SMMiF_bsuir
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Подставим в (3.19) и (3.20) t = 0. Тогда с учетом начальных условий (3.12) и (3.13) будем иметь:
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∞ |
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pn x = f (x), |
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u(x,0) = å An sin |
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|||||||
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n=1 |
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l |
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¶u |
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∞ |
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(x,0) = å |
apn |
Bn sin |
pn x = j(x). |
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|||||
¶t |
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|||||||
l |
ò |
|
l |
|
l |
|
l |
fo |
|
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n=1 |
|
f (x) |
и ϕ(x) в ряды Фурье по синусам. |
||||
Мы получили разложение функций |
Поэтому неизвестные коэффициенты определяются по стандартным формулам: |
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A |
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2 |
l |
f (x) sin |
pn |
x dx, |
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n |
|||||||||||||||||||||||
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= |
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(3.21) |
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i |
||
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n |
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0 |
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. |
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|||||||
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2 |
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l |
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pn |
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P |
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||||||||
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Bn |
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= |
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ò |
j(x) sin |
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x dx. |
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(3.22) |
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anp |
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l |
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0 |
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Итак, решение задачи имеет вид (3.19), где коэффициенты определяются по |
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формулам (3.21) и (3.22). ▲ |
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E |
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|||||||||||||||||
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L |
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пº3. Решить уравнение |
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, |
||||||||||||||
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An = 0 , Bn = |
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UDHsin x sin x dx = í4anp |
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¶2u |
= a |
2 |
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¶2u |
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||||||||||||||
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¶t 2 |
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¶x2 |
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|||||||||
при условиях: u(x,0) = 0, |
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∂u |
(x,0) = |
1 |
sin |
3πx |
|
, u(0,t) = u(l,t) = 0 . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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¶t |
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8 |
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l |
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1 |
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3π |
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||||||||
|
D Замечаем, что в нашей задаче f (x) º 0, |
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j(x) = |
sin |
x . Поэтому |
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T |
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î |
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|
l |
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|||||||||||||
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8 |
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l |
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|||
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|
2 |
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|
l |
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1 |
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|
3p |
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|
pn |
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|
ì |
|
|
, если |
n = 3 |
||||||||||||||||
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S |
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|
ï |
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||||||||||||||||||||||||
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|
l |
|
|
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|||||
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|
anp |
0ò |
8 |
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|
l |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï0, |
если n ¹ 3 |
|
||||||||||||||||
т.е. |
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¶2u |
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¶2u |
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||||||||||||||
www |
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2 |
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|||||||||||||||||
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.A = 0 , B |
3 |
= |
|
12ap |
, |
|
|
B |
|
= B |
2 |
= B |
4 |
= ... = B |
n |
|
= ... = 0. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
n |
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1 |
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||||||||||||||||||
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По формуле (3.19) выписываем ответ: |
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3π |
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3aπ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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u(x,t) = |
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|
l |
|
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sin |
x sin |
t . ▲ |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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12ap |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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l |
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|
l |
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||||||||
|
Задача 4. Рассмотрим теперь вынужденные колебания однородной струны с |
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закрепленными концами. |
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Дано: |
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¶t 2 |
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= a |
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¶x2 |
+ g(x, t) ; |
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(3.23) |
|||||||||||||||||||||||||||
начальные условия: |
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|||||||||||||||||
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u(x,0) = f (x) ; |
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(3.24) |
|||||||||||||||||||||||||
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32 |
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www.studhelp.info |
||
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∂u |
(x,0) = j(x); |
|
(3.25) |
|
|
|
||
|
¶t |
|
|
|
краевые условия: |
|
|
||
u(0,t) = u(l,t) = 0 , |
(3.26) |
|||
D Приступая к решению данной задачи, вновь воспользуемся идеей Фурье. |
||||
Решение будем искать в виде ряда |
|
|
||
|
|
∞ |
pn x |
|
u(x,t) = åTn (t) sin |
(3.27) |
|||
|
|
n=1 |
l |
fo |
|
|
|
||
|
|
|
|
с неизвестными коэффициентами Tn (t) .
Функция u(x, t) , определяемая соотношением (3.27), уже удовлетворяет
краевым условиям (3.26). Осталось подчинить (3.27) условиям (3 23), (3.24), |
||||||||||||||||||||||||||||||
(3.25). |
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|
in |
|||
|
Силовую функцию g(x,t) также представим рядом Фурье . |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
∞ |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
pn |
|
|
|
P |
(3.28) |
|||||
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|
g(x,t) = ågn (t)sin l |
x , |
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||||||||||||||||||||||
где |
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n=1 |
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|||||
|
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|
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|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||
|
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|
|
gn (t) = |
|
|
g(x, t) sin |
pn |
x dx. |
|
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|
|
(3.29) |
||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
'' |
UDHæ anp ö |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l E |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
С учетом (3.27) и (3.28) уравнение (3.23) перепишется |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
pn |
|
|
∞ |
æ np ö2 |
|
|
|
|
|
|
pn |
|
|
∞ |
pn |
|
|||||||||||
|
|
åTn'' (t) sin |
l |
x |
º a2 å- ç |
|
|
|
÷ |
Tn |
(t) sin |
l |
x |
+ å gn (t) sin |
l |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
n=1 |
è |
|
l ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
åç |
n |
(t) + ç |
|
|
|
÷ |
Tn (t) - gn (t)÷ sin |
|
|
x º 0 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
n=1èTè l |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это тождество будет выполняться тогда и только тогда, когда выполняются |
|||||||||||||||||||||||||||||
условия |
|
|
|
|
æ anp ö2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
''(t) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
T |
ç |
|
|
|
|
÷ |
T (t) º g |
n |
(t) . |
|
|
|
|
(3.30) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
è l |
|
|
ø |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Уравнение (3.30) |
при фиксированном n N |
|
решаем стандартно. Вначале |
||||||||||||||||||||||||||
решаем соответствующее (3.30) однородное уравнение |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
'' (t) + |
|
æ anp |
ö2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
T |
ç |
|
|
|
÷ T (t) = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
è |
|
l |
ø |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Характеристическое уравнение |
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2 |
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
æ anp ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
ç |
|
|
|
÷ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è l |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
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33 |
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www.studhelp.info |
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имеет комплексные корни k |
= ±i |
anπ |
. Поэтому общее решение однородного |
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1,2 |
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l |
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уравнения: |
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aπn |
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aπn |
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T |
n |
(t) = A cos |
t + B |
n |
sin |
t , |
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n |
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l |
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l |
||||||
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где An и Bn – произвольные постоянные.
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Общее решение неоднородного уравнения (3.30) ищем по методу Лагранжа, |
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fo |
варьируя произвольные постоянные в общем решении однородного уравнения: |
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T |
(t) = A |
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(t) cos |
aπn |
t + B |
n |
(t) sin |
aπn |
t . |
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(3.31) |
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n |
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n |
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l |
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l |
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n |
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Для отыскания An (t) и Bn (t) выписываем систему Лагранжа: |
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ì |
' |
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apn |
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' |
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apn |
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P |
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ï |
A (t) cos |
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t + B |
n |
(t) sin |
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t = 0, |
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n |
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i |
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|||||||||
ï |
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l |
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l |
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. |
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í |
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apn |
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apn |
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apn |
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ï- |
A' |
(t) sin |
t + B' |
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(t) |
apn |
|
cos |
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t = g |
n |
(t). |
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ï |
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l |
n |
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l |
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n |
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l |
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l |
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||||
î |
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E |
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Решаем ее по правилу Крамера: |
aπn |
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L |
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0 |
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t |
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sin |
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l |
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UDH0 |
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gn (t) |
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aπn |
cos |
aπn |
t |
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l |
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aπn |
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A' |
(t) = |
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l |
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= - |
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g |
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(t) sin |
t, |
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n |
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cos |
aπn |
t |
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sin |
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aπn |
t |
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anπ |
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n |
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l |
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l |
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l |
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aπn |
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aπn |
t |
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aπn |
cos |
aπn |
t |
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T |
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S |
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aπn |
t |
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|||||||||||||
www |
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cos |
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l |
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A (t) = A |
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- |
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l |
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t |
g |
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( |
t) sin apn t dt, |
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. |
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- |
aπn |
sin |
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aπn |
t |
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gn (t) |
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aπn |
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B |
' (t) = |
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l |
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l |
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= |
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l |
g |
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(t) cos |
t. |
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n |
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cos |
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aπn |
t |
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sin |
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aπn |
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t |
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anπ |
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n |
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l |
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- |
aπn |
sin |
aπn |
t |
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aπn |
cos |
aπn |
t |
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l |
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||||||||||
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Интегрируем эти дифференциальные уравнения: |
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n |
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n |
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n |
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anp ò |
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|||||||||||||
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0 |
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35
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34 |
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|
www.studhelp.info |
||||||||
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Bn (t) = Bn |
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+ |
|
l |
|
|
t gn (t) cos |
apn |
t dt. |
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anp ò |
|
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|
l |
|
|
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||||||
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An |
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Bn |
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0 |
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|||
|
Величины |
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|
и |
|
в правых частях полученных соотношений являются |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произвольными числами. |
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||||||||||||||
|
Подставляя найденные функции в формулу (3.31), получим |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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T |
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|
(t) = A |
cos |
aπn |
|
t + B |
|
sin |
aπn |
t + |
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fo |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
n |
|
|
|
|
|
l |
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|||||
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||||||||
|
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|
|
|
t |
|
|
|
|
|
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l |
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|
é |
|
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|
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apn |
ù |
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|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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|
+ |
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|
|
ò gn (t)êcos |
|
|
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|
tsin |
|
|
|
|
|
|
t - sin |
|
|
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|
|
tcos |
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|
|
tú dt |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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anp |
|
|
|
|
l |
|
|
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l |
|
l |
|
l |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
|
|
|
|
ë |
|
|
|
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û |
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|||||||||||||
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l t |
|
|
|
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|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
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apn |
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apn |
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apn |
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|||||||||||||||
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T |
|
(t) = A |
|
cos |
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l |
|
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+ B |
n |
sin |
|
|
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|
|
t + |
|
|
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g |
n |
(t) sin |
|
|
i(nt - t) dt. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n |
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|
n |
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l |
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|||||||||||||||
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0 |
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||
|
Введем эти Tn (t ) |
в формулу (3.27): |
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L |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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l t |
P apn |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
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|
pn |
|
é |
|
|
|
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|
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|
apn |
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|
apn |
|
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|
|
ù |
||||||||||||||||||||||||||||
|
u(x,t) = åsin |
|
|
|
ê |
|
|
|
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ò gn (t) sin |
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|
ú |
||||||||||
|
|
l |
x |
|
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l |
|
|
t + Bn sin |
|
|
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|
l |
|
|
|
t + anp |
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
êAn cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
(t - t) dtú |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
ë |
|
|
|
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|
|
UDHå n |
|
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|
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0 |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
(3.32) |
û |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Полагая, что ряд в (3.32) можно почленно дифференцироватьE |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
по t , найдем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¶u |
|
|
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|
∞ |
|
|
pn |
|
é |
|
|
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apn |
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apn |
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apn |
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|
apn |
|
ù |
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||||||||||||||||||||
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|
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åsin |
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(x, t) = |
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xê- An |
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sin |
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t |
+ Bn |
|
|
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|
|
cos |
|
|
|
tú . |
|
|
(3.33) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
¶t |
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
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l |
|
|
l |
|
|
|
l |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
n=1 |
|
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|
|
ë |
|
|
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û |
|
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|||||||||||||||
|
При t = 0 формулы (3.27) и (3.33) с учетом начальных условий (3.24) и (3.25) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дают: |
|
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∞ |
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(3.23) |
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|||||||
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u(x,0) = |
|
|
|
A |
|
sin |
|
pn |
x |
|
f (x), |
|
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l |
|
= |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
T |
|
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n=1 |
|
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||||||||||||||||||||||||
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|
∞ |
|
|
|
|
apn |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
(3.24) |
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
www |
|
|
|
¶u |
|
|
(x,0) = åBn |
|
sin pn x |
|
|
|
= |
|
|
j(x) . |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
¶t |
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|
n=1 |
|
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l |
|
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|
l |
|
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S |
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|
f (x) |
|
и ϕ(x) |
|
в ряды Фу- |
||||||||||||||||||||
|
Замечаем, что здесь мы имеем разложение функций |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рье, поэтому коэффициенты определяются так: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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A |
|
= |
|
2 |
|
l |
|
f (x) sin |
|
pn |
x dx, |
|
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(3.34) |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
l |
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|
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|
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l |
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0 |
|
l |
|
|
|
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Bn |
= |
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2 |
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|
j(x) sin |
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pn |
x dx. |
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(3.35) |
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ò |
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anp |
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l |
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0 |
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Итак, ответ есть (3.32) с учетом (3.29), (3.34) и (3.35). ▲
пº4. Дано уравнение колебаний однородной струны
36
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35 |
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www.studhelp.info |
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¶2u |
= a |
2 |
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¶2u |
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+ e |
−t |
sin |
p |
x ; |
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¶t 2 |
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¶x2 |
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l |
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начальные условия: |
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2π |
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||||||
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u(x,0) = sin |
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x, |
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x Î[0,l]; |
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∂u |
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l |
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(x,0) = 0; |
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fo |
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π |
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2π |
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краевые условия: |
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¶t |
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u(0, t) = u(l, t) = 0, |
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t ³ 0. |
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inl |
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l |
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Найти u(x,t) – закон движения точек струны со временем t . |
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D Замечаем, что в нашей задаче |
|
g(x,t) = e−t sin |
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x , |
f (x) = s |
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|
x, j(x) = 0 |
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для x Î[0,l], t ³ 0. |
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0 |
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L |
. |
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1 шаг: находим по формуле (3.29): |
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2 |
l |
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p |
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pn |
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ì −t |
, n =1, |
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ïe |
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g |
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(t) = |
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e |
−t sin |
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x sin |
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x dx = |
í |
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P |
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l |
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l |
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ï |
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UDHò |
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î0, n > 1. |
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2 шаг: находим по формуле (3.34): |
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Eì1, n = 2, |
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2 |
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l |
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2p |
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pn |
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An = |
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ò sin |
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x sin |
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x dx |
= |
í0, n =1,3,4,.... |
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l |
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l |
l |
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0 |
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î |
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3 шаг: находим по формуле (3.35), что |
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T |
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Bn = 0 . |
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4 шаг: ориентируясь на формулу (3.32), выписываем ответ: |
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|
u(x,t) = cos |
2ap |
t sin |
2p |
x + |
l t |
e−τ sin |
ap |
(t - t) dt |
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ap 0 |
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. |
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l |
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l |
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l |
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|||||||||||
или, интегрируя по частям, окончательно получаем |
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www |
S |
¶2u = a2 |
¶ |
2u |
æ |
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aπ |
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|
l3 |
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aπ |
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ö |
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(3.36) |
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+ g(x, t) ; |
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l |
2 |
e |
−t |
ç |
- cos |
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t + |
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sin |
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t |
÷ |
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2aπ |
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2π |
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ç |
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l |
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aπ |
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l |
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÷ |
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π |
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||||||||
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u(x,t) = cos |
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l |
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t sin |
l |
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x + |
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(aπ )2 + l 2 |
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sin |
l |
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x . |
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▲ |
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Задача 5. Рассмотрим теперь задачу колебания однородной струны в самой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
общей постановке. |
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Дано: |
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начальные условия: |
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¶t 2 |
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¶x2 |
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u(x,0) = f (x) ; |
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(3.37) |
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37
|
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36 |
www.studhelp.info |
|
∂u |
(x,0) = ϕ(x); |
(3.38) |
|
∂t |
||
|
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|
краевые условия: |
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|
u(0,t) = m1(t); |
(3.39) |
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u(l,t) = m2(t) , |
(3.40) |
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|
|
x Î[0,l], t ³ 0. |
|
Предполагается, что g(x,t), f (x), j(x) непрерывные функции, а m1(t), m2 (t) –
дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Найти функцию u(x,t) , удовлетворяющую условиям (3.36) – (3.40).
Идея решения этой задачи состоит в том, чтобы, вводя вспомогательную
функцию v(x,t) , свести данную задачу к предыдущей. |
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fo |
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Пусть решение имеет вид |
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n |
|||||||||
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|||
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x |
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i |
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||
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|
u(x,t) = v(x, t) + μ1(t) + |
|
(μ2 (t) − μ1(t)). . |
(3.41) |
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|
l |
|||||||||||||||||||||||||||||
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|
Обратим внимание на то, что у функции v(x,t) |
будут нулевые краевые усло- |
||||||||||||||||||||||||||||||
вия: |
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P |
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|||
u(0,t) = v(0, t) + m1(t) = m1 |
(t) Þ v(0, t) = 0, |
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||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||
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L |
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|
||||
|
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|
u(l,t) = v(l,t) + m2(t) = m2(t) Þ v(l,t) |
= |
0 . |
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
Выясним, какому дифференциальному уравнению удовлетворяет функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||
v(x,t) : |
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E |
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||||||||||
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||
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∂u |
(x,t) = |
∂v |
(x,t) + μ1' (t) + |
x |
|
(μ'2 (t) − μ1' (t)), |
|
|
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|||||||||||||||||||
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∂t |
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∂t |
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l |
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(μ2'' (t) − μ1'' (t)), |
|
|
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||||||||||
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∂ 2u |
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|
(x, t) = ∂ 2v |
(x, t) + μ1'' (t) + |
x |
|
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|||||||||||||||||||||
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∂t 2 |
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|||||||||||||||||||||||
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∂t 2 |
2 |
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2 |
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l |
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||||
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UDH∂ u ∂ v |
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|||||||||||||
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T |
∂x2 = ∂x2 . |
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∂ 2u |
|
∂2u |
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Подставляя в уравнение (3.36) выражения для |
и |
, получим: |
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2 |
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2 |
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S |
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∂x |
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∂t |
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. |
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||||||||
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∂ 2v |
= a2 |
∂2v |
+ g(x, t) − μ1'' (t) − |
x |
(μ'2' |
(t) − μ1'' (t)). |
|
(3.42) |
|||||||||||||||||||||||
|
∂t 2 |
∂x2 |
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l |
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Итак, силовая функция g1(x,t) |
в уравнении (3.42) имеет вид: |
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|
g (x,t) = g(x,t) − μ''(t) − |
x |
(μ'' |
(t) − μ |
''(t)). |
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1 |
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1 |
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l |
2 |
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1 |
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||||||||
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Выведем теперь начальные условия для функции v(x,t) . Полагая t = 0 в фор- |
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www |
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мулах (3.41) и (3.42), получаем |
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x |
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||||||||||
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u(x,0) = v(x,0) + μ1(0) + |
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(μ2 (0) − μ1(0)) = f (x) , |
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l |
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|||||||||||||||||||||||||||
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38
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37 |
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www.studhelp.info |
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∂u |
(x,0) = |
|
∂v |
|
(x,0) + m1' (0) + |
x |
|
(m'2 (0) - m1' (0))= j(x) . |
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¶t |
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¶t |
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l |
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|
Следовательно, |
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x |
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v(x,0) = f (x) - m1(0) - |
(m2 (0) - m1(0)) = f1(x) , |
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l |
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|||
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|
∂v |
(x,0) = j(x) - m' |
(0) - |
x |
(m' |
(0) - m' (0))= j (x) . |
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¶t |
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1 |
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l |
2 |
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1 |
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|
1 |
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fo |
|||||||||
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|
å |
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|
n |
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|
n |
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ò |
|
1n |
|
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||||||
|
Итак, для функции v(x,t) |
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|
мы можем воспользоваться решением предыдущей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задачи: |
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l t |
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|
n |
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|||||||
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|
∞ |
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pn é |
|
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|
apn |
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apn |
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|
ap |
ù |
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||||||||||||||||||||
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i |
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||||
v(x, t) = |
|
sin |
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xêA |
cos |
|
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|
t + B sin |
|
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|
t + |
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|
g |
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|
(t) sin |
|
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|
(t - t) dtú |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
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l |
|
ê |
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l |
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l |
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|
anp |
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. |
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|
ú |
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|||||||||
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n=1 |
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ë |
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0 |
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P |
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(3.43) |
û |
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|||||
где |
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l |
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g1n (t) = |
2 |
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g1(x,t) sin |
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pn |
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x dx. |
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(3.44) |
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l |
ò |
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l |
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||||||||||||
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0 |
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L |
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|||||||
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A |
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= |
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2 |
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l |
f (x) sin |
pn |
x dx, |
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(3.45) |
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UDH= a |
; |
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|
n |
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l |
0ò |
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1 |
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|
l |
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E |
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|||||||||||||||
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|
B |
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= |
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2 |
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l |
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j (x) sin |
pn |
x dx. |
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(3.46) |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
n |
|
anp ò |
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1 |
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l |
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0 |
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Найдя v(x,t) , получим решение исходной задачи по формуле (3.41). ▲ |
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пº5. Дано: |
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T |
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¶2u |
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¶2u |
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||||||||||||||||||||||||
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S |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||
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¶t 2 |
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¶x2 |
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|||||||||||||||||||||
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. |
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||||||||||||||||||||||||||
начальные условия: |
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x |
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∂u |
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x |
|
−t |
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||||||||||||
www |
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|||||||||||||
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u(x,0) = |
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; |
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¶t |
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(x,0) |
= |
0; |
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||||||||||||||||||||||||||||
краевые условия: |
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l |
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u(0,t) = 0; |
u(l,t) = e−t . |
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D Находясь в условиях задачи 4, выпишем данные: |
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g(x,t) = 0, f (x) = |
x |
,j(x) = 0,m (t) º 0,m |
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(t) º e−t . |
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Поэтому решение записываем по формуле (3.41): |
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u(x,t) = v(x, t) + |
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Для функции v(x,t) |
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выпишем необходимые исходные данные: |
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39
38 www.studhelp.info
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g (x,t) = - |
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e−t , |
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f1(x) = |
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f (x) - |
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−t |
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= 0; |
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x |
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= |
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x |
. |
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j (x) = j(x) + |
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e−t |
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l |
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t=0 |
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fo |
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Найдем по формулам (3.44), (3.45), (3.46): |
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2 l |
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x −t |
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πn |
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2 −t l |
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g1n (t) = |
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ù |
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u = x; |
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du = dx |
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14243ú |
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Задача 1. Пусть на пространстве C[a,b] определен функционал |
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называемый δ-функцией. Показать, что этот функционал линейный и найти его |
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Задача 2. |
Пусть ϕ0 (x) C[a,b] – фиксированная функция. Для любой |
||||||
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b |
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f (x) C[a,b] определим функционал формулой F( f (x)) = ò f (x)ϕ0 (x) dx . По-
a
казать, что этот функционал линейный и найти его норму.
b
Отв.: || F ||= ò| ϕ0 (x) | dx = 1.
a
Задача 3. В указанной области при всех значениях параметра λ найти от-
личные от тождественного нуля решения y = y(x) |
краевой задачи: |
|
||||||||
|
y''+λy = 0, y(1) = 0, y'(2) = 0,1 ≤ x ≤ 2; |
|
|
|
||||||
Задача 4. Методом Д’АламбераUDHнайти уравнение u = u(x,t) |
формы однород- |
|||||||||
|
T |
|
∂2u |
= a2 |
∂2u |
, если в на- |
||||
ной бесконечной струны, определяемой уравнением |
∂t |
2 |
∂x2 |
|||||||
www |
∂t |
|
|
|
|
|||||
чальный момент.St = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой x |
||||||||||
определяются заданными функциями: u(x,0) = x(2 − x), |
∂u(x,0) = e−x ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
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|
Задача 5. Найти решение u = u(x,t) уравнения |
∂2u |
= c2 |
∂ 2u |
,0 ≤ x ≤ L,t > 0, |
||||||
∂t 2 |
|
∂x2 |
|
|||||||
|
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|
удовлетворяющего граничным условиям u(0,t) = 0,u(L,t) = 0,t > 0, и началь-
ным условиям u(x,0) = f (x), ∂u(x,0) = g(x).
41
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40 |
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|
www.studhelp.info |
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∞ |
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nπx æ |
|
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nπx |
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nπx ö |
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2 L |
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nπx |
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||||||||||||||||
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|
Отв.: u(x,t) = åsin |
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ça |
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cos |
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|
+ b sin |
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÷,a |
|
= |
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|
f (x)sin |
|
dx, |
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||||||||||||||||||||
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L 0ò |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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L |
|
n=1 |
|
|
|
L |
è |
|
n |
|
|
|
|
L |
|
|
n |
|
|
|
L |
ø |
|
n |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
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|
2 |
|
nπx |
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|||||
bn = |
|
ò g(x)sin |
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dx. |
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nπL |
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L |
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||||||||||
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0 |
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|||
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Задача 6. Найти уравнение u = u(x,t) |
колебаний струны, описываемых урав- |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нением |
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u(x,0) = a sin |
πx |
, |
|
∂u(x,0) = 0 . |
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fo |
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∂2u |
= c2 |
∂ |
2u |
, |
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||||||||
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∂t 2 |
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|
∂x2 |
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|
||||
если концы закреплены в положении u(0,t) = 0,u(l,t) = 0, |
а начальное положе- |
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|
l |
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|
|
∂t |
|
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|
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|
|
|
in |
|
||||||
ние струны и начальная скорость точки х задаются условиями |
|
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|
|
|
P |
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|
|
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|
|||
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|
Отв.: u(x,t) = a sin |
πx |
cos |
πx |
; |
|
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L |
. |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
l |
∂2u |
|
|
l |
2 ∂2u x |
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|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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|
−t |
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|
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|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
Задача |
7. Дано: |
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|
∂t 2 |
|
= a |
|
∂x2 |
+ |
|
|
e |
|
|
|
; |
начальные |
условия: |
|
u(x,0) = |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂u |
|
|
|
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|
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|
2πx |
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|
UDH2πct |
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
(x,0) = 0; краевые условия: u(0,t) = |
0; |
u(l,t) = e−t . |
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂t |
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∞ |
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(−1)n+1 |
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nπ |
E |
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|||||||||||||
|
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|
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|
x |
e−t + |
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|
2l |
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
Отв.: u(x,t) = |
|
l |
|
|
|
|
|
å |
|
n2 |
|
sin |
|
|
l |
x. |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
aπ |
2 n=1 |
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||||||||||||
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|
Задача 8. Туго натянутая струна с закрепленными концами x = 0 и x = l |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет в начальный момент смещение u = u0 sin |
2πx |
и отпускается из состояния |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Tl |
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l |
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|
l |
|
|
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|
|
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||||||||||
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покоя в этом положении. Найти смещение u = u(x,t) |
в любой момент t . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
S |
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|
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|
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|
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||||||||||
|
|
Отв.: u(x,t) = u0 sin |
|
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|
|
|
|
cos |
|
|
|
. |
|
|
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|||||||||||||||
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|
. |
|
|
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www |
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§ 4 Преобразование Фурье и его свойства |
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4.1. Преобразование Фурье |
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∞ |
f (x) | dx < ∞ . |
||||
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Пусть функция |
f (t) |
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является абсолютно интегрируемой, т.е. ò| |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Геометрически это означает, что площадь Q, |
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−∞ |
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ограниченная осью Ох и графиком |
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сигнала |
f (t) , конечна. |
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Q |
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t |
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42