Задачі для самостійної роботи
Задача 2.8.7. Скільки різних "слів" можна отримати, переставляючи букви в слові "паралелепіпед" ?
Задача 2.8.8. Скількома способами можна розставити білі фігури (двох тур, двох коней, двох слонів, короля і королеву) на першій лінії шахівниці, якщо не дотримуватись шахового принципу ?
Задача 2.8.9. Скільки різних "слів", у яких три букви "о" не стоять одночасно поряд, можна отримати, переставляючи букви в слові "болото" ?
Задача 2.8.10. Скільки різних "слів", що містять фрагмент "три", можна отримати, переставляючи букви в слові "трикутник" ? У скількох із них букви "у" та "и" не стоятимуть поряд ?
Задача 2.8.11. Скількома способами троє картярів можуть розділити між собою неповну колоду (36 карт)? А розділити порівну? А розділити так, щоб перший отримав 10 карт, другий –
12, третій – 14 ?
Задача 2.8.12. Скільки різних "слів", у яких друга, п’ята і восьма букви – голосні, можна отримати, переставляючи букви в слові "арккосинус" ?
Задача 2.8.13. Є 5 однакових смарагдів, 6 однакових рубінів і 7 однакових сапфірів. Скільки різних браслетів, що містять усі 18 каменів, можна виготовити ?
Задача 2.8.14. Скількома способами можна одягнути 5 різних обручок на пальці правої руки, за винятком великого пальця ?
2.9. Формула бінома Ньютона
Для будь-яких n N
(a + b) n =Cn0 an +(a +
і a,b R має місце рівність:
Cn1 an−1b + Cn2 an−2b2 +K+ Cnn−1abn−1 + Cnn bn
|
n |
n |
n−k |
|
|
|
b) |
k |
b |
k |
(2.9.1) |
||
|
= ∑Cn a |
|
. |
|||
|
|
k =0 |
|
|
|
|
Рівність (2.9.1) називається формулою бінома Ньютона. Ліва частина цієї рівності – біном (двочлен), права частина – розклад
44
бінома (біноміальний розклад), Cnk – коефіцієнти розкладу (біноміальні коефіцієнти).
Властивості розкладу бінома (a +b)n та його біноміальних
коефіцієнтів.
1.Кількість доданків у розкладі дорівнює n +1.
2.У кожному доданку сума степенів при a та b дорівнює n .
3.(k +1) -й член розкладу ( k = 0, n ) має вигляд:
T |
= C k a n−k bk . |
k +1 |
n |
4.Коефіцієнти розкладу, рівновіддалені від його кінців, рівні між собою:
Cnk = Cnn−k , k = 0, n .
5.Якщо n – парне, то середній член розкладу має найбільший біноміальний коефіцієнт. Якщо n – непарне, то є два "середні" члени розкладу з одним і тим самим найбільшим біноміальним коефіцієнтом.
6.Сума всіх біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2n :
0 |
1 |
2 |
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
= 2 |
|
k |
= 2 |
n |
. (2.9.2) |
|||||
Cn |
+Cn |
+Cn |
+K+Cn |
|
|
∑Cn |
|
|||
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
Рівність (2.9.2) отримується із формули (2.9.1) при a = b =1 .
Оскільки Cnk – кількість всеможливих k -елементних
підмножин n -елементної множини, формула (2.9.2) має також наступне комбінаторне тлумачення.
Нехай A – множина потужності n . Тоді кількість її всеможливих підмножин, включаючи порожню множину і саму
множину A , дорівнює 2n .
Задача 2.9.1. Довести рівність:
0 |
1 |
2 |
3 |
|
n |
n |
|
|
n |
k |
k |
|
|
+K+ (−1) |
= 0 |
|
∑(−1) |
= 0 |
|
||||||||
Cn |
−Cn |
+ Cn |
−Cn |
|
Cn |
|
|
Cn |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
Поклавши у |
формулі |
(2.9.1) |
a =1 , |
b = −1 , |
||||||||
очевидно, отримаємо потрібну рівність.
Зауважимо, що отриману рівність можна записати у вигляді:
45
Cn0 + Cn2 + Cn4 K=Cn1 + Cn3 + Cn5 +K ,
звідки отримуємо, що сума біноміальних коефіцієнтів Cnk з
парними k дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів Cnk з непарними k . Враховуючи властивість 6, кожна з цих сум
дорівнюватиме 12 2n = 2n−1 . ■
Задача 2.9.2. Довести рівність:
n
∑23n−2k Cnk =10n . k =0
Розв’язання.
n |
n |
|
n |
∑23n−2k Cnk =∑23n−3k +k Cnk =∑23(n−k ) 2k Cnk = |
|||
k =0 |
k =0 |
|
k =0 |
|
n |
(2.9.1) |
|
|
= ∑(23 )n−k 2k Cnk |
=== (2 |
3 + 2)n =10n , |
k =0
що і треба було довести. Таким чином, шукана рівність отримується шляхом безпосередньої підстановки у формулу бінома
значень a = 23 , b = 2 . ■
Задача 2.9.3. Довести рівність:
1 |
2 |
3 |
|
n |
|
|
|
n−1 |
|
n |
|
k |
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n2 |
|
. |
(2.9.3) |
|||||||
Cn |
+ 2Cn |
+ 3Cn +K+ nCn = n2 |
|
|
∑kCn |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. Введемо у формулу бінома змінну, |
|
поклавши |
|||||||||||||||
b = x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + x)n =Cn0 an + Cn1 an−1 x + Cn2 an−2 x2 K+ Cnn xn |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + x) |
|
|
k |
|
x |
k |
|
|
|
|
(2.9.4) |
|||
|
|
|
|
= ∑Cn a |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диференціюючи обидві частини цієї рівності по x , маємо: |
|||||||||||||||||
|
|
n(a + x) n−1 =Cn1 an−1 + 2Cn2 an−2 x +K+ nCnn xn−1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
n |
|
n−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x) |
|
|
|
k |
|
x |
k −1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
n(a |
|
= ∑kCn a |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покладаючи у цій рівності |
a =1 , |
x =1 , очевидно, |
отримаємо |
||||||||||||||
рівність (2.9.3). ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.9.4. Довести рівність:
Cn0 +3Cn1 +5Cn2 +7Cn3 +K+(2n +1)Cnn = (n +1)2n
|
|
n |
k |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
= (n +1)2 |
n |
(2.9.5) |
|||
|
|
(2k +1)Cn |
|
. |
||||
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
∑(2k +1)Cnk = ∑(2kCnk + Cnk ) = ∑2kCnk + ∑Cnk = |
||||||||
k =0 |
k =0 |
|
|
k =0 |
|
k =0 |
||
n |
n |
|
n |
|
n |
(2.9.3), |
(2.9.2) |
|
= 2∑kCnk + ∑Cnk = 2∑kCnk |
+ ∑Cnk |
======== |
||||||
k =0 |
k =0 |
|
k =1 |
|
k =0 |
|
|
|
= 2 n2n−1 + 2n = n2n + 2n = (n +1)2n ,
що і треба було довести. Таким чином, рівність (2.9.5) отримується лінійною комбінацією рівностей (2.9.2) і (2.9.3) . ■
Задача 2.9.5. Довести рівність: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Cn0 + |
1 |
Cn1 |
+ |
1 |
Cn2 |
+ |
|
1 |
Cn3 |
+K+ |
|
|
1 |
|
Cnn = |
|
1 |
|
(2n+1 |
−1) |
||||||||
2 |
3 |
4 |
|
n +1 |
n +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
k |
|
|
1 |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
Cn |
= |
|
|
|
|
|
(2 |
|
|
−1) |
|
(2.9.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
+1 |
|
n +1 |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розв’язання. Візьмемо рівність (2.9.4), яка отримується
введенням змінної у формулу бінома, |
і проінтегруємо її по x в |
|||||||||||||||||||
межах від c до d : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d |
|
d |
n |
|
|
|
|
d |
|
|
|
n |
|
|
|
|
d |
|||
∫(a + x) n dx = ∫∑Cnk a n−k xk dx , |
∫(a + x)n dx = ∑Cnk a n−k ∫xk dx , |
|||||||||||||||||||
c |
|
c k =0 |
|
|
|
c |
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
c |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(a |
+ x)n+1 |
|
= ∑Cnk an−k |
|
xk |
+1 |
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
((a + d )n+1 − (a + c) n+1 ) |
n |
|
|
1 |
|
(d k +1 |
− ck +1 ). |
||||||||||
|
= ∑Cnk a n−k |
|
||||||||||||||||||
|
n +1 |
k +1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Покладаючи в отриманій рівності a =1 , |
c = 0 , |
|
d =1 , отримуємо |
|||||||||||||||||
рівність (2.9.6). Таким чином, шукана рівність отримується шляхом інтегрування по x в межах від 0 до 1 рівності (2.9.4) з подальшою підстановкою a =1 . ■
47