Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт информационных технологий БГУИР

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.02.2016

Размер:

956.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

21	www.studhelp.info

Теперь, проектируя оба вектора на вещественную ось, получим решение уравнения (2.9), а проектируя на мнимую ось, найдем решение уравнения (2.10). Можно подобрать параметры цепи L и R так, чтобы угол α был равен,

например, 90°, а модуль

принимал заданное значение.

R2+L2ω2

II случай. Пусть подаваемое в цепь напряжение

f (t) есть периодическая

функция периода T = 2l . Тогда его можно представить рядом Фурье

∞

f (t) =

+ åan cos

t + bn sin

и, воспользовавшись формулами Эйлера

nπ

einπt / l

− e− πt / l

nπ

einπt / l + e−inπt / l

cos

t =

, sin

.2i

записать в комплексной форме

∞

f (t) =

einπt / l

n=−∞

UDH

Уравнение (2.11) перепишется в виде:

∞

L di

+ Ri =

åcneinπt / l .

=−∞

Учитывая предыдущие рассуждения, частное решение запишем в виде

∞

e−iα

× einπt / l ,

np ö

i(t) = å

a = argç R + iL

÷ .

(np / l)

n=−∞ R

+ L

III случай. Пусть теперь подаваемое в цепь напряжение f (t) можно пред-

ставить интегралом ФурьеTв комплексной форме

www

f (t) =

∞ F(ω)eiωt dω

(2.13)

L di + Ri = 1

∞ F (ω) eiωt dω .

2π −∞ò

Здесь F( ) – спектральная плотность нашей функции f (t) :

∞

F(ω) = ò f (x) e−iω xdx .

(2.14)

−∞

Тогда уравнение (2.11) перепишется в виде

−∞ò

2π

Учитывая предыдущие рассуждения, по аналогии выписываем частное решение

www.studhelp.info

∞

F(w) ×e-ia

×eiwt dw.

i(t) = ò

R2 + L2w2

-¥

Формула (2.14) демонстрирует прямое преобразование Фурье, а формула

(2.13) – обратное преобразование Фурье.

Напряжение

f (t) , подаваемое в электрическую цепь, можно назвать сигна-

лом. Из рассуждений, проведенных выше, следует, что сигнал имеет две мате-

матические характеристики:

f (t)

– временная вещественная и

F(ω) – спек-

сигнал

тральная комплексная:

f (t) - временная вещественная

f (ω) - спектральная комплексная

2.3. Преобразование Фурье

В формуле (2.14) частота

UDH

ω измеряется в радианах. Введем в рассмотрение

вместо ω частоту

, выраженную в герцах. Величины

ω и

связаны соот-

ношением

ω = 2πω1,

где ω – число радиан в секунду,

ω1 – число полных кругов в секунду. Тогда

обе формулы (2.14) и (2.13) прямого и обратного преобразований Фурье будут

выглядеть одинаково:

∞

f (t) =

òF(ω1)ei2πω1 t dω , F(ω1) = ò f (x)e−i2πω1 xdx

−∞

wwwî

−∞

Далее будем иметь дело только с частотой, выраженной в герцах. Поэтому

нижний индекс в

1 будем опускать.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Является ли ортонормированной система функций

ì2n / 2 ,

если x Î[2−n ,2

−n+1 ],

fn (x) = í

0, при

других

x Î[0,1],

Задача 2. Разложить в ряд Фурье по базису {en = e2πinx }функцию

а) f (x) = sgn(2x − 1) ;

б) f (x) = eλx .

www.studhelp.info

∞

e2πinx ; б)

∞

eλ

-1

2πinx

Отв.: а) å

, λ ¹ 2πin.

λ -

2πin

k=0iπ (2k +

n=0

Задача 3. Найти преобразование Фурье функций:

ì1,| x |£1,

б)

f (x) = e−βx , x ³ 0, β > 0 и f (−x) = f (x) .

а) f (x) = í

î0,| x |>1;

Отв.: а) F(ω) =

sin 2πω

; б) F(ω) =

2β

β 2 + 4π 2ω 2

πω

§ 3. Линейные отображения, функционалы, операторы. Уравнения в опе-

раторной форме. Простейшие задачи математической физики

3.1. Линейные отображения

над одним

Пусть даны два конечномерных линейных пространства Ln и Lm

и тем же числовым полем Р.

n →

Определение 3.1. Говорят, что оператор

A :

m , ставящий каждому

вектору

Î L

в соответствие некоторый вектор

LÎ L , осуществляет линей-

ное отображение пространства Ln на пространство Lm , если:

"c Î P;

1º. A(cx) = cA(x) для

2º. A(x1 + x2 ) = A(x1) + A(x2 ) для " x1, x2 Î Ln .

Пусть в Ln выбран базис {e1,e2,...,en}, а в Lm – базис {e'1, e'2 ,...,e'm}. Тогда

для "

Î Ln и "

Î Lm имеем представление

= x1

+ x2

+...+ xn

= y

+ y

+ ... + y

UDH1 1 2 2

Оператор A задан для любого вектора

из пространства Ln . Если в качест-

ве вектора x поочередно брать базисные векторы e1, e2 ,...,en , то с учетом ли-

нейности A получимS:

www

A(e1) = y1

= a11e'1 + a21e'2 + ... + am1e'm ;

) =

= a12

+ a22

+ ... + am2

;

e'1

e'2

e'm

(3.1)

............................................................

A(en ) = yn = a1n e'1 + a2n e'2 + ... + amn e'm .

Умножим уравнения системы (3.1) соответственно на x1, x2 ,...xn и найдем их сумму. Так как оператор A линеен, то:

24 www.studhelp.info

A(x1

+ x2

+ ... + xn

) = (a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )

e'1

14444244443

144442444443

+ (a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn )

+ ... + (am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn )

e'2

e'n

1444442444443

В правой части полученного равенства записан вектор

, представленный в

виде линейной комбинации по базисным векторам.

Из последнего равенства легко следует, что имеют место соотношения

y1 = a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ,

y2 = a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ,

...............................................

= a

+ a

+ ... + a

которые удобно записывать в матричной форме

Y = AX ,

æ y

æ x

æa Ka

где

Y =

ç y2

X =

ç x2

A =

ç..............

, Y, X –

столбцовые матрицы, а

ç......a

.....

A = (aij )

è ym ø

è xm

èam1 Kamn

– матрица порядка m × n.

Итак, если в пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждому

оператору A можно поставить в соответствие матрицу A. Пусть A : Ln → Ln – линейный оператор.

Определение 3.2. Число λ называется собственным значением оператора A,

если уравнение

UDH

A(x) = λ x

имеет ненулевое решение

x Ln . Вектор x при этом называется собственным

вектором оператора A.

Оказывается., что у любого линейного оператора A с симметрической матри-

www

цей, действующего из пространства Ln в Ln , существует n линейно независимых векторов x1, x2 ,..., xn , соответствующих собственным значениям λ1,λ2,...,λn . Если в пространстве Ln определена операция скалярного произве-

дения (т.е. Ln - евклидово пространство), то собственные векторы x1, x2 ,..., xn

образуют ортогональную систему, нормировав которую мы получим ортонормированный базис пространства Ln . В этом базисе матрица оператора A имеет

простейший – канонический – вид:

			25		www.studhelp.info
	æl1		0	0 K 0	ö
~	ç	0	l2	0K 0	÷
~	ç	0	l2	0K 0	÷
A = ç					÷.
	ç.................				÷
	ç	0	0		÷
	è	0	0	0K ln ø

На главной диагонали матрицы Aстоят собственные значения матрицы A.

Если же матрица оператора

A не симметрическая, то в пространстве

Ln су-

ществует базис, составленный из собственных векторов оператора A,

в кото-

ром матрица этого оператора имеет клеточно-диагональный вид:

A = ç

Lø

P÷

Каждая клетка на диагонали носит название клетки Жордана и имеет вид

	æλ	1	0 K 0	ö
	ç	λi		÷
	ç0	λi	1K 0	÷
	ç.................			÷
	ç		0Kλi 1	÷
	ç0	0	0Kλi 1	÷
	ç	0	0K λi	÷
	è0	0	0K λi	ø
На главной диагонали в клетке Жордана стоит собственное значение λi опе-
ратора	UDH
ратора	A. Над главной диагональю расположена диагональ из единиц, а все ос-
тальные элементы матрицыTравны нулю.
Заметим, что если приходится иметь дело с линейными преобразованиями,

то, конечно, рассматривать их удобнее в каноническом базисе из собственных
		S
векторов.	.
векторов.
Приведем примеры линейных операторов, встречающихся в различных об-
www				+∞
ластях математики.
1) Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так:
L(y) º a		0	(x) y(n)	+ a (x)y(n−1) + ... + a	n−1	(x) y'+a	n	(x)y = f . (3.2)
		0		1	n−1		n
Оператор L, преобразующий функцию y(x)					в функцию f (x) , линеен.

2) В операционном исчислении мы имели дело с оператором Лапласа

ò f (t)e− pt dt = F( p) ,

который является линейным. 3) Интегральные операторы

26 www.studhelp.info

J[ y(x)] ≡ òa(t) y(t) dt = f (x) ;

J[ y(x)] ≡ a(x) y(x) + ò K(x,t) y(t) dt = f (x)

линейны.

4) В математической физике часто приходится иметь дело с линейными дифференциальными операторами функций многих переменных. Рассмотрим

примеры.

а) уравнение теплопроводности

∂u

∂

D[u(x,t)] ≡

− a2

= g(x,t)

∂t

∂x

описывает распределение тепла в

стержне, расположенном на

отрезке [0,l] оси х со временем t.

б) Уравнение колебаний струны имеет вид

D[u(x,t)] ≡

∂ 2u

− a2

∂2u

∂t

∂x

= g(x, t) .

При этом предполагается,

u(x, t)

что в спокойном состоянии струна

занимает отрезок [0,l] оси Ox ,

а в момент времени t

– положение u(x, t) .

в) Колебания круглой мембраны с закрепленным краем

описываются уравнением

UDH

D[u(x, y)] ≡

∂2u

∂ 2u

∂x

2 +

= 0.

∂yT

Если расположение точек края Γ мембраны

задается функцией ϕ(x, y) , то среди всех решений

www

указанного уравнения выбирается такое, что u(x,t) Γ = ϕ(x, y) .

В примерах а) – в) оператор D линеен.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений показано, что мно-

жество решений однородного дифференциального уравнения
L(y) ≡ a	0	(x) y(n) + a (x) y(n−1)	+ ... + a	n−1	(x)y'+a	n	(x) y = 0 ,	(3.3)
	0	1		n−1		n

соответствующего линейному неоднородному уравнению (3.2), образует линейное пространство. И если известно n линейно независимых частных реше- ний

y1(x), y2(x),..., yn (x) ,

(3.4)

называемых собственными функциями оператора L , то общее решение уравнения (3.3) представляется в виде:

27 www.studhelp.info

y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) .

где c1, c2 ,...,cn – произвольные постоянные.

Другими словами, функции (3.4) образуют базис пространства решений уравнения (3.3). Аналогичным свойством обладают и собственные функции других дифференциальных и интегральных операторов

Рассмотрим некоторые простейшие уравнения математической физики и познакомимся с методом Фурье, позволяющим в каждом конкретном случае най-

ти собственные функции и построить общее решение.

3.2. Обзор задач математической физики. Метод Фурьеnfo

Математическая физика – это теория математических моделей.iфизических процессов. Многие из них описываются дифференциальными уравнениями в

частных производных. Поэтому эти уравнения и носят название уравнений ма-

тематической физики. Они подразделяются на три класса.

I. Уравнения колебаний (гиперболический тип)

¶2u

(3.4)

¶t 2

= div( p grad u) - qu + g(x, y, z,t) ,

описывают звуковые и электромагнитные колебания, колебания струны, стерж-

ня, мембраны и т.д.

Если r =1, p = a2 = const, q = 0, то (3.4) переписывается так:

= a

+ ¶

u +

(3.5)

2 ç

u ÷ + f (x, y, z, t),

¶t

¶x

¶y

¶z

144424443

В (3.5) u – это оператор Лапласа.

II. Уравнение диффузии (параболическийUDHтип)

∂u

T= div( p grad u) - qu + g(x, y, z, t) ,

(3.6)

www

¶t

описывает процессы диффузии газов, распределения тепла в пространстве.

Если r =1, p = a2 = const, q = 0, то получаем уравнение теплопроводности

∂u

= a2Du + g(x, y, z,t).

¶t

III. Для стационарных (не зависящих от времени) процессов

уравнения (3.4)

и (3.6) превращаются в уравнения эллиптического типа

0 = div( p grad u) − qu + g(x, y, z, t) .

Если ρ = 1, q = 0, то это уравнение Пуассона

u = −g(x, y, z,t) .

Если еще и g ≡ 0, то имеем уравнение Лапласа u = 0.

28 www.studhelp.info

Каждое из названных уравнений имеет бесконечно много решений. Для описания реального процесса надо задать начальные условия и краевые условия на границе области, в которой рассматривается процесс. Поэтому такие задачи называются краевыми.

Рассмотрим решение задачи (3.5) в одномерном случае ( y = z = 0 ):
¶2u	= a	2	¶2u	+ g(x, t) .
¶t 2			¶x2		fo

Задача 1. Если a = 0 ,то уравнение (3.5) превращается в обыкновенное диф-

ференциальное уравнение. Напомним, как решается краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения (такие задачи рассматривались в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений).

с определителем -2chа ¹ 0. В этом случае имеем единственное нулевое реше-

пº1. На отрезке [1,2] оси ОХ найти решение краевой задачи

y''+λy = 0,

i(3.7)

y(1) = 0, y'(2) =

D Для уравнения (3.7) характеристическое уравнение имеет вид

k 2 + λ = 0.

Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметраPl.

1) λ = −a2 < 0. Тогда k = ±a

и общее решение уравнения (3.7)

имеет вид

y = c eax + c

e−ax . Из граничных условий получаем однородную систему

−aE

+ c2e

ïy(1) = c1e

= 0,

−2a

= a(c1e - c2e

) = 0,

îy'(2)

UDH

ние.			T				y = c1 + c2x . Гра-
	2) l = 0. Тогда общее решение уравнения (3.7) имеет вид						y = c1 + c2x . Гра-
ничные условия определяют c1 = 0, c2 = 0, т.е. нулевое решение.
	3) λ = a2 > 0.	Sí			а решение	y = c cosax + c			sin ax . Из
	3) λ = a2 > 0.	В этом случае k = ±ia ,			а решение	y = c cosax + c		2	sin ax . Из
.						1		2
граничных условий получаем однородную систему
www			ìy(1) = c1 cos a + c2 sin a = 0,
www			∞	æπ	ö
			îy'(2) = a(-c1 sin 2a + c2 cos 2a) = 0.
	Определитель системы cosacos2a + sin asin 2a = cosa , вообще говоря,										отли-
чен от нуля. Но если cos a = 0 , т.е. a = π					+ pn,n = 0,1,2,..., то из первого уравне-
				2				æ	π		ö
ния системы получаем, что c2 = 0				и, следовательно,				æ	π		ö
ния системы получаем, что c2 = 0				и, следовательно,		yn (x) = an cosç			2	+ πn÷x .
	Используя принцип суперпозиции, выписываем общее решение:							è	2		ø
	Используя принцип суперпозиции, выписываем общее решение:
			y = åan	cosç	+ πn÷x .					▲
			n=1	è 2	ø
	Задача 2. Рассматривается уравнение				колебаний струны без воздействия
внешней силы

www.studhelp.info

∂2u

= a2 ∂ 2u .

(3.8)

и начальные условия

∂t 2

∂x2

u(x,0) = f (x) ,

(3.9)

∂u(x,0)

= ϕ(x), x R.

(3.10)

u(x,t) =

∂t

òϕ(τ ) dτ

1 [f (x + at) + f (x − at)]+ 1

Уравнение (3.8) описывает свободные колебания

бесконечной однородной

струны. Условия (3.9) и (3.10) задают соответственно

начальное положение и

начальную скорость точек струны.

Решение u = u(x,t) задачи (3.8) – (3.10) находится по формуле Д’Аламбера:

x+at

x−at

пº2. Дано:

∂2u = a2 ∂ 2u

, u(x,0) = x,

∂u(x,0)

= sin x.

∂t 2

∂x2

∂t

Найти u(x,t) .

Замечаем, что в нашем случае

f (x) = x,ϕ(x) = sin x. Тогда

f (x + at) = x + at, f (x − at) = x − at,

f (x + at) + f (x − at)

x + at + x − at

= x,

x+at

τ=x+at

òϕ(τ)dτ =

òsin τdτ = − cos τ

= cos(x

− at) − cos(x

+ at) = 2sin x sin at .

τ=x−at

x−at

sin xsin at

Ответ записываем по формуле Д’Аламбера: u(x,t) = x +

. ▲

Задача 3. Уравнение свободныхUDHколебаний струны

T∂2u

= a2

∂ 2u

(3.11)

∂t 2

∂x2

www

теперь будем.рассматриватьS

для случая, когда струна в спокойном состоянии

занимает отрезок [0,l] оси Ox .

Для однозначного решения данной задачи кроме начальных условий

u(x,0) = f (x) ,

(3.12)

∂u

(x,0) = ϕ(x), x [0,l]

(3.13)

∂t

нужно задать еще краевые условия:

u(0,t) = u(l,t) = 0 ,

(3.14)

означающие, что концы струны закреплены. Эта задача называется краевой за-

дачей Коши.

Фурье предложил искать решения задачи (3.11) – (3.14) в виде ряда: u(x,t) = X (x)T (t) .

www.studhelp.info

Тогда

¶2u

= X (x)T ' '(t),

= X ''(x)T (t)

¶t 2

¶x2

и уравнение (3.11) перепишется в виде

X (x)T ''(t) = a2 X ''(x)T (t)

или, разделяя переменные

T ''(t)

X ''(x)

a2T (t)

X (x)

В последнем равенстве слева стоит функция от t , справа – функция от x . Так

как t и x

– независимые переменные, то равенство возможно лишь в том слу-

чае, когда левая и правая части являются вещественными числами:

T ''(t)

X ''(x)

a2T (t) =

X (x) = -λ,

λ = const ÎR. .

В результате для нахождения функций

X (x)

и T (t)

получаем систему диф-

ференциальных уравнений:

T ''(t) + a2lT (t) = 0,

(3.15)

X ''(x) + lX (x) = 0 .

(3.16)

Рассмотрим вначале

уравнение

(3.16).

В силу

нулевых

краевых условий

(3.14) имеем:

u(0,t) = X (0)T (t) = 0 Þ X (0) = 0,

(3.17)

u(l,t) = X (l)T (t) = 0 Þ X (l) = 0 .

(3.18)

Анализ (3.16), (3.17) и (3.18) приводит к выводу, что

X n (x) = sin

πn

x , ln =

æ pn ö

÷ .

è l

UDH

Тогда (3.15) имеет решение

aπn

Tn (t) = An cos

t + Bn sin

t .

Итак, мы нашлиSподходящие частные решения

apn

(x,t) =

ç A

cos

+ B

sin

÷ sin

x .

è n

Скомбинируем из них общее решение в виде ряда

∞

apn

u(x,t) = å

ç An cos

+ Bn sin

÷ sin

x .

(3.19)

n=1

Для нахождения чисел An и Bn

почленно продифференцируем ряд (3.19) по

www

переменной t :

∞

¶u

apn

(x, t) = å

ç-

sin

t + Bn

cos

÷ sin

x . (3.20)

¶t

n=1

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.02.20163.66 Mб9Lc2_2015_ПДС.pdf
#
24.02.2016824.37 Кб34metodichka_fizika_2_semestr.pdf
#
24.02.2016911.42 Кб8montag.pdf
#
24.02.201638.81 Кб36ozi_gavrilenkov481971_6.docx
#
24.02.20164.6 Mб12PADS_Eval_Guide.pdf
#
24.02.2016956.88 Кб11SMMiF_bsuir.pdf
#
24.02.20161.7 Mб10TM_Kontrol.pdf
#
24.02.20166.53 Mб143TM_Lectures.pdf
#
24.02.2016394.59 Кб10TM_Work_Plan.pdf
#
24.02.201647.62 Кб38Topics(вечерники).doc
#
24.02.2016540.29 Кб32tx_29 ТКС.docx