SMMiF_bsuir

51

www.studhelp.info

f [0]

F[0]

f [1]

f [n]

f [N − 1]

F[1]

F[m]

F[N − 1]

1

n

N − 1

t

0

1

m

N −1

N ω

1

fo

N

N

N

n

i

Аналитическая форма упомянутых формул анализа и синтеза имеет вид:

N −1

i

2πmn

.

f [n] =

,

P

(4.7)

å F[m]e

N

m=0

2πmn

1

N −1

−i

F[m] =

L

å f [n]e

N .

(4.8)

N n=0

Если известны площади N

f [0],

f [1],..., f [n],..., f [N − 1]

импульсов

для вре-

E

менного сигнала f (t) стандартного периода Т=1, то соответствующие площади

N импульсов

F[0], F[1],...,F[m],...,F[N −1]

для F(ω) определяются по форму-

лам (4.8) –

это анализ.

Если же

известны

площади

N импульсов

F[0],..., F[m],..., F[N − 1]

для спектральной характеристики сигнала, то его вре-

ский характер f (t) и F(ω) , результирующие выражения (4.7) и (4.8) уже не

UDH

T

S

зависят от периодичности.

Каждая из систем уравнений (4.7) и (4.8) взаимно обратима. При этом вели-

чины F[0], F[1], ,F[m],...,F[N −1] называют дискретным преобразованием

Фурье по заданной.совокупности f [0], f [1],..., f [n],..., f [N − 1].

f [0], f [1],..., f [7] по заданной системе чисел

F[0],.F[1],..., F[7]. Согласно фор-

мулам (4.7), имеем:

www

2πmn

7

f [n] = å F[m]ei

8 .

m=0

52

www.studhelp.info

i 2πn

Ясно, что

f [n] = fчетное[n] + fнечетное[n]e

8 ,0 ≤ n < 8.

2πn

2π ×2n

2π ×3n

четное[n] = F[0] +

i

i

i

f

F[2]e

4

+

F[4]e

4

+ F[2]e

4

,

(4.9)

fнечетное[n] = F[1] +

i

2πn

i

2π ×2n

i

2π ×3n

F[3]e

4

+ F[5]e

4

+

F[7]e

4 .

(4.10)

Отметим, что fчетное[n] и fнечетное[n]

находятся одним оператором, только в

операторе (4.9) участвуют значения F[0],.F[2], F[4], F[6], а в операторе (4.10) –

значения F[1], F[3], F[5], F[7]. Вычисление операторов fчетное[

] и

нечетное[n]

легко запрограммировать, введя дополнительный параметр n ,

принимающий

значения 0,1,2,3,...,7.

fo

n

Формулы (4.7) и (4.8) являются практическим инструментомiдля цифровой

.

обработки сигналов: если нам дана частотная характеристика сигнала F(ω) и

ω [0, N)

–

главный

набор

частот,

то,

вычисляя

значения

F[0], F[1],...,F[m],...,F[N −1]

и подставляя

их

в

системуP(4.7),

находим

f [0], f [1],..., f [n],..., f [N − 1].

Откладывая найденные числа на временном от-

L

резке [0,1] и соединяя полученные точки кривой, восстанавливаем картину ис-

ходного сигнала:

E

f [0]

f [1]

f [n]

f [N − 1]

0

1

n

N − 1

1

N

N

n

UDH

4.7. Краткая таблица преобразований Фурье

T

Учитывая результаты пунктов 4.1 – 4.7, построим таблицу преобразований

Фурье.

S

.

Таблица 2. Краткая таблица преобразований Фурье

№

f (t)

F(ω)

1

+∞

+∞

f (t) = ò F(ω) ei2πωtdω

F(ω) = ò

f (t) e−i2πωtdt

−∞

−∞

2

δ(t)

1

www

3

1

δ(ω)

4

ei2πω0t

δ(ω − ω0 )

5

sin 2πω0t

δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )

54

www.studhelp.info

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Доказать, что если

f (t) ↔ F(ω) , то tf (t) « -

1

dF(ω)

.

i2p dw

Задача 2. Для функции f (t)

найти спектральную характеристику F(ω) :

а) f (t) = e−α|t| sgn(t), a > 0; б) f (t) = sgn(t) ;

fo

ì1,t > 0,

в) 1(t) – единичная функция Хевисайда:.1(t) = í

− i4πω

î0,t < 0.

n

Отв.: а) F(ω) =

; б) F(ω) =

1

; в) F(ω) =

1

+

1

δ

(ω).

2 + (2πω)2

i2πω

α

iπω

2

∞

∞

.

Задача 3. Формально применив симметричное преобразование Фурье к δ-

функции, получить формулы:

i

а) òei2πωt dω = δ (t); б) òei2πω(t−t0 )dω = δ (t - t0 ) .

L

−∞

−∞

E

Задача 4. Найти преобразование Фурье (несимметричноеP) функций:

а) f (t) = cos αt; б)

f (t) = sin αt.

Отв.: а) F(ω) = 2π(δ(ω + α) + δ(ω − α)); б) F(ω) = i2π(δ(ω + α) − δ(ω − α)).

Задача 5. Найти симметричное преобразование Фурье функций:

f (t) = δ(t);

Отв.: 1.

T

f

Задача 1. Рассмотрим сигнал

ì1,

| t |£ T,

S

1

прямоугольной формы f (tUDH) =

í

| t |> T.

î0,

Найдем для него спектральную функцию:

-T

T

t

wwwнулю, если ω → ∞ , и

∞ .

T

t=T

= ei2πωT − e−i2πωT

= sin 2πωT .

F(ω) = ò f (t)e−i2πωtdt = ò f (t)e−i2πωtdt = e−i2πωt

−∞

−T

− i2πω

t=−T

i2πω

πω

Исследуем график F(ω) . Синусоида sin 2πωT колеблется между графиками

функций A(w) =

1

и - A(w) = -

1

. Амплитудная функция

1

стремится к

pw

pw

pw

lim

F(w) = lim 2T

sin 2πωT

= 2T ,

2Tpw

ω→0

ω→0

55

www.studhelp.info

так как, согласно первому замечательному пределу,

lim

sin 2πωT =1. Отме-

тим, что первыми нулями для F(ω) будут w = ± 1

ω→0

2Tpw

. Итак, график функции

F(ω) имеет вид

2T

2T

F(ω)

fo

sin 2πωT

pw

1

1

n

-

ω

2T

2T

.

Заметим, что основная информация о функции F(ω) сосредоточена на отрез-

é

1

1 ù

P

,

. На остальных участках числовой оси модуль функции F(ω)

ке ê-

2T

ú

ë

2T û

L

резко идет на убыль. Отметим еще, что чем меньше значение Т, тем шире отре-

é

1

,

1

ù

E

sin 2πωT

. И наобо-

зок ê-

2T

2T

ú максимальной значимости функции F(w) =

pw

ë

û

é

1

,

1

ù

рот, чем больше Т, тем уже отрезок ê-

2T

ú .

ë

2T û

Согласно принципу дуальности имеем

ì1,

| w|£ T,

sin 2pTt « F(w) = í

| w|> T.

pt

î0,

UDH

5.2. Схема простого модулятора

T

Рассмотрим видеосигнал fB (t) с ограниченным спектром частот.

S

.

fB (t)

| FB (ω) |

t

− ωmax

ωmax

t

Выясним, как

fB (t) передается в эфир и улавливается приемником.

wwwI. Вначале видеосигнал

fB (t) подается на умножительное устройство, схема

которого такова:

56

www.studhelp.info

fB (t)

f p (t) = fB (t)cos2πω0t

cos 2πω0t

умножительное

устройство

Оператор, соответствующий этому умножительному устройству,

называется

fo

амплитудным модулятором (АМ). Он преобразует видеосигнал

fB (t) в радио-

сигнал

f p (t) = fB (t)cos2πω0t .

Найдем спектральную схему этого устройства:

i

fB (t) ↔ FB

(ω);

.

cos2πω t ↔

1

[δ(ω − ω

) + δ(ω + ω

)]

n

0

0

P

2

Тогда f p (t) = fB (t)cos2πω0t будет соответствовать свертка

1

L

F (ω)*

[δ(ω − ω ) + δ(ω + ω

)].

B

2

0

E

0

Напомним две теоремы соответствия f ↔ F :