периодический сигнал f (t) = f (t + 2l) . Представим его в виде ряда Фурье в комплексной форме и найдем его спектральную функцию:

i

πnt

 

f (t) = åcn e

l

«

n=−∞

F(ω) = å

n=−∞

æ

 

n ö

cnδ ç

ω -

 

÷ ,

 

è

 

2l ø

где

 

 

 

1

l

f (t)ei

πn

an + ibn

 

 

 

an

ibn

 

 

fo

 

 

 

 

t dt , c =

,c

 

=

 

 

c

n

=

l

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

n

2

 

 

 

2

 

.

 

 

 

 

2l l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция F(ω)

называется импульсной функцией.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, преобразование Фурье для периодической функции времени представ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

ляет собой импульсную последовательность в частотной области, причем пло-

щади импульсов равны коэффициентам cn ряда Фурье.

.

 

В соответствии со

P свойством дуальности преобразование Фурье импульснойLпоследовательности

во временной области будет давать периодическую функцию частоты. Геометрически это выглядит так:

 

 

 

 

 

 

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

F(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

1

 

-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

2l

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2l

 

l

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

S

1

 

1

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

- w

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2

 

.

 

2w

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В аналитической форме рассмотренное выше соответствие имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

n ö

 

 

 

 

i

πn

t

æ

 

n ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = å f [nçt -

 

÷

« F(ω) =

å

 

f [n]e

ω

δ çt -

 

÷ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

n=−∞

 

è

 

2w ø

 

 

n=−∞

 

 

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

w

πn

ω dω .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f [n] =

òwF(ω)ei l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тот факт, что преобразование Фурье периодической функции

f (t)

времени

t , заданной в виде периодической или импульсной последовательности, соответственно дает импульсную или периодическую последовательности в частотной области, фактически означает, что интегральные операторы прямого и об-

52

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]