Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

SMMiF_bsuir

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
956.88 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

f(n-k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

fo

Тогда f (n - k) « f (0) +

 

f (1)

+ ... + f (n) + ... = F(z) . ▲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k+1

 

 

 

 

 

k+n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.4

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

z k

z k+1

 

 

 

 

 

 

z n+k

z k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

Теорема 6.3 (опережения аргумента). Если f (n) ↔ F(z) , то

 

 

 

 

 

é

 

æ

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

 

 

 

 

f (k -1)

L

 

 

 

 

f (n + k) « zk

ê

F(z) - ç f (0) +

 

 

 

+ ... +

 

 

 

 

 

 

÷

.

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

zk −1

÷ú

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

øû

 

 

 

 

 

 

D Действительно, график функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

f (n + k) – это график функции f (n) ,

сдвинутый на k шагов влево по оси t

как твердое тело (см. рис. 6.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(n+k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(0)

 

f(1)

 

 

 

 

f(k-1) f(k)

 

 

f(n-k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

-1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

-k

 

 

 

–k+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.5

Все, что расположено левее оси ординат, зануляется. Мы должны использо-

вать только ту часть решетки, которая имеется справа от оси ординат, т.е. учи-

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тывать только.значенияSf (k),..., f (n k),....

 

 

 

 

 

 

Итак, имеем:

 

 

 

f (k + 1)

 

f (k + n)

 

 

 

f (n + k) « f (k) +

 

+

+ ... =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

z n

 

 

 

k é

æ

 

 

f (1)

 

 

 

f (k - 1) öù

 

 

ç

+

 

+ ... +

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

= z êF(z) - ç f (0)

z

z k−1

÷ú.

 

ë

è

 

 

 

 

 

øû

 

 

 

 

 

 

f (n)

 

Теорема 6.4 (подобия). Если

f (n) ↔ F(z) , то

 

« F(az) .

 

an

 

 

 

 

 

 

 

D Если f (n) « F(z) º f (0) +

f (1)

+

f (2)

+ ... +

f (n)

+ ..., то

z

z 2

z n

 

 

 

 

 

73

 

 

 

 

 

 

72

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

f (n)

F(z) ≡ f (0) +

f (1)

+

 

f (2)

+ ... +

f (n)

 

+ ... = F(az) .

 

 

 

(az)2

 

 

an

az

 

 

 

(az)n

 

Теорема 6.5 (о дифференцировании Z -изображения). Если

f (n) ↔ F(z) ,

то nf (n) ↔ −zF'(z) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению F(z) ≡ f (0) +

 

f (1)

+

f (2)

+ ... +

f (n)

+ .... Продифферен-

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z n

 

цируем по z это тождество (это можно сделать, так как ряд Лорана равномерно

сходится к F(z) ): F'(z) ≡ −

f (1)

− 2

f (2)

− ... − n

f (n)

+ .... А теперь умножим на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

z3

 

 

 

 

 

zn+1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

f (2)

i

f ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

fo+ ....

(- z ) обе части последнего равенства:

zF'(z) ≡

 

z

+ 2

z

 

2

+

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

Всмотревшись в коэффициенты последнего ряда Лорана, замечаем, что спра-

ведливо соответствие nf (n) ↔ −zF'(z) .

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6.6 (о свертке). Если

f (n) ↔ F(z),ϕ(n) ↔ Φ(z) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n) * ϕ(n) =

å f (k)ϕ(n k)

F(z)Φ(z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим через g(n)

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n) и ϕ(n) :

 

свертку двух решетчатых функций

g(n) = å f (k)ϕ(n k) , а через G(z) –

 

Z -изображение для g(n). По определе-

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(n)

å f (k)ϕ(n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(z) = å

 

 

= å

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

изменим

 

порядок суммирования

=

z

n

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

n=0

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(n k)Tвведем

замену

 

 

 

 

 

ϕ(m)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

= m = n k

 

 

 

 

 

 

 

= å f (k) å

 

 

=

 

 

 

 

 

= å f (k) å

 

z n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

m=0z m+k

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

n = m + k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (k)

ϕ(m)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= å

 

 

å

 

= F(z)Φ(z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

m=0 z m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1424314243

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (z)

 

Φ(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, необходимые нам в дальнейшем теоремы мы обсудили. Теперь соста-

вим для дальнейшего

 

использования

 

на

практике таблицу

соответствия

f (n) ↔ F(z) .

 

 

 

a

n

 

 

 

 

a

 

a

2

 

 

 

 

 

 

a

n

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

f (n) = an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пº1.

å

 

 

=1 +

+

 

 

 

+ ... +

 

 

+ ... =

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0 zn

 

 

 

 

 

z

 

 

z2

 

 

 

 

 

zn

 

 

 

1 −

 

 

 

z

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74

73 www.studhelp.info

 

пº2. f (n) = e jβn «

 

 

 

 

z

 

. Тогда для f (n) = ejβn

«

z

 

.

 

 

z

- e jβ

z - ejβ

 

 

 

пº3. cosbn =

e

jβn

+ e

jβn

 

«

 

1

 

é

 

 

 

 

z

 

 

 

+

 

z

 

 

ù

=

 

z(z - cos bn)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - ejβ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë z - e jβ

 

 

û

 

 

z 2 - 2z cosb + 1

 

пº4. sinbn =

 

 

z sinβ

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 - 2z cosb +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

пº6. f (n) = (-1)n « z + 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пº5. f (n) =1=1n «

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z -1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

z

ö'

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

пº7. j(n) = nf (n) = n ×1n « (-z)ç

 

 

 

 

 

 

÷ =

(z -1)2

 

.

 

 

 

 

 

 

in

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è z -1ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

z

 

 

 

 

ö'

 

 

 

 

 

z(z +1)

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

пº8. n2 = nj(n) « -zç

 

 

 

 

 

 

÷ =

.

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

(z -

1)

2

÷

 

 

 

 

 

(z -1)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n) по ее Z -

 

Рассмотрим теперь

вопрос

 

о

 

 

 

восстановлении функции

изображению F(z) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Дано F(z) . Найти f (n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D Приступая к обсуждению решения этой задачи, прежде всего вспомним,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (1)

 

 

 

f (2)

 

 

 

 

 

f (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(z) º f (0) +

 

+

 

+ ... +

 

+ ... .

 

 

(6.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

z n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Лорана в тождестве (6.5) сходится абсолютно и равномерно в области D'

(см. рис. 6.6).

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RRZ

 

 

 

Re z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем в области D'

окружность L радиуса R > R

 

= es0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножим обе части тождества (6.5)

 

на zn−1 и проинтегрируем по окружно-

сти L обе части полученного тождества

75

74 www.studhelp.info

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

f (1)z

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n)z

n−1

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò F(z)z

 

 

= ò

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

ç f (0)z

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ... +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ...÷dz

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряд f (0)z n−1 +

f (1)z n−1

 

+ ... +

f (n)z n−1

 

 

 

+ ...

 

сходится

 

 

равномерно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

поэтому

интеграл

от

 

 

 

суммы

 

равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L z m− +1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

от

 

 

 

 

слагаемых

L z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

 

 

сумме

 

 

интегралов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= f (0)ò z n−1dz + f (1)ò z n−2dz + K + f (n)ò

dz

 

 

 

 

 

 

 

f (m)ò

 

 

 

dz

n

 

+ K +

 

 

 

 

 

 

+ K. (6.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что в комплексном анализе мы доказывали, что

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

ì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

0,

если

 

 

m ¹ n,

 

 

 

 

 

 

 

.

 

(6.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lò z mn+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îi, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем еще раз, как можно доказать формулу (6.7):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

z = Re

it

 

 

 

 

 

i Reit

dt

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

ò

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

ò

 

=

ò

 

idt = i2p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

dz = Rieit dt

 

 

 

 

 

 

 

Reit

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L:|z|=R

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

z = Reit

 

 

 

 

 

 

 

 

2π i Reit

 

 

dt

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) k ¹ 1:

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

it

 

 

=

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

òei(k−1)t dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

dz = Rie

 

dt

 

(Re

it

)

k

R

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L:|z|=R z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в силу

 

 

периодичности

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−i(k−1) tUDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(k−1)t

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

результаты

 

 

подстановки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ie

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

Ri(k -1)

 

 

 

 

 

= верхнего

 

 

 

и

 

нижнего

 

 

 

 

пределов

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

(6.8)

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n) =

 

1

 

ò F(z)z n−1dz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

совпадают;

 

поэтому

 

при

вычитании

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем

 

 

 

 

ноль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в правой части тождества (6.6) остается только одно слагае-

мое, отличное от нуля, и это тождество можно переписать так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òF(z)zn−1dz = f (n)2pi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда и определяется

f (n) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pi L

К интегралу, стоящему в правой части формулы (6.8), можно применить теорию вычетов. Поэтому справедлива

76

75

www.studhelp.info

Теорема 6.7. Если a1, a2 ,..., am – особые точки функции F(z) в области

| z |≤ R0 = es0 , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n) = åRes F(z)z n−1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

ak

 

 

 

 

 

P(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание.

Если,

 

в

частности,

 

 

F(z) =

 

несократимая дробь и

 

Q(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

a1, a2 ,..., am – простые корни знаменателя Q(z), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

P(ak )

 

an−1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (n) = å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1Q'(ak )

 

 

k

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

а) если а – простой полюс, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res F(z)zn−1 = lim F(z)zn−1(z a); .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

za

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1Pl

 

 

 

 

б) если а – полюс кратности l , то

 

 

 

 

 

 

 

 

l−1

[F(z)z

].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res F(z)z n−1 =

 

1

 

 

 

 

 

lim

d

 

 

 

 

 

l−1

(z a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

(l − 1)! za

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ lim

 

 

 

 

 

 

UDH= + .

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

пº9. F(z) =

 

 

z + 1

 

=

 

 

z + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Найти

f (n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 2z + 3

(z −1)(z + 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки z1 = 1, z2 = 3 – простые полюса. Поэтому

 

(z + 1)z n−1

 

 

 

 

 

 

 

f (n) = Res F(z)z n−1 + Res F(z)z n−1 = lim

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

z=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z→1

 

z + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z + 1)z n−1

 

 

1

 

 

 

 

(−3)n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

− 1

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z→3

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пº10. F(z) =

 

z

+

3

 

. Найти f (n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

−1)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь z =1 – особая точка, полюс 3-го порядка. Поэтому

 

 

 

 

f (n) =

1

lim

[F(z)z n−1

(z − 1)3 ]''

=

1

 

lim [(z + 3)z n−1]''

=

1

lim [z n + 3z n−1]'' =

 

 

 

 

 

 

 

 

2! z→1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z→1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z→1

 

 

 

 

=

1

lim [n(n − 1)z n−2

+ 3(n − 1)(n − 2)z n−3

]=

 

1

 

(n − 1)(n + 3n − 6) = (n − 1)(2n − 3).

 

2

 

 

2 z→1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.4. Решение разностных уравнений и систем разностных уравнений с помощью Z -преобразования

Рассмотрим приложения Z -преобразования к решению линейных разностных уравнений (РУ). Линейные разностные уравнения получаются из линейных

77

 

 

 

 

 

 

 

76

 

 

www.studhelp.info

дифференциальных уравнений для импульсных (или решетчатых) функций.

Например, пусть даны уравнения

y'= f (x) ,

 

 

(6.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y''+ay'+by = f (x) .

 

 

(6.11)

 

Считаем, что

y(x) – решетчатая функция, т.е. она задается таблицей значе-

ний в равноотстоящих узлах с шагом h =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

2

 

y1 = y2

y1

 

 

y''(xn )

 

fo

xn

y(xn )

 

y'(xn )

 

 

 

 

 

0

y0

 

y0 = y1 y0

 

2 y0 = y1 y0 = ( y2 y1) − (y1 y0 ) =

 

1

y1

 

 

 

 

 

= y2 − 2y1 + y0

.i

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 = y3 y2

 

 

 

n

 

3

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 yn−1 =

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

yn−1

 

yn−1 = yn yn−1

 

yn

yn−1 = ( yn+1

yn ) −

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

n-1

yn

 

yn = yn+1 yn

 

− ( yn yn−1) = ynP+1 − 2yn + yn−1

 

n+1

yn+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

Разности 1-го порядка

y0, y1,...,

yn при шаге h =1

приближают производ-

ные 1-го порядка, а разности 2-го – производные 2-го порядка.

 

 

 

Уравнение (6.10) в узле n перепишется так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + 1) − y(n) = f (n)

 

 

(6.12)

 

(6.12) – линейное разностное уравнение первого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальное уравнение (6.11) в n -ом узле имеет вид:

 

 

 

 

y(n + 2) − 2y(n + 1) + y(n) + a[y(n + 1) − y(n)] + by(n) = f (n) .

(6.13)

 

(6.13) – линейное разностное уравнение второго порядка.

Итак, каждое линейное дифференциальное уравнение всегда можно свести к соответствующему линейному разностному уравнению.

Теперь обсудим вопрос о том, как в общем случае решать линейные разност-

www

 

 

 

 

ные уравнения.k S-го порядка.

 

 

Задача 2. Дано линейное разностное уравнение

 

L[ y] = A0 y(n + k) + A1y(n + k − 1) + A2 y(n + k − 2) + ... + Ak y(n) = f (n)(6.14)

при начальных условиях

 

 

 

 

 

y(0) = y0 , y(1) = y1,..., y(n − 1) = yn−1,

 

где y0, y1,..., yn−1 – заданные числа.

 

 

Найти

всю

 

бесконечную

последовательность

значений

y(n), y(n + 1), y(n + 2),... .

 

 

 

Приступая к решению этой задачи, полагаем, что f (n) ↔ F(z) ,

y(n) – ре-

шетчатый оригинал, а Y (z) – его Z -изображение. Имеем:

 

78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

 

y(n) ↔ Y (z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + 1) ↔ z[Y (z) − y0 ],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + 2) ↔ z 2 [Y (z) − ( y0 + y1 / z)],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

......................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + k − 1) ↔ z k −1[Y (z) − (y

0

+ y / z + y 2 / z 2 + ... + y

k−2

/ z k −2 )],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + k) ↔ z k [Y (z) − ( y0 + y1 / z + y2 / z 2 + ... + yk−1 / z k −1)].

 

 

 

 

Теперь, комбинируя оригиналы, стоящие слева,

с коэффициентами Ak ,..., A0 ,

в силу линейности соответствия получим комбинацию их Z -изображений с те-

ми же коэффициентами:

 

 

k−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k−1

 

 

fo

 

L[ y] ↔ Y (z)(A0 z

k

+ A1z

+ Ak−1z + Ak )

y0 (A0 z

k

+ A1z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Ak−1z) −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

y (A z k−1

+ A z k−2

+ A

 

 

 

z) − ... − y

 

 

A z.

 

 

 

 

i

 

 

 

 

−2

k−1

 

 

.

 

 

 

1

0

1

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Замечаем, что коэффициент при

y0 получается просто отбрасыванием сво-

бодного коэффициента при Y (z) . Коэффициент при

yi

получается из коэффи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

циента при yi−1 делением на z и отбрасыванием свободного члена.

 

 

 

 

Так как должно быть тождество (6.14) решетчатыхLоригиналов, то должны

совпадать и их Z -изображения. Итак, получаем операторное Z -изображение:

 

L[ y] ↔ Y (z)(A z k

+ A z k−1 + A

z + A ) −Ey (A z k

+ A z k−1

+ A

 

z) −

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

k−1

 

 

k

 

 

 

0

0

 

1

 

 

 

k−1

 

 

y (A z k−1

+ A z k−2

+ A

 

−2

z) − ... − y

k−1

A z F(z).

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (6.15) легко решается относительно Y (z) . Запишем его так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (z)ϕ(z) − ψ(z) ≡ F(z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (z) =

 

F(z) + ψ(z)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остается только стандартнымT

 

 

 

 

ϕ(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

путем через вычеты

восстановить решетчатый

оригинал y(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично.решаютсяS

 

системы линейных разностных уравнений.

 

 

 

 

Рассмотрим пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пº11. Дано: РУ второго порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + 2) − y(n) = 2n

 

 

 

 

 

 

 

(6.16)

при начальных условиях y(0) = y(1) = 0 . Найти y(n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

y(n) ↔ Y (z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

y(n + 2) ↔ z2[Y (z) − (y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

+ y / z)].

 

 

 

 

(6.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комбинируя соотношения (6.17) и (6.18) с коэффициентами -1, 1 уравнения (6.16) и учитывая, что выражение y0 + y1 / z равно нулю в силу начальных ус-

ловий, получим:

79

 

 

 

 

78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

для левой части (6.16): y(n + 2) − y(n) ↔ Y(z)(z2 − 1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для правой части (6.16): 2n «

 

z

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операторное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (z)(z

2 -1) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет решение

 

z

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z2 -1)(z - 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь особые точки z1 = 1, z2 = −1, z3 = 2. Тогда по формуле (6.9) находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(-1)

 

 

fo

y(n) = ResY (z)zn−1 + Res Y (z)zn−1 + ResY (z)zn−1 = -

+

 

+

2

. ▲

 

 

 

z=1

z=−1

 

 

 

 

 

 

 

z=2

 

 

 

 

2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i6

3

 

пº12. Дано линейное разностное уравнение 2-го порядка .

 

 

 

 

y(n + 2) − 5y(n + 1) + 6y(n) = 1

P

 

 

(6.19)

при начальных условиях y(0) =1, y(1) = −1. Найти y(n) .

 

 

 

 

 

D Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n) ↔ Y (z).

 

 

 

 

L

 

 

 

 

(6.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + 1) ↔ z[Y (z) − y0 ] = z[Y (z) −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1];

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.21)

y(n + 2) « z 2[Y (z) - y

 

- y

 

/ z] = z 2[Y (z) - 1 +

1/ z]

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

UDHz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножая формулы (6.20) – (6.21) соответственно на 6, -5, 1, получим: y(n + 2) - 5y(n + 1) + 6y(n) « Y (z)[z 2 - 5z + 6] - (z 2 - 5z) + z.

Для правой части уравнения (6.19), будем иметь:

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

1 «

 

 

.

 

 

 

 

 

z -1

 

 

Операторное уравнение

 

 

 

 

 

 

1

 

5

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Y (z)[z

2

- 5z + 6] - (z

2

- 5z) + z =

z

 

 

 

 

z -1

 

 

 

имеет решение

 

 

z3 - 7z2 + 7z

 

 

 

z3 - 7z2 + 7z

 

 

 

Y (z) =

 

=

 

 

 

.

 

(z -1)(z2 - 5z + 6)

 

 

 

(z -1)(z - 2)(z - 3)

Функция Y (z) представляет собой несократимую дробь,

знаменатель кото-

рой имеет простые корни z1 = 1, z2 = 2, z3 = 3. Тогда по формуле (6.9) находим:

y(n) = ResY (z)z n−1 + ResY (z)z n−1 + ResY (z)z n−1

=

 

+ 3 × 2n -

 

× 3n.

2

2

z=1

z=2

 

z=3

 

 

 

 

 

 

Проверим, выполняются ли начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) =

1

+ 3 -

5

=1, y(1) =

1

+ 6 -

15

 

= -1.

 

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.studhelp.info

 

Значит, функция

y(n) =

 

1

+ 3 × 2n -

5

 

 

× 3n

 

является решением исходной зада-

2

 

чи. ▲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пº13. Решить систему линейных разностных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

 

 

 

- x(n) - y(n) = 3

n

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïx(n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

+ 2x(n) = -3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îy(n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo

при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D Пусть x(n)

– решетчатый оригинал, а

 

X (z) – его Z-изображение. Тогда с

учетом начальных условий будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(n) ↔ X (z);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(n + 1) « z[X (z) - x(0)] = z[X (z) - 3)]

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

y(n) ↔ Y (z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n + 1) « z[Y (z) - y(0)] = zY(z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n «

 

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

- 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операторная Z-система, соответствующая системе (6.22), выглядит так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

UDHz - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ìz[X (z) - 3] - X (z)

 

+ YE(z) =

 

z

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïzY (z) + 2X (z) = -

 

z -

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3z

- 8z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï(z -1)X (z) + Y (z)

=

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

ï2X (z) + zY (z) = -

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая последнюю систему по правилу Крамера, получим:

 

 

 

 

www

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3z

 

- 8z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - 3

 

 

 

 

 

3z3 - 8z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

z

 

z

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

z(3z2 - 8z +1)

 

 

 

 

 

 

z - 3

 

 

 

 

 

z - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (z) =

 

 

 

=

 

 

z - 3

=

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z -1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z - 3)(z +1)(z -

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 - z - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80

 

 

www.studhelp.info

 

 

z -1

 

3z 2 - 8z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - 3

 

 

z - z 2 - 6z 2 + 16z

 

 

 

 

 

2

 

-

z

 

 

 

17z - 7z 2

 

 

 

z - 3

 

 

 

 

 

Y (z) =

 

 

 

 

 

z - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

=

 

.

 

 

z -1 1

 

 

 

z 2 - z - 2

(z - 3)(z + 1)(z - 2)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Осталось по данным Z-изображениям X (z) и Y (z) восстановить решетчатые оригиналы. Используя формулу (6.9) и вычисляя вычеты в простых полюсах

z1 = −1, z2 = 2, z3 = 3, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fo=

 

x(n) = lim

 

(3z 2 - 8z + 1)z n

+ lim

(3z 2 - 8z + 1)z n

 

+ lim

(3z 2 - 8z + 1)z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z→−1

 

 

(z - 2)(z - 3)

 

 

 

 

z→2

(z + 1)(z -

3)

 

 

 

z→3

(z

+ 1)(z - 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

3 + 8 + 1

 

 

 

 

n

 

 

12 - 16 + 1

 

n

 

 

 

27 - 24 + 1

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

=

 

 

 

 

(-1) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 = (-1) +

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

- 3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

+ 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17 - 7z)z n

 

 

 

 

 

 

 

 

(17 - 7z)zn

 

 

 

 

 

(17 - 7z)z n

 

 

 

 

y(n) =

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ lim

 

 

 

 

 

P=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z→−1

(z - 2)(z

- 3)

 

 

 

z

→2

 

(z +1)(z - 3)

 

z→3

(z +1)(z - 2)

 

 

 

= 2(-1)n - 2n - 3n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

Сделаем контрольную проверку начальных условий:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(0) =1 + 1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

E

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 3, y(0) =

2

1

−1

 

 

 

 

 

 

Начальные условия выполняются. Следовательно, функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(n) = (-1)n + 2n + 3n , y(n) = 2(-1)n - 2n - 3n

 

 

 

являются решением исходной задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UDH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Найти Z-преобразование для данных решетчатых функция:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) f (n) = 1; б) f (n) =

(−1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Восстановить последовательность

f (n) по ее Z-преобразованию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(z) =

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Решить уравнение: x(n + 2) − 5x(n + 1) + 6x(n) = 0, x(0) = 1, x(1) = 2.

 

Отв.:

x(n) = 2n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Решить систему разностных уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(n + 2) − x(n + 1) − x(n) = 0, x(0) = 0, x(1) = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www1

æ

æ1

 

 

 

 

ö

n

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

ö

n

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

5

 

 

 

1 -

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.: x(n) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

ç

 

2

 

 

÷

 

ç

2

 

÷

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

è

 

 

 

ø

 

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]