SMMiF_bsuir

62

www.studhelp.info

5.5. Спектральная характеристика аналитического сигнала

Пусть z f (t) – аналитический сигнал для

f (t) , а Z f (ω) – его спектральная

Z f (w) = í

.

(5.3)

Отметим, что если

î0, w < 0.

P

f (t) ↔ F(ω) ,

L

то

~

~

E

f (t) « F(w) ,

FUDH(w) = -iF (w)sgn(w) .

(5.5)

~

~

z f (t) = f (t) + i f (t) « F(w) + i F(w) = Z f (w) .

(5.4)

Сравнивая формулы (5.3) и (5.4), замечаем, что спектральная характеристика

сопряженного сигнала должна иметь вид

~

ì- iF(w),

w > 0,

F(w) =

í

w < 0,

т.е.

T

îiF(w),

~

S

.

Покажем, что сопряженный сигнал можно восстановить как свертку функ-

ций, соответствующих F(ω) и − isgn(ω) . Напомним соответствующую теоре-

www

му:

если

f (t) ↔ F(ω) ,

ϕ(t) ↔ Φ(ω),

то

∞

∞

f * j = ò f (u)j(t - u)du = òj(u) f (t - u)du « F(w)F(w) .

−∞

−∞

Несложно показать, что имеет место соответствие

sgn(t) «

1

.

ipw

63

www.studhelp.info

isgn(t) ↔

1

,

а по дуальности

πω

1

ϕ(t) =

↔ isgn(−ω) = −isgn(ω) = Φ(ω) .

πt

Так как, согласно условию,

f (t) ↔ F(ω) ,

то, используя теорему умножения спектральных функций, будем иметь:

~

1

f (t) = f * ϕ = f (t) *

↔ −isgn(ω)F(ω) = Φ(ω)F(ω) .

πt

n

~

i

fo

1

Итак, сопряженный сигнал f (t) есть свертка функций

f (t) и

:

πt

~

1

∞

f (u)

.

f (t) =

ò

du = H ( f )

(5.6)

L

π

−∞

t − u

Формула (5.6) демонстрирует прямое преобразование ГильбертаP

. Оператор H

в формуле (5.6) называется оператором Гильберта. Он позволяет по данному

~

(5.7)

f (t) = UDH− 1 ∞ f (u)du = H −1 ( f ).

сигналу f (t) построить сопряженный сигнал

f (t) .

Из формулы (5.5) найдем F(ω) :

E

~

F(ω) = i F(ω)sgn(ω).

Аналогичным образом,

используя теорему умножения спектральных функ-

T

~

ций, несложно восстановить сигнал

f (t) по сопряженному сигналу

f (t) :

S

~

ò

π

t − u

.

−∞

Формула (5 7) демонстрирует обратное преобразование Гильберта. Опера-

www

f (t) = H

−1 ( f (t)) = −

π

−∞ò

t − udu

тор H −1 называется оператором обратного преобразования Гильберта.

Замечание. Прямое

∞

~

1

f (u)

f (t) = H ( f (t)) =

π

ò

du

и обратное

−∞

~

1

∞

~

f (u)

преобразования Гильберта – это интегральные преобразования с ядром

1

.

t

− u

64

www.studhelp.info

~

1

é

t−ε

f (u)

∞

f (u)

ù

f (t) =

ê

ò

du + ε→0lim

ò

du

ú

êε→0lim

,

p

t - u

t - u

ú

ë

−∞

t+ε

û

1

é

t−ε

~

∞

~

ù

ê

f (u)

f (u)

ú

f (t) = -

êlim

ò

du + lim

ò

duú .

π

êε →0 −∞ t - u

ε →0 t+ε t - u

ú

ë

û

fo

5.6. Преобразование Гильберта для гармонических сигналов

n

Найдем значения оператора Гильберта H для простейших гармонических

функцийcos ωt, sin ωt .

i

Пусть

f (t)

.

– произвольный сигнал, для которого F(ω) – спектральная ха-

рактеристика. Тогда, согласно обратному преобразованию Фурье,

f (t) восста-

навливается в виде интеграла

∞

1

f (t) =

òF(w)[coswt + isin wt]dw. P

(5.8)

2p

−∞

L

~

Напомним, что у сопряженного сигнала

f (t) спектральная плотность есть

~

E

− isgn(ω) F(ω) и f (t) также можно восстановить с помощью обратного преоб-

разования Фурье в виде интеграла

~

1

∞

1

∞

f (t) =

ò- i sgn(w)F(w)[cos wt + i sin wt]dw =

òi sgn(w)F(w)[sin wt - i cos wt]dw.

2p

2p

−∞

−∞

(5.9)

Применяя к обеим частям UDHформулы (5.8) оператор Гильберта H и используя

формулу (5.9), получим:

(5 8)

æ

1

∞

T

ö

1

∞

H ( f (t))

ç

ò

÷

ò F(ω)[H (cosωt) + iH (sin ωt)]dω =

= Hç

2π

F (ω)[cosωt + i sin ωt]dω ÷ =

2π

èS−∞

ø

−∞

~

(5.9)

.

1

∞

= f (t)

=

ò sgn(ω)F(ω)[sin ωt - i cosωt]dω.

2π

−∞

Сравнивая последние два интеграла, замечаем, что справедливы соотношения

www

H (cosωt) = sgn(ω)sin(ωt) ,

H (sin ωt) = −sgn(ω)cos(ωt) .

65

www.studhelp.info

Мы уже отмечали, что если fB (t) –

F(ω)

узкополосной сигнал (т.е. его

спектральная функция имеет

-w

w

график только на узкой полосе частот),

ω

то сигналы fB (t)cosω0t и

fB (t)sin ω0t

fo

также будут узкополосными. Следовательно, общий вид узкополосного сигнала

такой:

~

− Bs (t)sin ω0t ,

n

s(t) = As (t)cosω0t

(5.10)

As (t) и Bs (t)

– произвольные узкополосные сигналы.

i

.

Для сигнала (5.10) удобно ввести комплексную низкочастотную функцию

U (t) = As (t) + iBs (t) ,

~

P

L

называемую огибающей для сигнала s(t) . Ее можно представить графически

в виде вектора комплексной плоскости,

E

Im z

исходящего из начала

U s (t)

координат, конец которого с

UDH

изменением t

описывает

ϕs (t)

некоторую кривую.

Re z

Комплексное колебание с

~

амплитудной функцией U s (t) и несущей частотой ω0 выглядит так:

~

= (As (t) + iBs (t))(cos

ω0t + i sin ω0t) = As (t) cos ω0t − Bs (t) sin ω0t +

U s (t)eiω0t

T

1444442444443

S

s

s(t)

+ i[Bs (t) cos ω0t +

As (t) sin ω0t].

.

~

(5.11)

www

iω0t

Вещественная часть функции U

(t)e

есть наш сигнал (5.10).

Огибающая сигнала s(t) , т.е. амплитудная функция,

в любой момент време-

~

~

As2 (t)

+ Bs2(t) = U s (t) .

ни t равна |U s (t) |=| s(t) |, |U s |=

Тогда

s(t) = U s (t)cos(ϕs (t) + ω0t) ,

As (t) = U s (t)cosϕs (t) ,

Bs (t) = U s (t)sin ϕs (t) ,

где ϕs (t) – начальная фаза в момент времени t , ω0 – несущая частота.

Обозначим через ψs (t)

полную фазу узкополосного сигнала в момент време-

ни t :

66