Задачі для самостійної роботи
Задача 3.2.3. Ввести одномісні предикати на відповідних областях і записати з їх допомогою наступні висловлювання:
1)будь-яке натуральне число, що ділиться на 12 , ділиться на 2 і 4 ;
2)жителі Швейцарії обов`язково володіють французькою, італійською або німецькою мовами;
3)на відрізку [0,1] неперервна функція зберігає знак або набуває нульового значення.
Задача 3.2.4. Ввівши предикати, формалізувати означення:
1)непарної функції;
2)нескінченно малої функції;
3)границі числової послідовності;
4)границі функції в точці;
5)неперервності функції в точці.
Сформулювати означення, які є запереченнями цих означень.
ВІДПОВІДІ ДО ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
1.2.9. 1) U ; 2) |
B ; 3) B ∩C ; 4) ; 5) A ∩ B ∩ M ; 6) B ; 7) C ; 8) |
C ; 9) U ; 10) |
A B C ; 11) A B C . 1.3.3. 862. 1.3.4. 32. 1.3.5. |
25. 1.3.6. 11; 1; 3; 0. 1.3.7. 3; 15. 1.3.8. 94; 65; 25. 1.3.9. 4. 1.3.10. 30; 7; 18; 5. 1.3.11. 26. 2.1.4. 20. 2.1.5. Якщо спочатку було взято білу кульку. 2.1.6. 60; 36. 2.1.7. 26820600. 2.1.8. 370590000. 2.1.9.
900000000; 3265920; 896734080. 2.1.10. 750. 2.3.3. C304 . 2.3.4. C71C91 ;
C72 C92 . 2.3.5. |
C31C53 =C32 C52 =3 10 =30 , оскільки при формуванні |
однієї команди інша утворюється автоматично. 2.3.6. 1) C41C489 ; 2) |
|
C5210 −C4810 |
= C41C489 +C42C488 +C43C487 +C44C486 ; 3) C42C488 ; 4) |
56 |
|
(C5210 −C4810 ) −C41C489 |
|
= |
C42C488 +C43C487 |
+C44C486 . |
|
2.3.7. |
||||||||||||||||||
C 7 |
C 7 |
C |
7 C 7 |
= (28!) /(7!)4 . |
2.3.8. |
|
C12 |
−C10 |
= 3185 . |
|
2.3.9. |
|||||||||||||
28 |
|
21 |
|
14 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||
C42C74 +C43C73 +C44C72 |
= 371 . |
2.3.10. |
|
|
4C332 . |
|
2.3.11. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C151 |
+ C152 +... + C1515 =32767 . |
2.3.12. |
∑C5k |
=32 , |
оскільки |
|||||||||||||||||||
2310 = 2 3 5 7 11 |
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
і добуток будь-якої |
кількості |
простих |
|||||||||||||||||||||
множників |
|
буде |
|
дільником. |
2.3.13. |
∑4 |
C4k =16 . |
2.3.14. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn2 |
− n = n(n −3) / 2 , |
оскільки |
будь-які дві вершини визначають |
|||||||||||||||||||||
сторону |
|
|
або |
діагональ. |
2.4.3. |
|
R304 |
= 657720 . |
|
2.4.4. |
||||||||||||||
R1 |
|
+ R |
2 |
|
+ R3 = |
26820600. |
|
|
2.4.5. |
|
|
|
|
|
R3 |
= 60 ; |
||||||||
300 |
|
300 |
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
R3 |
− R |
3 |
= 60 − 24 = |
36 . |
2.4.6. |
|
R3 R3 R3 |
=172800 . |
|
2.4.7. |
||||||||||||||
5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
R4 |
+ R |
|
2 R 4 + R3 R4 . |
2.4.8. |
1) |
R6 ; |
2) |
R |
6 |
− R5 . |
2.5.6. |
C 8 ; |
|||||||||||
33 |
|
10 |
|
|
33 |
10 |
33 |
10 |
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
7 |
|
|
|
64 |
||
P8 |
= 40320 . 2.5.7. |
P5 P3 = 720 ; |
P4 P4 |
=576 . 2.5.8. |
|
1) |
Pn −2Pn−1 ; |
2) |
||||||||||||||||
P |
− P P |
|
|
. 2.5.9. |
P |
− P P = |
4320 . 2.5.10. C |
3 P |
|
=14400 . 2.5.11. |
||||||||||||||
n |
|
3 |
n−2 |
|
|
|
7 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|||
C 4 P |
−C 3 P |
=162000 . 2.5.12. |
C1 P P = |
43200 . 2.5.13. |
C 4 C 4 |
P . |
||||||||||||||||||
7 |
7 |
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
3 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
15 |
4 |
||
2.5.14. |
|
2P5P5 = 28800 ; 2P5 P5 /10 = 2880 . |
2.5.15. |
|
P7 / (7 2) =360 , |
|||||||||||||||||||
оскільки намисто не змінюється при циклічному зсуві намистин, а
також при перевертанні. 2.6.4. 1) |
|
|
|
|
1012 |
=C2112 = 293930 ; 2) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
108 =C 8 |
= 24310 ; |
3) |
|
C 8 |
= 45 . 2.6.5. |
|
|
530 =C 30 = |
46376 . |
2.6.6. |
|||||||||||||||||
C |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
72 = 28 . |
2.6.7. |
|
|
102 |
|
|
152 |
|
|
|
|
142 = 2640 . |
|
2.6.8. |
|
|
44 |
=35 . |
2.6.9. |
|||||||||
|
|
C |
C |
C |
C |
C |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
nk −n =Ckk−−1n . 2.6.10. |
C7100 ; |
|
793 . 2.7.5. |
|
2n |
= 2n . 2.7.6. |
|
3m =3m . 2.7.7. |
|||||||||||||||||||||
|
C |
R |
R |
||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
= 28561; |
R4 |
|
|
|
|
3 |
− R3 |
= |
|
|
|
|||||||||||
|
R13 |
=17160 . 2.7.8. R10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
10 |
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
|
2k = 62 . |
2.7.10. ∑ |
|
3k =1092 . |
2.7.11. |
||||||
R |
R |
|||||||||||
|
k =1 |
|
|
|
k =1 |
|
|
|||||
280 . 2.7.9. R52 =32 ;
R46 = 4096 . 2.8.7.
P13 (3,3,2,2,1,1,1) = 43243200 . |
2.8.8. |
P8 (2,2,2,1,1) = 5040 . 2.8.9. |
||||||
P6 |
(3,1,1,1) − P4 = 96 . |
|
2.8.10. |
|
P7 (2,1,1,1,1,1) = 2520 ; |
|||
P |
(2,1,1,1,1,1) − P P (2,1,1,1,1) |
=1800 . |
2.8.11. |
|
336 ; |
P (12,12,12) ; |
||
R |
||||||||
7 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
36 |
57
P (10,12,14) |
. 2.8.12. |
R3 P (2,2,1,1,1) . 2.8.13. |
P |
(5,6,7) /(18 2) , |
|
36 |
|
4 |
7 |
18 |
|
оскільки намисто не змінюється при циклічному зсуві намистин, а також при перевертанні. 2.8.14. P8 (3,1,1,1,1,1) = 6720 . 2.9.9.
T4 =120x11 . 2.9.10. x = ±1 . 2.9.11. x =1000 або x = 0,1 . 3.1.3. 1 і 1.
3.1.4. 1) Ні; 2) так. 3.1.5. r =1 . 3.1.6. Протилежне до істиннісного значення висловлювання p .
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1.Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика. Підручник. – Львів: "Магнолія Плюс", 2005. – 608 с.
2.Бардачов Ю.М., Соколова Н.А., Ходаков В.Є. Дискретна математика. Підручник. – К.: Вища шк., 2002. – 288 с.
3.Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328 с.
4.Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика.
– М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. – 400 с.
5.Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения / Под. ред. Рыбникова К.А. – М.: Наука, 1982. – 368 с.
6.Кужель О.В. Елементи теорії множин і математичної логіки. – К.: Радянська школа, 1977. – 160 с.
7.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: Наука, 1984. – 224 с.
58
ЗМІСТ |
|
ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
ТЕМА 1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН . . . . . . . . . . . |
4 |
1.1. Основні поняття теорії множин. |
|
Операції над множинами та їх властивості . . . . . . . . . |
4 |
1.2. Доведення рівностей з множинами . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
1.3. Формули включення-виключення . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
ТЕМА 2. КОМБІНАТОРИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
2.1. Загальні правила комбінаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
2.2. Вибірки та їх класифікація . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
2.3. Сполуки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
2.4. Розміщення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
2.5. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
2.6. Сполуки з повтореннями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
35 |
2.7. Розміщення з повтореннями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
2.8. Перестановки з повтореннями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
2.9. Формула бінома Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ . . . |
49 |
3.1. Алгебра висловлювань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
3.2. Логіка предикатів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
53 |
ВІДПОВІДІ ДО ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ |
56 |
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . |
58 |
59