Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
956.88 Кб
Скачать

 

 

 

 

91

www.studhelp.info

Но

 

ìy = c1

- lcosj

– это параметрические уравнения

окружности

 

í

+ lsin j

 

 

îx = c2

 

 

(x - c

2

)2 + (y - c )2 = l2

. При наших краевых условиях получим

 

 

 

1

 

 

x2 + y2 = a2

– уравнение окружности Дидоны. ▲

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

fo

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in

Задача 1. Найти допустимые экстремали функционала

 

 

 

 

 

1

 

 

 

. .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

J (x) = ò(12tx + x x+ (x)

 

)dt при условиях x(0) =1, x(1) = 4

 

Отв.: x = t

3

+ 2t

+ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

Задача 2. Найти экстремали функционала J (x) = et

1 + x

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos(c et

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Отв.: x = x(t) = c

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: x = 0.

 

 

2

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Среди кривых, соединяющих две точки A = (ch a, x1)

и

 

B = (ch b, x2 )

найти ту, которая при вращении вокруг оси t образует поверх-

ность наименьшей площади.

 

 

 

Отв.: x = ch t.

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Найти экстремали функционалa:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J (x) = ò(x + 2x x+ (x)2 )dt, x(0) = 0, x(1) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и B(1,0) и ми-

Задача 5. Найти кривую, которая проходит через точки A(0,1)

www

 

 

 

 

 

1

 

 

. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нимизирует функционал.

J (x) = ò

 

 

x

dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 8. Приложения матриц к системам связи

Часто возникает необходимость использования матриц, разбитых (разложенных) на прямоугольные части или блоки. Например, m × n -матрицу

93

92 www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æa

 

 

a

 

K a

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

11

 

 

12

 

 

 

 

1n

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

ça21

 

 

a22

 

K a2n

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

çKKKKKKKK

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èam1

 

am2 K amn ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно разбить на 4 блока следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æa

 

 

 

 

a

K

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

K a

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç 11

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

1k

 

 

 

1k +1

 

 

 

 

 

1n

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ça

21

 

 

 

a22 K a2k

 

 

a2k +1

 

 

K a2n

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

æ

A

 

 

 

A

 

ö

 

çKKKKKKKKKK

 

 

 

KKKKKKKKK÷

 

 

 

 

 

A = ça

l1

 

 

 

a

l2

K a

lk

 

 

 

a

lk +1

 

 

 

K a

ln

 

÷

= ç

11

 

 

 

12

÷

,

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

ç

A

 

 

 

A

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

21

 

 

 

22

ø

 

çal +11 al + 22 K al +kn

 

 

al +1k +1 K al +1n ÷

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

n

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

çKKKKKKKKKK

 

 

 

KKKKKKKKK÷

i

 

 

 

 

èam1

 

 

 

am2 K amk

 

 

amk +1

 

 

K amn ø

.

 

 

 

 

 

где матрицы-блоки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PK a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æa

 

 

 

a

 

 

K a

 

 

ö

 

 

 

 

 

æa

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

ç

11

 

 

12

 

 

 

 

1k

÷

 

 

 

 

 

ç

 

1k

+1

 

 

 

1n ÷

 

 

 

A =

ç

a

21

 

a

22

K

 

a

2k

÷

 

 

 

 

=

ç

a

 

 

 

K a

 

 

÷

,

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, A

 

 

L2k +1

 

 

 

2n

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

12

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

çKKKKKKKKKK

÷

 

 

 

 

 

çKKKKKKK

÷

 

 

 

 

 

ç

a

 

 

 

a

 

 

 

K

 

 

a

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

K a

 

÷

 

 

 

 

 

è

l1

 

l2

 

 

lk

ø

 

 

 

Ea

+1

 

ln ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

lk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æa

l +11

a

l +

22

 

K a

l +kn

ö

 

 

 

æa

l +1k +1

K a

 

 

 

ö

 

 

 

A21 =

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

A

ç

 

 

 

l +1n ÷

 

 

 

çKKKKKKKKKK

 

÷,

 

= çKKKKKKKKK÷

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

am2 K

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

èam1

 

 

 

 

 

amk ø

 

 

 

èamk +1

 

K amn ø

 

 

 

имеют соответственноTразмерностиUDHl × k,l × (n k),(m l) × k,(m l) × (n k) . Таким образом, с помощью горизонтальных и вертикальных линий m × n -

матрицу A можно рассечь на прямоугольные блоки.

Действия над блочными матрицами производятся по тем же формальным

правилам, что и в случае матриц с числовыми элементами. При этом, естест-

www

 

 

 

 

и B

= (B ) матрицы A и B и соответст-

венно, при сложенииSматриц A = (A )

.

 

ij

 

ij

 

 

вующие блоки Aij и Bij

должны быть одинаковой размерности. При проведе-

нии операции умножения AB = C = (Cij ) матриц

 

 

 

 

æ

A

A K A

ö

æ B11

K B1p

ö

 

A =

ç

11

12

1l

÷

ç

 

÷

 

çKKKKKKKK ÷ и B = çKKKKKKKK÷

 

 

ç

A

A

K A

÷

ç

K B

÷

 

 

ç B

÷

 

 

è

k1

k2

kl ø

è l1

lp

ø

необходимо, чтобы блоки Aik

и Bki были согласованными. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

æ

l

ö

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

÷

 

 

 

 

 

AB = C = (Cij ) = ç

åaik bkj ÷.

 

 

 

 

 

 

 

è k =1

ø

 

94

93

www.studhelp.info

Многочлен от матрицы. Пусть A n × n-матрица с постоянными коэффициентами, а

 

 

 

a0λn + a1λn−1 + ... + an−1λ + an = Pn (λ)

 

– некоторый многочлен. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (A) = a

0

An + a An−1 + ... + a

n−1

A + a

n

E ,

 

 

 

n

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

где E – единичная матрица, называется многочленом от матрицы A. Всякая

n × n-матрица A называется корнем многочлена Pn (λ) , если Pn (A) = 0, где 0 –

нулевая n × n-матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

Теорема 8.1 (Кели-Гамильтона). Всякая матрица является корнем своего

характеристического многочлена.

 

 

 

 

При построении обратнойfo

Пусть

λn + a λn−1 + ... + a

n

−1

λ + a

n

=| λE A |.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицы A

−1

находится так называемая присоединенная или iсоюзная матрица

 

B , (i, j) -ый элемент

которой равен алгебраическому дополнению.

элемента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

(a ji ) , причем матрица B удовлетворяет условию AB =| A | E . Это соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

верно для любой матрицы, а, следовательно, и для матрицыPE A) . Присое-

диненной для матрицы (λE A)

является матрица B(λ) , каждый элемент кото-

рой есть многочлен степени не выше n −1, так как он является минором ( n −1)- го порядка матрицы (λE A) , т.е. имеет вид

где Bi

 

 

 

 

 

B(λ) = Bn−1λn−1 + Bn−2λn−2 + ... + B1λ + B0 ,

 

 

 

 

– матрицы n -го порядка с постоянными элементами. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E A)B(λ) =| λE A |,

 

 

 

 

 

 

 

 

или в подробной записи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E A)(B

n−1

λn−1

+ B

n−2

λn−2 + ... + B λ + B ) = λn B

n−1

+ λn−1

(B

n−2

AB

n−1

) +

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

n−2

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

n

−2

 

 

 

 

 

 

 

+ λ

(Bn−3

ABn−2 ) +

(−AB) = (λ

+ a1λ

 

+ a2λ

 

+ ... + an−1λ + an )E.

 

 

Приравнивая коэффициентыTпри одинаковых степенях λ, получим равенства

www

 

 

 

 

Bn−1 = E,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = An + a1An−1

+ ... + an−1A + anE.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

B

n−2

AB

n

−1

= a E,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn−3 ABn−2 = a2E,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KKKKKKKK

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB = an E.

 

An , An−1,...,E ,

 

 

 

 

 

 

Умножая эти равенства последовательно на

и складывая, бу-

дем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Передача дискретной информации. Сообщение

– это последовательность

дискретных

символов

(s1,s2,...,sr ) , выбираемых

из конечного

алфавита

(s1, s2 ,...,sk )

с вероятностями p1, p2,..., pk , p1 + p2 + ... + pk = 1. Так что источ-

95

94 www.studhelp.info

ник информации уподобляется случайной величине S , принимающей значения s j с вероятностями p j , j = 1,2,...,k.

При кодировании каждый символ источника заменяется последовательностью букв некоторого другого алфавита X = (x1, x2,...,xn ) , каждая из которых

предназначена для непосредственной передачи информации по линии связи. Очевидно, что каждой x j можно приписать некоторую вероятность π j .

Последовательность букв, соответствующая некоторому символу источника, называется кодовым словом. При декодировании осуществляется обратная операция с целью восстановления информации.

Для правильной передачи информации необходимо, чтобы значения физиче-

того, что на выходе принята выборка (β12 ,...,β j ,...,βr ), если на вход подава-

ского явления, соответствующие буквам алфавита, отличались достаточно хо-

 

 

 

fo

рошо одно от другого, иначе увеличивается риск получить искаженное сообще-

 

 

 

n

ние. Колебание сигнала вокруг его среднего значения вызываетсяi«шумом», ко-

торый можно охарактеризовать вероятностью смещения двух.разных букв ал-

фавита.

 

,...,αi ,...,αr ) , а на вы-

Пусть на вход линии подается r -выборка A = (α12

ходе принимается r -выборка B = (β12

 

P

 

,...,β j ,...,βr ) выходного алфавита. Ли-

 

L

 

ния характеризуется множеством вероятностей перехода, т.е. вероятностей то-

го, что поданная на вход r -выборка (α1

2 ,...,αi ,...,αr ) принимается на выхо-

 

E

 

 

де как r -выборка (β12 ,...,β j ,...,βr ). Это условная вероятность

 

p12 ,...,β j ,...,βr | α12 ,...,αi ,...,αr )

 

UDH

 

 

лась выборка (α12

,...,αi ,...,αr ) .

i

 

Ti

В этом случае говорят о линии передачи с памятью, в противном случае речь идет о линии передач без памяти.

В общем случае линия характеризуется случайной величиной X на входе,

принимающей значение x ,i =1,2,...,n. с вероятностями p , случайной величи-

ной Y на выходе, принимающей значения y j

с вероятностями π j , j = 1,2,...,n,

и матрицей перехода.SП, составленной из условных вероятностей

 

 

 

 

 

pij = p(Y = y j | X = xi ) .

 

 

 

Отсюда по формуле полной вероятности находим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ p

p

K p

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç 11

12

1m

÷

 

(p , p

2

,...,p

m

) = ( p , p

2

,..., p

m

)ç p21

p22

K p2m ÷ .

(8.1)

1

 

1

 

ç

 

 

÷

 

www

 

 

 

 

 

 

 

çKKKKKKKK

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

è pn1

pn2 K pnm ø

 

Тогда по формуле Байеса можно вычислить условную вероятность

96

 

 

95

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

pij = p(X = xi |Y = y j ) =

 

 

pij

 

.

 

 

 

(8.2)

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å pi pij

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

пº1. Рассмотрим двоичную симметрическую линию, описываемую соотно-

шением

X {x1 = 0, x2 =1},

Y {y1 = 0, y2 =1},

 

 

 

 

 

 

 

т.е. на вход X и выход Y посылаются два значения 0 и 1 с вероятностями пе-

рехода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

p00 = p(Y = 0 | X = 0) = p,

p01 = p(Y = 1| X = 0) = 1- p,

 

p10 = p(Y = 0 | X = 1) = 1- p,

p11

= p(Y = 1| X = 1) = p.

 

Матрица перехода П имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

æ p

1- pö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

(8.3)

 

П = ç

 

÷ .

 

 

 

 

.

 

 

ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

è1- p

pø

 

 

 

 

 

 

 

 

Граф перехода изображен на рис 8.1а, а сама линия перехода – на рис 8.1б.

а)

 

 

б)

 

 

 

 

P

 

 

 

1-p

p

 

 

 

0

 

p

0

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

p

 

 

 

 

 

1-p 1-p

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.1

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основной проблемой при передаче информации является ограничение дейст-

вия шума на линии. Очевидно, что влияние шума будет тем меньше, чем боль-

наблюдая r -выборку на выходеUDH, можно было бы принять ее или отвергнуть в зависимости от того, подвергалось ли сообщение изменению в процессе пере-

ше вероятности πij , которые вычисляются по формуле (8.2). Практически задача водится к тому, чтобы определить правило принятия решения, по которому,

дачи. Другими словами, надо найти правило, которое позволяло бы обнаружи-

 

 

 

T

 

 

 

 

вать ошибки и дало бы возможность их исправлять. Вероятность p , характери-

зующая шум на линии, обозначается p(l) .

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

пº2. Пусть линия передачи определяется случайной величиной X на входе,

принимающей значения x1, x2, x3, x4 с вероятностями

 

 

 

p(X = x1) = 0.1,

p(X = x2 ) = 0.2,

 

 

 

p(X = x3 ) = 0.3,

p(X = x4 ) = 0.4.

 

Пусть число значений y j

случайной величины Y на выходе равно трем, а

матрица П имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

0.50

0

0.50

ö

 

 

 

 

ç

0.20

0.40

0.40

÷

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

П = ç

0.50

0.25

0.25

÷.

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

ç

0

0.50

0.50

÷

 

 

 

 

è

ø

97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96

 

 

 

www.studhelp.info

Вычислим вероятности π j

 

= p(Y = y j ), j =1,2,3,

по формуле (8.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

0.50

0

0.50

ö

 

 

 

 

 

æ

1

 

2

 

3

 

4

ç

0.20

0.40

0.40

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

öç

÷

= (0.24;0.355;0.405),

(p , p

2

, p

3

) = ç

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

÷

0.50

0.25

0.25

÷

10

10

10

10

1

 

è

 

 

 

øç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

0

0.50

0.50

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

т.е π1 = p( y = y1) = 0.24, π2 = p(y = y2) = 0.355, π3 = p(y = y3) = 0.455 .

Расстояние Хэмминга. Пусть получен код, в котором каждая

fo

r -выборка за-

кодирована словом, состоящим из n символов. Предполагается, что символы

взяты из конечного множества, обладающего тем свойством, что символы мож-

но складывать и перемножать (по определенным законам).

i

i

j

 

 

 

.

Расстояние Хэмминга – это расстояние между двумя кодовыми словами. Оно

определяется как число мест, в которых символы этих слов не совпадаютn.

пº3. Пусть кодовые слова c и c

имеют вид (в двоичном коде {0,1}):

ci = (1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1),

 

L

 

c j = (0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0) .

 

 

E

P

Для них расстояние Хэмминга d(ci , c j ) = 7 .

 

Расстояние Хэмминга тесно связано с вероятностью ошибки при передаче

информации или сообщения. Действительно, пусть передано слово αi , которое

 

UDH

di j ) = δ.

 

принято как β j , причем расстояние Хэмминга

Тогда условная

вероятность

pi | β j ) = pδ (1 − p)n−δ .

 

 

(8.4)

В самом деле, при передаче символа из двоичной симметрической линии (матрица перехода (8.3)) вероятность ошибки равна p , а по линии передано

n − δ символов правильно, а δ символов неверно. В силу независимости передачи символов вероятность ошибки при передаче сообщения выражается фор-

мулой (8.4).

.

 

 

 

i

Так как на практикеTвероятность

αk

 

 

αo

p всегда меньше 0 5 (если линия

 

 

www

 

 

α

 

делает больше 50%Sошибок, то

 

 

 

вряд ли такой линией стоит

 

 

 

 

пользоваться), то pi j )

 

 

 

δi

увеличивается, когда δ уменьшается.

 

δk

 

δo

Отсюда получается следующее правило:

 

 

 

β j

при получении на выходе кодового слова

 

 

 

β j следует в качестве кодового слова на

 

 

 

Рис.8.2

входе брать слово с наименьшим расстоянием от β j

(рис. 8.2). Если δi < δo и

δi < δk , то сигнал подается по линии δi .

 

 

 

 

Легко проверить, что расстояние Хэмминга удовлетворяет всем обычным аксиомам функции расстояния:

98

 

 

 

 

 

 

 

 

97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

а) d(ci , c j ) ³ 0, причем равенство d(ci ,c j ) = 0

выполняется тогда и только

тогда, когда ci = c j ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) d(ci , c j ) = d(c j , ci );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) неравенство треугольника d(ci ,c j ) £ d(ci ,ck ) + d(ck ,c j ) .

 

 

 

 

Двоичные линейные коды. Пусть ei

 

= (0,0,...,0,1,0,...,0) – n -вектор, все ко-

ординаты которого, кроме i -ой, равны нулю, а i -ая координата равна единице.

Как известно, эти векторы в совокупности линейно независимы и образуют ба-

зис линейного пространства R n . В композиции они составляют единичную

матрицу E :

 

 

 

æ1

 

0

 

 

0

 

 

K 0

 

0

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

0

 

 

K

 

 

0

 

0

 

 

 

n

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E = çKKKKKKKK÷ .

 

i

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

K

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

0

 

0

 

0

 

K

 

 

 

0

 

÷

 

 

 

 

 

Пусть вектор ( n -выборка)

è

 

 

 

 

 

 

1ø

 

 

 

 

 

ai = (a ,a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

2

,...,a

n

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ai – элементы поля алфавита. Матрицей E он преобразуется в вектор

 

 

 

 

 

aiE = (a ,a

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

,...,a

n

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. преобразование с матрицей E не искажает входной сигнал. Если взять дру-

гие n линейно независимых векторов и записать их как строки, то при умноже-

нии вектора а на матрицу М с этими строками,

в общем случае aM ¹ a . По-

скольку строки матрицы М независимы, то матрица М невырожденная и, следо-

вательно, умножением на соответствующий

a j (aiM = a j Û ai = a jM −1) по-

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лучаются все векторы из R n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точно так же можно определить матрицу М, строки которой представляют

собой m линейно независимых векторов (их ранг равен m ). С помощью этой

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

, элементами которого

матрицы можно.получить все векторы пространства R

 

являются все выборки поля векторов ai

= (a , a

2

,...,a

m

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что элементарные операции над матрицами (перестановка строк

местами; умножение любой строки матрицы на ненулевой элемент; прибавле-

ние к строке матрицы другой строки, умноженной на элемент поля чисел) не

меняют ранга матрицы и с их помощью любую m × n -матрицу ранга m можно

привести к следующему каноническому виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ1

0

K 0

a1m+1

 

 

K a1n

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

1

 

0

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç0

K

2m+1

 

 

K

 

2n

÷

= (EM A).

 

 

 

 

B = ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

çKKKKKKKKKKKK

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

1 amm+1

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è0 0 K

 

 

 

amn ø

 

 

 

 

 

 

 

99

(8.5)
простран-
ответствующими координатами выборки а, т.е. ai = bi ,i =1,2,...,m,
При таком преобразовании первые m координат вектора

98

www.studhelp.info

При этом строки матрицы В, как векторы, определяют то же линейное пространство, что и векторы-строки исходной матрицы. Матрица В преобразует m -выборку a = (a1, a2 ,..., am ) в n -выборку b = (b1, b2 ,...,bn ) :

b = (b1,b2,...,bn ) = aB .

b совпадают с со-

а последние k = n m координат являются их линейными комбинациямиfo. Таким образом, мы приходим к кодам, которые называются систематическими. При переходе кодового слова первые m мест называются информационнымиn , а последние k = n m проверочными, так как эти линейные комбинацииi позволяют обнаружить и даже исправить ошибки при передаче информационных

символов. Такой код обозначается (n,m). Если использовать линейные про-

 

P

странства над полем из двух элементов, то, как известно из.комбинаторики, с

его помощью можно передать 2m сообщений.

 

Линейный код общего вида состоит из всех векторов некоторого подпро-

E

 

странства линейного n -мерного пространства.

 

Двойственный код. Исходя из кода (n,m), можноLнепосредственно образо-

UDH

 

вать так называемый двойственный код (m,n). Действительно, если R m -

подпространство, порожденное строками матрицы В, то его базис можно следующим образом дополнить до базиса всего пространства R n :

 

 

 

m

 

 

 

 

k

 

 

 

 

æ1

0

0

K 0

 

 

 

 

ö

 

ç

0

1

0

K 0

 

 

 

 

÷

 

ç

 

 

 

 

÷

 

ç

0 0 1 K 0

 

aij

 

 

÷

m

B ç

 

 

 

÷

çKKKKKK

 

 

 

 

 

÷

 

ç

0

0

0

 

T

 

 

 

 

÷

 

ç

 

 

 

 

 

÷

 

 

K

0

 

 

 

 

i =1,2,..., m; j =1,2,..., j.

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

0

0

K 1

 

 

 

 

 

÷

 

ç

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

ç

 

.

 

1

0

0

K

0 ÷

 

ç

 

 

 

 

 

0

1

0

K

0

÷

 

H ç

 

 

 

 

 

÷

k

 

b ji = -aij

 

 

 

 

 

ç

 

KKKKKK

 

÷

 

ç

 

 

 

 

 

0

0

0

K

0

÷

 

è

 

 

 

 

 

ø

 

wwwn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последние k = n r векторов образуют базис подпространства R k

ства R . Пусть A = (aij ) – m × k -матрица с элементами aij . Тогда в соответст-

вии с записью (8.5):

B = (Em×m MA), H = (- AT MEk×k ).

При этом имеет место следующее матричное соотношение

100

z = HwT

Обнаружение ошибок. Для вектора v из подпространства R m , порожденного строками матрицы В, имеет место равенство (8.8). Если теперь на выходе получается некоторый n -мерный вектор w , для которого выполнено соотноше-

 

 

 

 

99

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

BH T = (HBT )T = 0 .

 

 

 

(8.6)

 

 

В самом деле, записывая сомножители с помощью блоков, получаем

 

 

 

 

 

 

 

æ- A

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Em×m M A)ççKK

÷÷ = (- A)- (A) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è Ek×k

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

Пространство, порожденное векторами-строками матрицы В, называется ну-

левым пространством матрицы H , и наоборот. Если v n -мерный вектор,

полученный из m -выборки а с помощью матрицы В, т.е.

 

 

 

fo

 

то в силу равенства (8.6) имеем

 

v = aB ,

 

 

 

 

 

 

T

= aBH

T

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

vH

 

 

 

 

 

(8.7)`

 

 

Таким образом, H

T

 

 

 

 

 

 

 

n

m

.

 

переводит в нулевой вектор любой векторiv

из R

 

Транспонируя равенство (8.7):

HvT = 0T ,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.8)

 

 

где vT и 0T k -векторы-столбцы. Уравнение (8.8) представляетP

собой систему

k линейных однородных уравнений

с неизвестными v1,v2,...,vk . Векторы

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

v =(v1,v2,...,vk ), координаты которых являются символами кодовых слов на

контрольных листах, – это решение системы (8.8). Ввиду этого матрица H на-

зывается проверочной матрицей.

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

ние

 

T

HwT ¹ 0 ,

 

 

 

S

 

то w не принадлежит R

m

и, следовательно, обнаружена ошибка. Заметим, что,

 

 

.

 

 

 

 

очевидно, при выполнении равенства(8.8) можно лишь утверждать, что при передаче по линии не произошло ошибки какого-то определенного типа, но нет

wwwгарантии, что отсутствуют ошибки других типов. В самом деле, вектор

имеет k координат и поэтому не дает возможности выявить больше, чем pk -1 типов ошибок, где p – число элементов поля. Поэтому необходимо с самого начала установить, какие ошибки желательно обнаруживать. В частности, в двухкодовом поле {0,1} можно выявить не более 2k -1 типов ошибок.

§ 9. Эйлеровы функции Γ(x) и B(x, y)

Гамма функция Γ(x) . Интегральное представление гамма-функции Γ(x) определяется равенством

101

100

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(x) = òt x−1et dt, x > 0.

 

 

 

 

 

 

 

(9.1)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот интеграл сходится при x > 0, так как при t → ∞ он сходится из-за нали-

чия множителя et ,

а при t → 0 выполняется

ettx−1 ~ t x−1. Отсюда следует,

что интеграл (9.1) существует при x −1 > −1, т.е. при x > 0.

 

 

 

 

 

Производная Г-функции (9.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G'(x) = òt x−1et ln t dt, x > 0.

 

 

 

 

 

Аналогично получаем

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x−1 −t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G''(x) =

dt

> 0.

 

 

 

n

 

 

 

 

 

ò

t

e

(ln t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Отсюда следует, что гамма-функция является выпуклой функцией, имеющей

единственный положительной минимум (рис. 9.1).

 

 

P

 

 

 

 

 

Г(х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

S

 

 

 

 

 

Рис. 9.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

=1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пº1. а) G(1) = òet dt = - e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

1 ö

 

1

 

 

t = s, dt = 2s ds

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

= òett−1/ 2dt = t = 0 Þ s = 0

=

ò2es

ds =

2 ×

=

π ,

б)

÷

2

è

2 ø

 

0

 

 

t = ¥ Þ s = ¥

 

0

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ds =

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как интеграл Пуассона

òe

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула приведения. Интегрируя по частям в равенстве (9.1), получаем

102

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]