Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
956.88 Кб
Скачать

21

www.studhelp.info

Теперь, проектируя оба вектора на вещественную ось, получим решение уравнения (2.9), а проектируя на мнимую ось, найдем решение уравнения (2.10). Можно подобрать параметры цепи L и R так, чтобы угол α был равен,

например, 90°, а модуль

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

принимал заданное значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2+L2ω2

 

 

 

 

 

 

II случай. Пусть подаваемое в цепь напряжение

 

f (t) есть периодическая

функция периода T = 2l . Тогда его можно представить рядом Фурье

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

np

 

 

 

 

 

 

np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

 

 

+ åan cos

t + bn sin

t

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, воспользовавшись формулами Эйлера

 

 

 

 

 

 

 

 

nπ

 

 

einπt / l

e− πt / l

 

 

 

nπ

 

einπt / l + einπt / l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

l

t =

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

, sin

l

 

t

=

 

 

 

i

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.2i

 

 

 

записать в комплексной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

å

c

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

einπt / l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=−∞

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (2.11) перепишется в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L di

+ Ri =

 

åcneinπt / l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

i

=−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая предыдущие рассуждения, частное решение запишем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

n

eiα

 

 

 

× einπt / l ,

 

 

 

 

 

æ

 

 

np ö

 

 

i(t) = å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = argç R + iL

 

 

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

(np / l)

2

 

 

 

 

 

 

n=−∞ R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

+ L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III случай. Пусть теперь подаваемое в цепь напряжение f (t) можно пред-

ставить интегралом ФурьеTв комплексной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

f (t) =

1

F(ω)eiωt dω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L di + Ri = 1

 

 

F (ω) eiωt dω .

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь F( ) – спектральная плотность нашей функции f (t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω) = ò f (x) eiω xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда уравнение (2.11) перепишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая предыдущие рассуждения, по аналогии выписываем частное решение

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(w) ×e-ia

 

×eiwt dw.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(t) = ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 + L2w2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (2.14) демонстрирует прямое преобразование Фурье, а формула

(2.13) – обратное преобразование Фурье.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряжение

f (t) , подаваемое в электрическую цепь, можно назвать сигна-

лом. Из рассуждений, проведенных выше, следует, что сигнал имеет две мате-

матические характеристики:

f (t)

– временная вещественная и

 

F(ω) – спек-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сигнал

 

 

 

 

 

 

 

n

тральная комплексная:

 

 

 

 

 

 

i

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

f (t) - временная вещественная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (ω) - спектральная комплексная

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Преобразование Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В формуле (2.14) частота

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω измеряется в радианах. Введем в рассмотрение

вместо ω частоту

ω

, выраженную в герцах. Величины

ω и

ω

 

связаны соот-

ношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω = 2πω1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ω – число радиан в секунду,

ω1 – число полных кругов в секунду. Тогда

обе формулы (2.14) и (2.13) прямого и обратного преобразований Фурье будут

выглядеть одинаково:

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

òF1)ei2πω1 t dω , F1) = ò f (x)ei2πω1 xdx

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

wwwî

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее будем иметь дело только с частотой, выраженной в герцах. Поэтому

нижний индекс в

 

1 будем опускать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Является ли ортонормированной система функций

 

 

 

 

 

 

 

ì2n / 2 ,

 

если x Î[2n ,2

n+1 ],

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fn (x) = í

0, при

других

 

x Î[0,1],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Разложить в ряд Фурье по базису {en = einx }функцию

 

 

 

а) f (x) = sgn(2x − 1) ;

б) f (x) = eλx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

einx ; б)

eλ

-1

 

inx

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: а) å

 

 

 

 

 

 

 

 

å

 

 

e

, λ ¹ in.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

λ -

in

 

 

 

 

 

 

 

k=0iπ (2k +

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти преобразование Фурье функций:

 

 

 

 

 

 

 

ì1,| x |£1,

 

б)

f (x) = e−βx , x ³ 0, β > 0 и f (−x) = f (x) .

 

 

 

а) f (x) = í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î0,| x |>1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: а) F(ω) =

sin 2πω

; б) F(ω) =

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

β 2 + 2ω 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3. Линейные отображения, функционалы, операторы. Уравнения в опе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

раторной форме. Простейшие задачи математической физики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. Линейные отображения

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

над одним

Пусть даны два конечномерных линейных пространства Ln и Lm

и тем же числовым полем Р.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

P

 

 

 

Определение 3.1. Говорят, что оператор

A :

 

 

 

 

 

m , ставящий каждому

вектору

 

Î L

в соответствие некоторый вектор

 

 

LÎ L , осуществляет линей-

x

 

y

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

ное отображение пространства Ln на пространство Lm , если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"c Î P;

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

1º. A(cx) = cA(x) для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2º. A(x1 + x2 ) = A(x1) + A(x2 ) для " x1, x2 Î Ln .

Пусть в Ln выбран базис {e1,e2,...,en}, а в Lm – базис {e'1, e'2 ,...,e'm}. Тогда

для "

 

Î Ln и "

 

Î Lm имеем представление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x1

 

 

+ x2

 

 

+...+ xn

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

e1

e2

en

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y

 

+ y

 

 

 

 

+ ... + y

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

e'

e'

 

 

n

e'

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH1 1 2 2

 

 

 

 

 

 

 

Оператор A задан для любого вектора

x

из пространства Ln . Если в качест-

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ве вектора x поочередно брать базисные векторы e1, e2 ,...,en , то с учетом ли-

нейности A получимS:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

A(e1) = y1

= a11e'1 + a21e'2 + ... + am1e'm ;

 

 

A(

 

) =

 

 

= a12

 

+ a22

 

 

+ ... + am2

 

;

 

 

e2

y2

e'1

e'2

e'm

(3.1)

 

............................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(en ) = yn = a1n e'1 + a2n e'2 + ... + amn e'm .

Умножим уравнения системы (3.1) соответственно на x1, x2 ,...xn и найдем их сумму. Так как оператор A линеен, то:

25

24 www.studhelp.info

A(x1

e1

+ x2

e2

 

+ ... + xn

en

) = (a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )

e'1

+

 

 

14444244443

 

144442444443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

 

 

 

x

 

+ (a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn )

 

+ ... + (am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn )

 

.

e'2

e'n

1444442444443

 

1444442444443

 

 

 

 

 

y2

 

ym

В правой части полученного равенства записан вектор

 

, представленный в

y

виде линейной комбинации по базисным векторам.

Из последнего равенства легко следует, что имеют место соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 = a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ,

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 = a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...............................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

m

= a

m1

x

+ a

m2

x

2

+ ... + a

mn

x

n

,

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

которые удобно записывать в матричной форме

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y = AX ,

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

æ y

ö

 

 

æ x

 

ö

 

 

 

æa Ka

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

1

÷

 

 

ç

1

 

÷

 

 

 

ç

11

 

1n

 

÷

 

 

 

 

 

 

где

Y =

ç y2

÷

,

X =

ç x2

 

÷

,

A =

ç..............

 

 

÷

, Y, X

 

столбцовые матрицы, а

ç

M

÷

ç

M

 

÷

ç......a

 

.....

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

L

 

 

 

 

 

ç

 

÷

 

 

ç

 

 

÷

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

÷

E

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

÷

 

 

ç

 

 

÷

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

A = (aij )

è ym ø

 

 

è xm

ø

 

 

 

èam1 Kamn

ø

 

 

 

 

 

 

 

– матрица порядка m × n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, если в пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждому

оператору A можно поставить в соответствие матрицу A. Пусть A : Ln Ln – линейный оператор.

Определение 3.2. Число λ называется собственным значением оператора A,

если уравнение

 

 

 

T

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x) = λ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет ненулевое решение

x Ln . Вектор x при этом называется собственным

вектором оператора A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оказывается., что у любого линейного оператора A с симметрической матри-

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цей, действующего из пространства Ln в Ln , существует n линейно независимых векторов x1, x2 ,..., xn , соответствующих собственным значениям λ12,...,λn . Если в пространстве Ln определена операция скалярного произве-

дения (т.е. Ln - евклидово пространство), то собственные векторы x1, x2 ,..., xn

образуют ортогональную систему, нормировав которую мы получим ортонормированный базис пространства Ln . В этом базисе матрица оператора A имеет

простейший – канонический – вид:

26

 

 

 

25

 

www.studhelp.info

 

æl1

0

0 K 0

ö

~

ç

0

l2

0K 0

÷

ç

÷

A = ç

 

 

 

÷.

 

ç.................

÷

 

ç

0

0

 

÷

 

è

0K ln ø

~

На главной диагонали матрицы Aстоят собственные значения матрицы A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

Если же матрица оператора

A не симметрическая, то в пространстве

Ln су-

ществует базис, составленный из собственных векторов оператора A,

в кото-

ром матрица этого оператора имеет клеточно-диагональный вид:

n

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

0

 

 

ö

i

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

A = ç

 

 

 

 

O

 

÷

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

Lø

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

ç

 

 

i

 

 

 

E

÷

 

 

 

 

 

ç

 

 

0

 

 

P÷

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждая клетка на диагонали носит название клетки Жордана и имеет вид

 

æλ

1

0 K 0

ö

 

ç

λi

 

÷

 

ç0

1K 0

÷

 

ç.................

÷

 

ç

 

0Kλi 1

÷

 

ç0

0

÷

 

ç

0

0K λi

÷

 

è0

ø

На главной диагонали в клетке Жордана стоит собственное значение λi опе-

ратора

UDH

 

A. Над главной диагональю расположена диагональ из единиц, а все ос-

тальные элементы матрицыTравны нулю.

 

Заметим, что если приходится иметь дело с линейными преобразованиями,

то, конечно, рассматривать их удобнее в каноническом базисе из собственных

 

 

S

 

 

 

 

 

векторов.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем примеры линейных операторов, встречающихся в различных об-

www

 

 

+∞

 

 

 

 

ластях математики.

 

 

 

 

 

1) Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так:

L(y) º a

0

(x) y(n)

+ a (x)y(n−1) + ... + a

n−1

(x) y'+a

n

(x)y = f . (3.2)

 

 

 

1

 

 

Оператор L, преобразующий функцию y(x)

в функцию f (x) , линеен.

2) В операционном исчислении мы имели дело с оператором Лапласа

ò f (t)ept dt = F( p) ,

0

который является линейным. 3) Интегральные операторы

27

26 www.studhelp.info

x

J[ y(x)] ≡ òa(t) y(t) dt = f (x) ;

0

b

J[ y(x)] ≡ a(x) y(x) + ò K(x,t) y(t) dt = f (x)

a

линейны.

4) В математической физике часто приходится иметь дело с линейными дифференциальными операторами функций многих переменных. Рассмотрим

примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

а) уравнение теплопроводности

 

u

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[u(x,t)] ≡

a2

= g(x,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

x

2

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

описывает распределение тепла в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стержне, расположенном на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

l

 

x

отрезке [0,l] оси х со временем t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

б) Уравнение колебаний струны имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[u(x,t)] ≡

2u

a2

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

x

2

 

= g(x, t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом предполагается,

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x, t)

 

 

 

 

 

 

 

что в спокойном состоянии струна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

занимает отрезок [0,l] оси Ox ,

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x

 

l

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а в момент времени t

– положение u(x, t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Колебания круглой мембраны с закрепленным краем

 

 

 

 

 

 

описываются уравнением

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

D[u(x, y)] ≡

2u

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

x

2 +

2

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

Если расположение точек края Γ мембраны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задается функцией ϕ(x, y) , то среди всех решений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

указанного уравнения выбирается такое, что u(x,t) Γ = ϕ(x, y) .

В примерах а) – в) оператор D линеен.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений показано, что мно-

жество решений однородного дифференциального уравнения

 

L(y) ≡ a

0

(x) y(n) + a (x) y(n−1)

+ ... + a

n−1

(x)y'+a

n

(x) y = 0 ,

(3.3)

 

1

 

 

 

 

соответствующего линейному неоднородному уравнению (3.2), образует линейное пространство. И если известно n линейно независимых частных реше- ний

y1(x), y2(x),..., yn (x) ,

(3.4)

называемых собственными функциями оператора L , то общее решение уравнения (3.3) представляется в виде:

28

27 www.studhelp.info

y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) .

где c1, c2 ,...,cn – произвольные постоянные.

Другими словами, функции (3.4) образуют базис пространства решений уравнения (3.3). Аналогичным свойством обладают и собственные функции других дифференциальных и интегральных операторов

Рассмотрим некоторые простейшие уравнения математической физики и познакомимся с методом Фурье, позволяющим в каждом конкретном случае най-

ти собственные функции и построить общее решение.

3.2. Обзор задач математической физики. Метод Фурьеnfo

Математическая физика – это теория математических моделей.iфизических процессов. Многие из них описываются дифференциальными уравнениями в

частных производных. Поэтому эти уравнения и носят название уравнений ма-

тематической физики. Они подразделяются на три класса.

 

I. Уравнения колебаний (гиперболический тип)

 

P

 

 

 

r

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

(3.4)

 

 

t 2

= div( p grad u) - qu + g(x, y, z,t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

описывают звуковые и электромагнитные колебания, колебания струны, стерж-

ня, мембраны и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если r =1, p = a2 = const, q = 0, то (3.4) переписывается так:

 

 

2

u

= a

æ

2

u

+

2

u +

2

 

ö

 

 

(3.5)

 

 

 

2 ç

 

 

 

 

 

u ÷ + f (x, y, z, t),

 

t

2

 

 

 

ç

x

 

2

y

2

z

2

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

144424443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

В (3.5) u – это оператор Лапласа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Уравнение диффузии (параболическийUDHтип)

 

 

 

.

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T= div( p grad u) - qu + g(x, y, z, t) ,

 

(3.6)

 

 

 

r

 

 

www

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

описывает процессы диффузии газов, распределения тепла в пространстве.

Если r =1, p = a2 = const, q = 0, то получаем уравнение теплопроводности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

= a2Du + g(x, y, z,t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Для стационарных (не зависящих от времени) процессов

уравнения (3.4)

и (3.6) превращаются в уравнения эллиптического типа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = div( p grad u) − qu + g(x, y, z, t) .

 

Если ρ = 1, q = 0, то это уравнение Пуассона

u = −g(x, y, z,t) .

Если еще и g ≡ 0, то имеем уравнение Лапласа u = 0.

29

28 www.studhelp.info

Каждое из названных уравнений имеет бесконечно много решений. Для описания реального процесса надо задать начальные условия и краевые условия на границе области, в которой рассматривается процесс. Поэтому такие задачи называются краевыми.

Рассмотрим решение задачи (3.5) в одномерном случае ( y = z = 0 ):

 

2u

= a

2

2u

+ g(x, t) .

 

t 2

 

x2

fo

 

 

 

Задача 1. Если a = 0 ,то уравнение (3.5) превращается в обыкновенное диф-

ференциальное уравнение. Напомним, как решается краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения (такие задачи рассматривались в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений).

с определителем -2chа ¹ 0. В этом случае имеем единственное нулевое реше-

пº1. На отрезке [1,2] оси ОХ найти решение краевой задачи

n

 

 

 

 

y''+λy = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(3.7)

 

 

 

 

y(1) = 0, y'(2) =

0.

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D Для уравнения (3.7) характеристическое уравнение имеет вид

k 2 + λ = 0.

Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметраPl.

 

1) λ = −a2 < 0. Тогда k = ±a

и общее решение уравнения (3.7)

имеет вид

y = c eax + c

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

2

eax . Из граничных условий получаем однородную систему

1

ì

 

 

a

 

aE

 

 

 

 

 

 

 

+ c2e

 

 

 

 

 

ïy(1) = c1e

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

2a

 

−2a

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a(c1e - c2e

 

) = 0,

 

 

 

 

 

îy'(2)

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

ние.

 

T

 

 

 

y = c1 + c2x . Гра-

 

2) l = 0. Тогда общее решение уравнения (3.7) имеет вид

ничные условия определяют c1 = 0, c2 = 0, т.е. нулевое решение.

 

 

 

 

 

3) λ = a2 > 0.

Sí

 

а решение

y = c cosax + c

 

sin ax . Из

 

В этом случае k = ±ia ,

2

.

 

 

 

1

 

 

 

 

граничных условий получаем однородную систему

 

 

 

 

 

 

www

 

ìy(1) = c1 cos a + c2 sin a = 0,

 

 

 

 

 

 

 

æπ

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îy'(2) = a(-c1 sin 2a + c2 cos 2a) = 0.

 

 

 

 

 

 

Определитель системы cosacos2a + sin asin 2a = cosa , вообще говоря,

отли-

чен от нуля. Но если cos a = 0 , т.е. a = π

+ pn,n = 0,1,2,..., то из первого уравне-

 

 

 

 

2

 

 

 

æ

π

 

ö

ния системы получаем, что c2 = 0

и, следовательно,

 

 

 

yn (x) = an cosç

2

+ πn÷x .

 

Используя принцип суперпозиции, выписываем общее решение:

è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

y = åan

cosç

+ πn÷x .

 

 

 

 

 

 

 

n=1

è 2

ø

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Рассматривается уравнение

колебаний струны без воздействия

внешней силы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

2u

= a2 2u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.8)

и начальные условия

 

 

 

 

t 2

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = f (x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0)

= ϕ(x), x R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.10)

 

 

u(x,t) =

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

òϕ(τ ) dτ

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

1 [f (x + at) + f (x at)]+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (3.8) описывает свободные колебания

бесконечной однородной

струны. Условия (3.9) и (3.10) задают соответственно

начальное положение и

начальную скорость точек струны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение u = u(x,t) задачи (3.8) – (3.10) находится по формуле ДАламбера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+at

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

xat

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

пº2. Дано:

2u = a2 2u

 

 

 

 

 

 

 

L

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, u(x,0) = x,

u(x,0)

= sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

x2

 

 

 

E

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти u(x,t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечаем, что в нашем случае

f (x) = x,ϕ(x) = sin x. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

f (x + at) = x + at, f (x at) = x at,

f (x + at) + f (x at)

=

x + at + x at

= x,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x+at

x+at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ=x+at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òϕ(τ)dτ =

òsin τdτ = − cos τ

 

= cos(x

at) − cos(x

+ at) = 2sin x sin at .

 

 

 

 

τ=xat

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xat

xat

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xsin at

 

 

 

 

 

Ответ записываем по формуле Д’Аламбера: u(x,t) = x +

. ▲

 

 

 

 

 

Задача 3. Уравнение свободныхUDHколебаний струны

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2u

= a2

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.11)

 

 

 

 

 

 

 

t 2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теперь будем.рассматриватьS

для случая, когда струна в спокойном состоянии

занимает отрезок [0,l] оси Ox .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для однозначного решения данной задачи кроме начальных условий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = f (x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.12)

 

 

 

 

 

 

u

(x,0) = ϕ(x), x [0,l]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.13)

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нужно задать еще краевые условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(0,t) = u(l,t) = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.14)

означающие, что концы струны закреплены. Эта задача называется краевой за-

дачей Коши.

Фурье предложил искать решения задачи (3.11) – (3.14) в виде ряда: u(x,t) = X (x)T (t) .

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

Тогда

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= X (x)T ' '(t),

 

 

= X ''(x)T (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и уравнение (3.11) перепишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (x)T ''(t) = a2 X ''(x)T (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, разделяя переменные

 

 

 

T ''(t)

 

 

 

X ''(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2T (t)

 

X (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В последнем равенстве слева стоит функция от t , справа – функция от x . Так

как t и x

– независимые переменные, то равенство возможно лишь в том слу-

чае, когда левая и правая части являются вещественными числами:

 

fo

 

 

 

 

 

 

T ''(t)

X ''(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

a2T (t) =

 

X (x) = -λ,

 

λ = const ÎR. .

 

 

 

В результате для нахождения функций

X (x)

 

и T (t)

получаем систему диф-

ференциальных уравнений:

T ''(t) + a2lT (t) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

(3.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ''(x) + lX (x) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

(3.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим вначале

уравнение

(3.16).

В силу

 

нулевых

краевых условий

(3.14) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(0,t) = X (0)T (t) = 0 Þ X (0) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(l,t) = X (l)T (t) = 0 Þ X (l) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.18)

 

Анализ (3.16), (3.17) и (3.18) приводит к выводу, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X n (x) = sin

πn

x , ln =

 

æ pn ö

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

ç

 

 

 

 

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è l

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда (3.15) имеет решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

aπn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aπn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tn (t) = An cos

 

 

 

 

 

 

t + Bn sin

 

 

 

 

 

 

 

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, мы нашлиSподходящие частные решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

ö

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

 

u

n

(x,t) =

ç A

 

cos

 

 

 

 

 

 

t

+ B

n

sin

 

 

 

 

 

 

t

÷ sin

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скомбинируем из них общее решение в виде ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

ö

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

 

u(x,t) = å

ç An cos

 

 

 

t

 

+ Bn sin

 

 

 

 

 

 

t

÷ sin

 

 

 

x .

 

 

(3.19)

 

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения чисел An и Bn

 

почленно продифференцируем ряд (3.19) по

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переменной t :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

æ

 

 

 

apn

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

apn

 

ö

 

pn

 

 

 

 

 

(x, t) = å

ç-

An

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

t + Bn

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

t

÷ sin

 

x . (3.20)

 

t

 

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l

 

l

 

 

n=1

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]