Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
956.88 Кб
Скачать

31 www.studhelp.info

Подставим в (3.19) и (3.20) t = 0. Тогда с учетом начальных условий (3.12) и (3.13) будем иметь:

 

 

 

 

 

pn x = f (x),

 

 

u(x,0) = å An sin

 

 

 

n=1

 

 

 

l

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

(x,0) = å

apn

Bn sin

pn x = j(x).

 

t

 

 

l

ò

 

l

 

l

 

l

fo

 

 

n=1

 

f (x)

и ϕ(x) в ряды Фурье по синусам.

Мы получили разложение функций

Поэтому неизвестные коэффициенты определяются по стандартным формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

2

l

f (x) sin

pn

x dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

ò

j(x) sin

 

 

 

 

 

x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anp

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, решение задачи имеет вид (3.19), где коэффициенты определяются по

формулам (3.21) и (3.22). ▲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

пº3. Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

An = 0 , Bn =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDHsin x sin x dx = í4anp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

= a

2

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при условиях: u(x,0) = 0,

 

u

(x,0) =

1

sin

x

 

, u(0,t) = u(l,t) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

D Замечаем, что в нашей задаче f (x) º 0,

 

 

 

 

j(x) =

sin

x . Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

l

 

1

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

ì

 

 

, если

n = 3

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anp

0ò

8

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

ï0,

если n ¹ 3

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.A = 0 , B

3

=

 

12ap

,

 

 

B

 

= B

2

= B

4

= ... = B

n

 

= ... = 0.

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (3.19) выписываем ответ:

 

 

 

 

 

 

 

3aπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,t) =

 

 

 

l

 

 

 

 

sin

x sin

t . ▲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12ap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Рассмотрим теперь вынужденные колебания однородной струны с

закрепленными концами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

= a

 

x2

+ g(x, t) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.23)

начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = f (x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

32

 

www.studhelp.info

 

u

(x,0) = j(x);

 

(3.25)

 

 

 

 

t

 

 

краевые условия:

 

 

u(0,t) = u(l,t) = 0 ,

(3.26)

D Приступая к решению данной задачи, вновь воспользуемся идеей Фурье.

Решение будем искать в виде ряда

 

 

 

 

pn x

 

u(x,t) = åTn (t) sin

(3.27)

 

 

n=1

l

fo

 

 

 

 

 

 

 

с неизвестными коэффициентами Tn (t) .

Функция u(x, t) , определяемая соотношением (3.27), уже удовлетворяет

краевым условиям (3.26). Осталось подчинить (3.27) условиям (3 23), (3.24),

(3.25).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in

 

Силовую функцию g(x,t) также представим рядом Фурье .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

P

(3.28)

 

 

 

 

 

g(x,t) = ågn (t)sin l

x ,

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gn (t) =

 

 

g(x, t) sin

pn

x dx.

 

 

 

 

(3.29)

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

''

UDHæ anp ö

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом (3.27) и (3.28) уравнение (3.23) перепишется

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

æ np ö2

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

pn

 

 

 

åTn'' (t) sin

l

x

º a2 å- ç

 

 

 

÷

Tn

(t) sin

l

x

+ å gn (t) sin

l

x

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

n=1

è

 

l ø

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

åç

n

(t) + ç

 

 

 

÷

Tn (t) - gn (t)÷ sin

 

 

x º 0 .

 

 

 

 

n=1èTè l

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

l

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это тождество будет выполняться тогда и только тогда, когда выполняются

условия

 

 

 

 

æ anp ö2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

''(t) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

ç

 

 

 

 

÷

T (t) º g

n

(t) .

 

 

 

 

(3.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

è l

 

 

ø

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (3.30)

при фиксированном n N

 

решаем стандартно. Вначале

решаем соответствующее (3.30) однородное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'' (t) +

 

æ anp

ö2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

ç

 

 

 

÷ T (t) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

è

 

l

ø

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристическое уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2

 

 

æ anp ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

ç

 

 

 

÷

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è l

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

 

 

 

33

 

 

 

 

www.studhelp.info

имеет комплексные корни k

= ±i

anπ

. Поэтому общее решение однородного

 

 

 

 

1,2

 

 

l

 

 

 

 

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aπn

 

 

 

aπn

 

T

n

(t) = A cos

t + B

n

sin

t ,

 

 

 

 

n

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

где An и Bn – произвольные постоянные.

 

Общее решение неоднородного уравнения (3.30) ищем по методу Лагранжа,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

варьируя произвольные постоянные в общем решении однородного уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

(t) = A

 

(t) cos

aπn

t + B

n

(t) sin

aπn

t .

 

 

 

 

(3.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для отыскания An (t) и Bn (t) выписываем систему Лагранжа:

ì

'

 

 

 

apn

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

ï

A (t) cos

 

 

 

t + B

n

(t) sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

ï

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

í

 

apn

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï-

A'

(t) sin

t + B'

 

(t)

apn

 

cos

 

t = g

n

(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

l

n

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решаем ее по правилу Крамера:

aπn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gn (t)

 

 

 

 

aπn

cos

aπn

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

aπn

 

 

 

 

 

 

 

A'

(t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

g

 

(t) sin

t,

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

cos

aπn

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

aπn

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anπ

 

 

n

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

aπn

sin

aπn

t

 

 

 

 

aπn

cos

aπn

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

aπn

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (t) = A

 

-

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

t

g

 

 

 

 

(

t) sin apn t dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

-

aπn

sin

 

 

aπn

t

 

 

 

 

 

 

gn (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aπn

 

 

 

 

 

 

 

 

B

' (t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

l

g

 

(t) cos

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

cos

 

aπn

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

aπn

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anπ

 

n

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

aπn

sin

aπn

t

 

 

 

 

 

aπn

cos

aπn

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируем эти дифференциальные уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anp ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn (t) = Bn

 

+

 

l

 

 

t gn (t) cos

apn

t dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anp ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An

 

 

Bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величины

 

 

 

и

 

в правых частях полученных соотношений являются

произвольными числами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя найденные функции в формулу (3.31), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

(t) = A

cos

aπn

 

t + B

 

sin

aπn

t +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

apn

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

ò gn (t)êcos

 

 

 

 

 

 

 

 

tsin

 

 

 

 

 

 

t - sin

 

 

 

 

 

tcos

 

 

 

tú dt

 

 

 

 

 

 

 

anp

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

l

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l t

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

(t) = A

 

cos

 

 

l

 

 

 

t

+ B

n

sin

 

 

l

 

 

t +

 

 

anp

ò

g

n

(t) sin

 

 

i(nt - t) dt.

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем эти Tn (t )

в формулу (3.27):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l t

P apn

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

é

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

ù

 

u(x,t) = åsin

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò gn (t) sin

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

l

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

t + Bn sin

 

 

 

 

l

 

 

 

t + anp

 

l

 

 

 

 

 

 

êAn cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t - t) dtú

 

 

n=1

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

UDHå n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.32)

û

 

Полагая, что ряд в (3.32) можно почленно дифференцироватьE

 

 

 

 

 

 

 

 

по t , найдем

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

apn

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

åsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, t) =

 

 

 

 

 

xê- An

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

+ Bn

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

tú .

 

 

(3.33)

 

 

t

 

 

l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

При t = 0 формулы (3.27) и (3.33) с учетом начальных условий (3.24) и (3.25)

дают:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) =

 

 

 

A

 

sin

 

pn

x

 

f (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

T

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

u

 

 

(x,0) = åBn

 

sin pn x

 

 

 

=

 

 

j(x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

и ϕ(x)

 

в ряды Фу-

 

Замечаем, что здесь мы имеем разложение функций

 

 

рье, поэтому коэффициенты определяются так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

=

 

2

 

l

 

f (x) sin

 

pn

x dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn

=

 

 

 

2

 

 

 

j(x) sin

 

 

pn

x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, ответ есть (3.32) с учетом (3.29), (3.34) и (3.35). ▲

пº4. Дано уравнение колебаний однородной струны

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

= a

2

 

2u

 

+ e

t

sin

p

x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = sin

 

x,

 

x Î[0,l];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x,0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

краевые условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(0, t) = u(l, t) = 0,

 

t ³ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

inl

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти u(x,t) – закон движения точек струны со временем t .

 

 

 

 

 

 

 

D Замечаем, что в нашей задаче

 

g(x,t) = et sin

 

x ,

f (x) = s

 

 

 

x, j(x) = 0

 

 

 

 

 

для x Î[0,l], t ³ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

.

 

 

 

 

1 шаг: находим по формуле (3.29):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

ì t

, n =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

(t) =

 

 

 

e

t sin

 

 

 

 

x sin

 

 

 

 

x dx =

í

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

l ò

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDHò

 

 

 

î0, n > 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2 шаг: находим по формуле (3.34):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eì1, n = 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

l

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

 

 

 

pn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An =

 

 

ò sin

 

 

 

 

x sin

 

 

 

x dx

=

í0, n =1,3,4,....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 шаг: находим по формуле (3.35), что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 шаг: ориентируясь на формулу (3.32), выписываем ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,t) = cos

2ap

t sin

2p

x +

l t

e−τ sin

ap

(t - t) dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ap 0

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, интегрируя по частям, окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

S

2u = a2

2u

æ

 

 

 

 

 

 

 

aπ

 

 

 

l3

 

 

aπ

 

ö

 

 

 

(3.36)

+ g(x, t) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

2

e

t

ç

- cos

 

 

 

t +

 

 

 

 

sin

 

t

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

2aπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

aπ

 

 

l

 

÷

 

 

π

 

 

u(x,t) = cos

 

l

 

t sin

l

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(aπ )2 + l 2

 

 

 

 

 

sin

l

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5. Рассмотрим теперь задачу колебания однородной струны в самой

общей постановке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начальные условия:

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = f (x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

 

 

36

www.studhelp.info

 

u

(x,0) = ϕ(x);

(3.38)

 

t

 

 

 

краевые условия:

 

 

 

u(0,t) = m1(t);

(3.39)

 

u(l,t) = m2(t) ,

(3.40)

 

 

x Î[0,l], t ³ 0.

 

Предполагается, что g(x,t), f (x), j(x) непрерывные функции, а m1(t), m2 (t) –

дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Найти функцию u(x,t) , удовлетворяющую условиям (3.36) – (3.40).

Идея решения этой задачи состоит в том, чтобы, вводя вспомогательную

функцию v(x,t) , свести данную задачу к предыдущей.

 

 

 

 

 

fo

 

Пусть решение имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

u(x,t) = v(x, t) + μ1(t) +

 

(μ2 (t) − μ1(t)). .

(3.41)

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратим внимание на то, что у функции v(x,t)

будут нулевые краевые усло-

вия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

u(0,t) = v(0, t) + m1(t) = m1

(t) Þ v(0, t) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

u(l,t) = v(l,t) + m2(t) = m2(t) Þ v(l,t)

=

0 .

 

 

 

 

 

 

Выясним, какому дифференциальному уравнению удовлетворяет функция

v(x,t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

(x,t) =

v

(x,t) + μ1' (t) +

x

 

(μ'2 (t) − μ1' (t)),

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

(μ2'' (t) − μ1'' (t)),

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

(x, t) = 2v

(x, t) + μ1'' (t) +

x

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDHu v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

x2 = x2 .

 

 

 

2u

 

2u

 

 

 

 

 

Подставляя в уравнение (3.36) выражения для

и

, получим:

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v

= a2

2v

+ g(x, t) − μ1'' (t) −

x

'2'

(t) − μ1'' (t)).

 

(3.42)

 

t 2

x2

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, силовая функция g1(x,t)

в уравнении (3.42) имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

g (x,t) = g(x,t) − μ''(t) −

x

(μ''

(t) − μ

''(t)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

l

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выведем теперь начальные условия для функции v(x,t) . Полагая t = 0 в фор-

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мулах (3.41) и (3.42), получаем

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = v(x,0) + μ1(0) +

 

(μ2 (0) − μ1(0)) = f (x) ,

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

u

(x,0) =

 

v

 

(x,0) + m1' (0) +

x

 

(m'2 (0) - m1' (0))= j(x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(x,0) = f (x) - m1(0) -

(m2 (0) - m1(0)) = f1(x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

(x,0) = j(x) - m'

(0) -

x

(m'

(0) - m' (0))= j (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

fo

 

 

å

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

Итак, для функции v(x,t)

 

 

мы можем воспользоваться решением предыдущей

задачи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l t

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

pn é

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ap

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

v(x, t) =

 

sin

 

 

 

xêA

cos

 

 

 

 

 

 

 

t + B sin

 

 

 

 

 

 

t +

 

 

 

 

g

 

 

 

(t) sin

 

 

 

(t - t) d

,

 

 

 

 

 

l

 

ê

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anp

 

 

 

 

 

.

 

 

ú

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

P

 

 

(3.43)

û

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1n (t) =

2

 

 

g1(x,t) sin

 

 

pn

 

x dx.

 

 

 

 

 

(3.44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

=

 

2

 

 

l

f (x) sin

pn

x dx,

 

 

 

 

(3.45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH= a

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

l

0ò

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

=

 

 

 

2

 

 

 

l

 

j (x) sin

pn

x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.46)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

anp ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдя v(x,t) , получим решение исходной задачи по формуле (3.41). ▲

 

 

 

пº5. Дано:

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) =

 

;

 

t

 

(x,0)

=

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

краевые условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(0,t) = 0;

u(l,t) = et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D Находясь в условиях задачи 4, выпишем данные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x,t) = 0, f (x) =

x

,j(x) = 0,m (t) º 0,m

2

 

(t) º et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому решение записываем по формуле (3.41):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,t) = v(x, t) +

 

 

 

 

e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для функции v(x,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выпишем необходимые исходные данные:

 

 

 

 

 

 

39

38 www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (x,t) = -

x

 

et ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f1(x) =

 

 

f (x) -

 

 

e

t

 

 

 

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j (x) = j(x) +

 

et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t=0

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем по формулам (3.44), (3.45), (3.46):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

x t

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 t l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1n (t) =

 

 

 

ò -

 

 

 

e

 

 

sin

 

 

 

x dx = -

 

 

 

 

 

e

 

 

ò x sin

 

 

 

 

 

 

 

x dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

l 2

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ù

 

 

u = x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du = dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

xl

 

 

 

 

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

il

 

 

πn

 

ú

 

=

 

 

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

= -

 

 

2

 

e

t

ê-

 

 

 

 

cos

 

 

 

x .+

ò cos

 

x dxú

=

 

dv

= sin

 

 

 

 

x dx;

 

 

v = -

 

 

cos

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

0

 

 

 

nπ 0

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nπ

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

14243ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

û

 

=

2

 

et (-1)n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An

=

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

sin pn x dx =

 

 

 

 

2

 

 

 

é

 

 

 

 

 

l

2

 

 

(-1)n

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

2l

 

 

 

(-1)n+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê-

 

 

 

 

 

ú

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anpl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anp ò l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

np

 

 

 

 

 

 

 

ú a(np)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда v(x,t) восстанавливаем по формуле (3.43):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

é

 

 

 

2l

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

apn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

t

2

 

 

 

 

 

−τ

 

 

 

 

n

 

 

 

apn

 

 

 

 

ù

 

v(x, t) = åsin

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

l

xê

 

 

 

 

 

 

(-1)

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

+

 

 

 

 

e

 

 

 

(-1)

 

 

sin

 

 

 

 

(t - t) dtú.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

anp

np

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

ëa(np)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А далее воспользуемсяTтабличной формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wwwn

 

 

t

 

eaτ sin b(t -τ ) dτ = beat - b cos bt - a sin bt .

 

 

 

 

 

 

t ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lanπ çe

- t

- cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t ÷ + l 2 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

+ b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

-τ sin

anπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anπ

 

e

- t

-

anπ

cos

 

anπ

 

t + sin

anπ

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò e

 

(t -τ ) dτ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ anπ ö

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2l(-1)

 

 

 

 

 

 

πn

 

é

 

 

 

aπn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

anπ

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

anπ

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

ú

 

 

 

 

v(x, t) = å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

x

- sin

 

 

 

 

 

 

 

t +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(anπ )2

+ l 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

n=1 a(nπ )2

 

 

 

 

l

 

ê

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

По формуле (3.41) восстанавливаем решение:

40

39

www.studhelp.info

u(x, t) =

x

e

- t

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

æ

- t

 

anπ

ö

 

2

 

anπ

 

 

 

 

 

 

 

êlanπ çe

 

- cos

 

t ÷

+ l

 

sin

 

t

2l

 

 

 

 

 

l

 

l

+ å

 

 

(-1)n sin

πn xê

è

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(anπ )2 + l 2

 

 

 

 

n=1 a(nπ )2

 

 

 

l ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ù

aπn ú

- sin l túú.

ú

û

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

.

 

Задача 1. Пусть на пространстве C[a,b] определен функционал

 

 

δ x0

= f (x0 ), f (x) C[a, b],

P

 

 

называемый δ-функцией. Показать, что этот функционал линейный и найти его

норму.

||=1.

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: || f x0

E

 

 

 

 

 

Задача 2.

Пусть ϕ0 (x) C[a,b] – фиксированная функция. Для любой

 

 

 

 

b

 

 

 

f (x) C[a,b] определим функционал формулой F( f (x)) = ò f (x0 (x) dx . По-

a

казать, что этот функционал линейный и найти его норму.

b

Отв.: || F ||= ò| ϕ0 (x) | dx = 1.

a

Задача 3. В указанной области при всех значениях параметра λ найти от-

личные от тождественного нуля решения y = y(x)

краевой задачи:

 

 

y''+λy = 0, y(1) = 0, y'(2) = 0,1 ≤ x ≤ 2;

 

 

 

Задача 4. Методом Д’АламбераUDHнайти уравнение u = u(x,t)

формы однород-

 

T

 

2u

= a2

2u

, если в на-

ной бесконечной струны, определяемой уравнением

t

2

x2

www

t

 

 

 

 

чальный момент.St = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой x

определяются заданными функциями: u(x,0) = x(2 − x),

u(x,0) = ex ;

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

Задача 5. Найти решение u = u(x,t) уравнения

2u

= c2

2u

,0 ≤ x L,t > 0,

t 2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

удовлетворяющего граничным условиям u(0,t) = 0,u(L,t) = 0,t > 0, и началь-

ным условиям u(x,0) = f (x), u(x,0) = g(x).

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nπx æ

 

 

 

 

 

 

nπx

 

 

 

 

 

nπx ö

 

 

 

2 L

 

 

 

nπx

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: u(x,t) = åsin

 

 

 

 

 

 

ça

 

 

cos

 

 

+ b sin

 

 

 

 

 

÷,a

 

=

 

 

 

f (x)sin

 

dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L 0ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

n=1

 

 

 

L

è

 

n

 

 

 

 

L

 

 

n

 

 

 

L

ø

 

n

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

nπx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn =

 

ò g(x)sin

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nπL

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Найти уравнение u = u(x,t)

колебаний струны, описываемых урав-

 

нением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,0) = a sin

πx

,

 

u(x,0) = 0 .

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

= c2

2u

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если концы закреплены в положении u(0,t) = 0,u(l,t) = 0,

а начальное положе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

in

 

ние струны и начальная скорость точки х задаются условиями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: u(x,t) = a sin

πx

cos

πx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

2u

 

 

l

2 2u x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Задача

7. Дано:

 

 

 

 

t 2

 

= a

 

x2

+

 

 

e

 

 

 

;

начальные

условия:

 

u(x,0) =

 

 

;

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

l

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

UDHct

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x,0) = 0; краевые условия: u(0,t) =

0;

u(l,t) = et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(−1)n+1

 

 

 

 

 

nπ

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

et +

 

 

2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: u(x,t) =

 

l

 

 

 

 

 

å

 

n2

 

sin

 

 

l

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aπ

2 n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8. Туго натянутая струна с закрепленными концами x = 0 и x = l

 

имеет в начальный момент смещение u = u0 sin

x

и отпускается из состояния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tl

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

покоя в этом положении. Найти смещение u = u(x,t)

в любой момент t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: u(x,t) = u0 sin

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

§ 4 Преобразование Фурье и его свойства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1. Преобразование Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) | dx < ∞ .

 

 

Пусть функция

f (t)

 

 

является абсолютно интегрируемой, т.е. ò|

Геометрически это означает, что площадь Q,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ограниченная осью Ох и графиком

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сигнала

f (t) , конечна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

t

 

42

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]