Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
956.88 Кб
Скачать

61

www.studhelp.info

 

 

 

 

z

f

(t) =

F0 sin ω0t + i F0 (1− cosω0t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

πt

 

 

 

πt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14243

1442443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F0ω0 sin ω0t

 

f (t)

 

 

 

 

 

причем

сигнал

f (t) =

,

а

сопряженный

сигнал

 

 

2 ω0t

 

 

 

π

ω0t

 

 

 

 

 

 

 

~

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = F0ω0

ω0t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

что если в точке t

 

 

 

f (t)

 

 

 

 

 

Примечательно,

k

функция

имеет экстремум (макси-

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

мум или минимум),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (tk ) = 0. Обратное также верно: еслиif (tk ) = 0 , то

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

функция f (t) будет иметь экстремум в точке tk . Проиллюстрируем сказанное

геометрически:

 

 

 

 

 

 

 

f

 

F ω

0

Psin ω t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

ω

t

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

L 0

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0

 

 

Eω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

F0ω0 sin ω0t

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

π

ω0t

 

 

 

 

 

T

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63

62

www.studhelp.info

5.5. Спектральная характеристика аналитического сигнала

Пусть z f (t) – аналитический сигнал для

f (t) , а Z f (ω) – его спектральная

характеристика. По определению аналитического сигнала имеем

zf (t) = 1 +∞ò F(ω)eiωt dω .

π0

Сдругой стороны, в соответствии со свойствами преобразований Фурьеfo:in0,w >ì2F(w),

 

 

 

 

 

Z f (w) = í

 

 

 

 

 

 

.

(5.3)

 

Отметим, что если

 

î0, w < 0.

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) ↔ F(ω) ,

L

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) « F(w) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FUDH(w) = -iF (w)sgn(w) .

 

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

~

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

z f (t) = f (t) + i f (t) « F(w) + i F(w) = Z f (w) .

 

(5.4)

 

Сравнивая формулы (5.3) и (5.4), замечаем, что спектральная характеристика

сопряженного сигнала должна иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

ì- iF(w),

 

w > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

F(w) =

í

 

w < 0,

 

 

 

 

т.е.

 

 

T

îiF(w),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что сопряженный сигнал можно восстановить как свертку функ-

ций, соответствующих F(ω) и − isgn(ω) . Напомним соответствующую теоре-

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

му:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

 

 

 

f (t) ↔ F(ω) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(t) ↔ Φ(ω),

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f * j = ò f (u)j(t - u)du = òj(u) f (t - u)du « F(w)F(w) .

 

 

 

 

−∞

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Несложно показать, что имеет место соответствие

 

 

 

 

 

 

 

 

sgn(t) «

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ipw

 

 

 

 

Умножая последнюю формулу на i , получим

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

isgn(t) ↔

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а по дуальности

 

 

 

 

 

 

 

πω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(t) =

isgn(−ω) = −isgn(ω) = Φ(ω) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как, согласно условию,

 

 

 

 

f (t) ↔ F(ω) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то, используя теорему умножения спектральных функций, будем иметь:

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = f * ϕ = f (t) *

 

 

↔ −isgn(ω)F(ω) = Φ(ω)F(ω) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Итак, сопряженный сигнал f (t) есть свертка функций

f (t) и

 

:

 

 

πt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

1

 

 

f (u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

ò

 

 

du = H ( f )

 

 

 

 

(5.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

−∞

 

 

t u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (5.6) демонстрирует прямое преобразование ГильбертаP

. Оператор H

в формуле (5.6) называется оператором Гильберта. Он позволяет по данному

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.7)

 

 

 

 

f (t) = UDH− 1 f (u)du = H −1 ( f ).

 

 

 

 

 

 

сигналу f (t) построить сопряженный сигнал

 

f (t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формулы (5.5) найдем F(ω) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω) = i F(ω)sgn(ω).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом,

используя теорему умножения спектральных функ-

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

ций, несложно восстановить сигнал

 

 

f (t) по сопряженному сигналу

f (t) :

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

t u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (5 7) демонстрирует обратное преобразование Гильберта. Опера-

www

 

f (t) = H

−1 ( f (t)) = −

π

 

−∞ò

 

t udu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тор H −1 называется оператором обратного преобразования Гильберта.

 

 

 

Замечание. Прямое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

f (u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = H ( f (t)) =

π

 

ò

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и обратное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

f (u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

преобразования Гильберта – это интегральные преобразования с ядром

 

 

1

.

 

t

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Несобственные интегралы в преобразовании Гильберта обычно понимают в смысле главного значения вблизи особой точки u = t :

65

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

~

1

é

t−ε

 

f (u)

 

 

 

f (u)

 

ù

 

f (t) =

ê

 

ò

 

du + ε→0lim

ò

 

du

ú

 

 

êε→0lim

 

 

 

 

 

 

,

p

t - u

t - u

 

ú

 

 

ë

−∞

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

û

 

 

 

1

é

t−ε

~

 

 

~

 

 

ù

 

 

 

ê

 

f (u)

 

 

f (u)

 

ú

 

f (t) = -

 

 

êlim

ò

 

 

 

 

du + lim

ò

 

 

 

duú .

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êε →0 −∞ t - u

ε →0 tt - u

 

ú

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

5.6. Преобразование Гильберта для гармонических сигналов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

Найдем значения оператора Гильберта H для простейших гармонических

функцийcos ωt, sin ωt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

Пусть

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

– произвольный сигнал, для которого F(ω) – спектральная ха-

рактеристика. Тогда, согласно обратному преобразованию Фурье,

f (t) восста-

навливается в виде интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

 

òF(w)[coswt + isin wt]dw. P

 

 

(5.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что у сопряженного сигнала

f (t) спектральная плотность есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

isgn(ω) F(ω) и f (t) также можно восстановить с помощью обратного преоб-

разования Фурье в виде интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

f (t) =

 

 

ò- i sgn(w)F(w)[cos wt + i sin wt]dw =

 

 

 

òi sgn(w)F(w)[sin wt - i cos wt]dw.

 

2p

 

2p

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя к обеим частям UDHформулы (5.8) оператор Гильберта H и используя

формулу (5.9), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5 8)

 

 

æ

1

 

T

ö

 

1

 

 

 

 

 

H ( f (t))

 

 

 

 

 

ç

 

 

ò

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

ò F(ω)[H (cosωt) + iH (sin ωt)]dω =

 

= Hç

 

F (ω)[cosωt + i sin ωt]dω ÷ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èS−∞

 

ø

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

~

(5.9)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= f (t)

=

 

 

 

ò sgn(ω)F(ω)[sin ωt - i cosωt]dω.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая последние два интеграла, замечаем, что справедливы соотношения

 

www

 

 

 

 

H (cosωt) = sgn(ω)sin(ωt) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H (sin ωt) = −sgn(ω)cos(ωt) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

66

65

www.studhelp.info

5.7. Преобразование Гильберта для узкополосного сигнала

 

Мы уже отмечали, что если fB (t) –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(ω)

 

 

узкополосной сигнал (т.е. его

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спектральная функция имеет

 

 

 

 

 

 

 

 

-w

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

график только на узкой полосе частот),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то сигналы fB (t)cosω0t и

fB (t)sin ω0t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

также будут узкополосными. Следовательно, общий вид узкополосного сигнала

такой:

 

 

 

 

~

 

 

 

 

Bs (t)sin ω0t ,

 

 

 

n

 

 

 

 

s(t) = As (t)cosω0t

 

 

 

 

(5.10)

As (t) и Bs (t)

– произвольные узкополосные сигналы.

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Для сигнала (5.10) удобно ввести комплексную низкочастотную функцию

 

 

 

 

 

 

U (t) = As (t) + iBs (t) ,

~

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

называемую огибающей для сигнала s(t) . Ее можно представить графически

в виде вектора комплексной плоскости,

 

E

Im z

 

 

исходящего из начала

 

 

 

 

 

 

 

U s (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат, конец которого с

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изменением t

описывает

 

 

 

 

 

 

ϕs (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

некоторую кривую.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re z

 

Комплексное колебание с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

амплитудной функцией U s (t) и несущей частотой ω0 выглядит так:

 

~

= (As (t) + iBs (t))(cos

ω0t + i sin ω0t) = As (t) cos ω0t Bs (t) sin ω0t +

 

U s (t)eiω0t

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

1444442444443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ i[Bs (t) cos ω0t +

As (t) sin ω0t].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

iω0t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вещественная часть функции U

 

(t)e

есть наш сигнал (5.10).

 

 

 

 

 

 

 

Огибающая сигнала s(t) , т.е. амплитудная функция,

в любой момент време-

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

As2 (t)

+ Bs2(t) = U s (t) .

 

 

 

 

 

ни t равна |U s (t) |=| s(t) |, |U s |=

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

s(t) = U s (t)cos(ϕs (t) + ω0t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

As (t) = U s (t)cosϕs (t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bs (t) = U s (t)sin ϕs (t) ,

 

 

 

 

 

 

где ϕs (t) – начальная фаза в момент времени t , ω0 – несущая частота.

 

 

Обозначим через ψs (t)

полную фазу узкополосного сигнала в момент време-

ни t :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψs (t) = ϕs (t) + ω0t .

67

 

 

 

 

 

66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

Тогда

dψs (t)

= ϕ's (t) + ω0

мгновенная частота в момент времени t .

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комплексное колебание (5.11) является аналитическим сигналом для сигнала

s(t) . Тогда коэффициент при мнимой части у него есть сопряженный к s(t)

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сигнал s(t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

s(t) = Bs (t)cosω0t + As (t)sin ω0t ,

 

 

 

 

 

 

 

s(t) = As (t)cosω0t Bs (t)sin ω0t .

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

Сигналы s(t)

и s(t) : 1) ортогональны друг к другу на всей

 

числовой оси: s(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

s(t) ; 2) модули их комплексных огибающих одинаковы:

P

n

 

 

 

~

 

= As (t)

iBs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U s

(t),

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Bs (t)

+ iAs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U s~

(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

|= A2 (t) + B2

(t) =

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|U s

U sL(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому s(t)

~

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и s(t) несут одинаковую энергию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перечислим еще раз основные свойства преобразования Гильберта.

Пусть f (t) – вещественный сигнал. Ему ставится в соответствие аналитический сигнал

T

~

z f (t) = f (t) + i f (t) ,

 

имеющий спектральную функцию Z f (ω) лишь для положительных частот ω ;

причем

 

S

 

www

 

 

Re z f (t) = f (t) – исходный сигнал;

 

 

 

~

 

 

. Im z f

~

 

 

(t) = f (t) – сопряженный сигнал;

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

H ( f ) = f (t) – прямое преобразование Гильберта;

 

 

H −1

~

= f (t) – обратное преобразование Гильберта.

 

 

( f )

 

Огибающая сигнала

f (t)

(если он радиосигнал) равна модулю | z f (t) | анали-

тического сигнала z f (t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Полная фаза к моменту t : arg z f (t) = arctg ff ((tt)) = ψ f (t).

68

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

67

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

d

æ

~

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частота к моменту t : w f (t) (t) =

 

y f (t) =

 

ç

f (t) ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

f (t) ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

ø

f p (t) = f (t)cosω0t , равна

 

Опорная, самая выгодная частота для радиосигнала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

æ ~

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w0 = max w f (t)

(t) = max

 

ç

f (t)

÷

. Для частоты

ω0

 

спектр частот для f p (t)

 

 

 

 

ç

 

 

 

÷

 

 

dt

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет двуполостным.

 

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что

 

f (t)

~

 

 

 

ортогональны на всей числовой оси,

т.е., образно

 

 

и

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

говоря, если

f (t) вблизи t

ведет себя как косинус, то

f (t) – какiсинусn.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Дан идеальный полосовой сигнал

f (t) , спектральная характери-

стика для положительных частот имеет вид

 

 

 

 

 

 

LìF ,w £ w £ w

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

F(w) = í

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

UDH1

2

 

î

0,(0,w ) È (w

2

,).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти: аналитический сигнал, огибающую для исходного полосового сигна-

ла, мгновенную частоту сигнала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: z

f

(t) =

 

F0

(sin ω

2

t - sin ω t - i(cosω

2

t - cosω t));

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

- ω

 

 

)

 

sin

ω2

- ω1

t

 

 

 

 

 

 

ω + ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

f

(t) =

 

0

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

; ω

f

(t) =

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

- ω

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

í

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ìn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

(t) = ï2 ,| t |£ n , схо-

 

Задача 2. ДоказатьS, что последовательность функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï0,| t |>

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

дится к δ-функции.

§ 6. Решетчатые функции и их свойства. Z-преобразование, его свойства и приложения

6.1. Решетчатые функции

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используются решетчатые функции.

69

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

 

www.studhelp.info

Пусть дана непрерывная функция f (t)

(рис. 6.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

f(1)

 

 

 

f (t)

 

 

 

 

 

f(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

f(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

t

 

Пройдем по оси t

с шагом

 

 

 

Рис. 6.1

fo

T =1 и найдем множество значений функции

f

целочисленного аргумента n Z :

{ f (n)} = {K, f (−n),K, f (−1), f (0), f (1),K, f (n),K}

Если значения этого множества изобразить в виде отрезков, исходящих из то-

чек n оси t , то получим картину, напоминающую решетку. Поэтому { f ( )} на-

зывается решетчатой функцией.

 

 

in

 

Заметим, что для инженера, как правило, неинтересно течение.процесса,

описываемого функцией f (t) , для времени t < 0 (т.е. до начального момента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

времени), поэтому в дальнейшем мы вновь обратимся к преобразованию Лап-

ласа, но применять его будем уже к решетчатым оригиналам.

 

Напомним, оригинал

f (t) – это функция, подчиненнаяLтрем условиям:

1)

 

 

 

UDH

 

f (t) – кусочно-непрерывна на всей оси t с точками разрыва 1-го рода;

2)

f (t) =0 для t < 0;

 

 

 

 

E

 

 

3) при t R имеет место неравенство |

f (t) |≤ M 0es0t . Это условие дает

ограничение в росте для |

f (t) | по сравнению с некоторой показательной функ-

цией M 0es0t , где M 0

и s0 – некоторые постоянные, M 0 > 0, а s0 ≤ 0 .

 

 

 

 

T

 

 

 

 

Качественно график оригинала такой:

 

 

 

 

 

S

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

f(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

Замечание: множество

 

 

 

 

 

оригиналов f (t) оказывается более

 

 

 

широким, чем множество сигналов

 

 

f (t)

www

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) с конечной энергией, для

 

 

 

которых мы пользовались

 

 

 

 

 

t

преобразованием Фурье (мы пока рассматривали сигналы f (t) , для которых

lim f (t) = 0). t→±∞

70

69

www.studhelp.info

Напомним, что оригиналу f (t) соответствует изображение F( p) , которое представляется несобственным интегралом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)ept dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( p) = ò

f (t

 

 

 

 

 

 

 

(6.1)

 

Заштрихованная часть

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im p = iσ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

формулы (6.1) – это оператор Лапласа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия 1) – 3) оригинала

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обеспечивают сходимость оператора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

Лапласа. Поэтому F( p) оказывается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

аналитической функцией комплексного

0

 

s0

 

.

 

 

 

 

 

Re p

 

переменного p = s + iσ в области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D : Re p > s0 , представляющей собой

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

заштрихованную на рис. 6.2 часть полуплоскости.

 

 

 

 

 

Рис. 6.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2. Z -преобразование

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь решетчатый оригинал { f (n)}.

 

 

 

 

 

 

 

 

f(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что его можно представитьUDHкак импульсный:

 

 

 

 

.

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) = å f (n)δ(t n) .

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) . Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем изображение оригинала

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( p) =

å f (n)òδ (t n)ept dt = å f (n)epn =

 

 

 

(6.2)

 

 

n=0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

= f (0) + f (1)ep + f (2)e−2 p + ... + f (n)enp + ....

 

 

 

 

Сделав в формуле (6.2) замену

z = e p ,

 

 

 

 

 

 

 

будем иметь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

f (2)

 

 

 

f (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( p) = f (0)

+

+

 

+ ... +

 

+ ... = F(z).

 

 

(6.4)

z

 

 

z 2

z n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71

70

www.studhelp.info

Функция F(z) называется Z -изображением для { f (n)} (в дальнейшем фигурные скобки для простоты будем опускать).

Замена (6.3) преобразует область D : Re p > s0 в область D' : | z |> R0 = es0 . На

комплексной плоскости z область D' представляет собой внешность круга (см. заштрихованную часть на рис. 6.3).

Im z

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

 

 

R0

 

 

 

 

z

 

 

n

 

0

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re z

 

 

Рис. 6.3

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

функцию

Примечательно, что в области D' ряд Лорана, представляющийP

F(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(z) = f (0) +

f (1)

+

f (2)

 

+ ... +

f (n)

 

+ ...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

n

 

 

 

 

z

z

2

 

 

 

 

z

 

 

сходится абсолютно и равномерно, а F(z)

есть аналитическая функция от z .

Все свойства преобразования Лапласа переносятся на Z -преобразования.

Посмотрим, как они теперь выглядят.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.3. Свойства Z -преобразования

 

 

Итак, имеет место соответствие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Tf (n) ↔ F(z) =

 

 

f (n)

 

 

 

 

 

 

å

,

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

z

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е решетчатому оригиналуS f (n), где n = 0,1,2,.., ставится в соответствие Z -

изображение F(z) по указанному закону (6.4). Справедливы следующие теоре-

мы:

Теорема 6.1. Оператор F – линейный, т.е. если f1 F1(z), f2 F2 (z), то

c1 f1 + c2 f2 c1F1(z) + c2 F2 (z), где c1,c2 – произвольные числа.

Теорема 6.2 (запаздывания аргумента). Если f (n) ↔ F(z) , то

f (n k) ↔ F(z) . z k

Действительно, график функции f (n k) – это график функции f (n) , сдвинутый на k шагов вправо по оси t как твердое тело (см. рис. 6.4).

72

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]