Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
DiskretMath.pdf
Скачиваний:
378
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
868.1 Кб
Скачать

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) (1)k

1 kCnk = 0 ;

4) k(k 1)Cnk = n(n 1)2n2 ;

 

 

 

k =1

 

k =2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

5) k 2Cnk = n(n +1)2n2 ;

6) (1)k

 

Cnk =

 

.

 

 

 

 

k +1

n +1

 

 

 

 

 

k =0

 

k =0

 

 

 

 

 

 

Задача 2.9.9. Сума біноміальних коефіцієнтів розкладу бінома

 

2

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

x

 

+

 

дорівнює 1024. Знайти член розкладу, що містить x

 

.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.9.10. Знайти значення x в розкладі бінома (1 + x 2 )12 , якщо різниця між третім та другим членами розкладу дорівнює 54.

 

 

Задача

2.9.11. Знайти значення x в розкладі бінома

 

 

1

 

 

lg

9

 

 

7

2

+ x

x

, якщо третій член розкладу дорівнює 36000.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ

3.1. Алгебра висловлювань

Висловлюванням називається будь-яке твердження, про яке з достовірністю можна сказати, є воно істинним чи хибним.

Наприклад, твердження "0>3" і "паралелограм має 4 сторони" є висловлюваннями (перше – хибне, друге – істинне), а твердження "завтра буде дощ" не є висловлюванням.

В математичній логіці не цікавляться конкретним змістом висловлювань, а вивчають, є вони істинними чи хибними. Якщо висловлювання істинне, йому кладуть у відповідність 1, якщо хибне – 0.

Позначатимемо надалі висловлювання малими латинськими літерами p, q, r, s, t,K.

До висловлювань можна застосовувати спеціальні операції

49

заперечення (позначається символом ¬ або ), диз`юнкції ( ), кон`юнкції ( ), імплікації ( ) та еквіваленції (~).

Запереченням висловлювання p називається висловлювання p , яке істинне, коли p – хибне, і хибне, коли p – істинне.

Кон’юнкцією висловлювань p і q називається висловлювання p q , що є істинним лише тоді, коли обидва висловлювання p і q є істинними.

Диз’юнкцією висловлювань p і q називається висловлювання p q , що є істинним, коли істинним є хоча б одне із висловлювань p і q .

Імплікацією висловлювань p і q називається висловлювання p q , що є хибним лише тоді, коли p – істинне, а q – хибне.

Еквіваленцією висловлювань p і q називається висловлювання p ~ q , що є істинним, коли істиннісні значення висловлювань p і q однакові.

Таблиці істинності цих операцій мають вигляд:

p

p

0

1

1

0

 

 

 

 

 

 

p

q

p q

p q

p q

p ~ q

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Запереченню відповідає логічна зв’язка "не", кон`юнкції – "і", диз’юнкції – "або", імплікації – "якщо …, то", еквіваленції – "тоді і тільки тоді, коли".

Легко помітити, що

p q = min{ p, q}, p q = max{p, q} .

Використовуючи введені операції, на основі простих (елементарних) висловлювань p, q, r, s, t,K можна будувати більш

складні, наприклад, ( p q) ~ (r (s t)) .

Мають місце наступні властивості операцій над висловлюваннями – так звані закони алгебри логіки (0 і 1 в них позначають відповідно хибне та істинне висловлювання):

50

1.1. p q = q p

2.1. p q = q p

1.2. p (q r) = ( p q) r

2.2. p (q r) = ( p q) r

1.3. p (q r) =

2.3. p (q r) =

 

 

= ( p q) ( p r)

 

 

= ( p q) ( p r)

1.4. p p = p

2.4. p p = p

1.5. p 0 = p

2.5. p 0 = 0

1.6. p 1 =1

2.6. p 1 = p

1.7. p p =1

2.7. p p = 0

1.8.

 

= p q

2.8.

 

= p q

p q

p q

1.9. p ( p q) = p

2.9. p ( p q) = p

3.1.0 =1, 1 = 0 , p = p

3.2.p q = p q

3.3.p ~ q = ( p q) (q p)

Закони алгебри логіки перевіряються за допомогою таблиць істинності і надалі використовуються для еквівалентного перетворення формул з метою їх спрощення.

Тавтологія – складне висловлювання, що є істинним при будьяких істиннісних значеннях елементарних висловлювань, з яких воно складається.

Задача 3.1.1. Довести рівність

p q = q p .

Розв’язання.

Перший спосіб – порівняння таблиць істинності:

 

 

 

 

 

 

p

q

p q

q

p

q p

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

Другий спосіб – еквівалентні перетворення з використанням законів алгебри логіки:

q p

3=.2

 

 

 

 

3=.1

q p

1=.1

p q

3=.2

p q . ■

 

 

q

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

Задача 3.1.2. Довести, що висловлювання ( p q) (r p) є тавтологією.

Розв’язання. Як і у попередній задачі, доведення здійснимо двома способами:

 

 

 

 

 

 

p

q

r

p q

r p

( p q) (r p)

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

( p q) (r p)

3=.2

(

 

) (r p)

2=.8

p q

= ( p q) (r p)

1=.1

(q p) ( p r)

1=.2

= ((q p) p) r

 

1=.2

(q ( p p)) r

1=.1

= (q ( p p)) r

 

1.7

1.6

1.1, 1.6

=

(q 1) r =

1

r = 1. ■

Задачі для самостійної роботи

Задача 3.1.3. Відомо, що p ~ q = 0 . Знайти істиннісні значення висловлювань p ~ q і p ~ q .

Задача 3.1.4. Відомо, що q r =1 . З’ясувати, чи досить цього, щоб встановити істиннісне значення висловлювання:

1) p (q r) ;

2) p (q r) .

Задача 3.1.5. Відомо,

що p =1, p q =1,

r

q =1 . Знайти

істиннісне значення висловлювання r .

Задача 3.1.6. Відомо,

що p q =1. Що можна сказати про

істиннісне значення висловлювання ( p q) ~ ( p q) ?

Задача 3.1.7. За допомогою таблиць істинності і методом

52

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]