MA_Metod3

17.D – це трапецiя з вершинами O(0; 0), A(1; 0), B(1; 2), C(0; 1);

18.D – це чотирикутник з вершинами O(0; 0), A(2; 0), B(1; 2), C(0; 1);

19.D – це круг x2 + y2 · 1;

20.D – це чверть круга x2 + y2 · 4, x ¸ 0, y · 0;

21.D – це пiвкруг x2 + y2 · 6x, y ¸ 0;

22.D – це пiвкруг x2 + y2 · 2y, x · 0;

23.D – це кiльце 1 · x2 + y2 · 4;

24.D – це кiльце 2x + 2y ¡ 1 · x2 + y2 · 2x + 2y;

25.D = f(x; y) 2 R2 : x2 · y · 4 ¡ x2g;

26.D = f(x; y) 2 R2 : x2 ¡ 1 · y · x + 5g;

27.D = f(x; y) 2 R2 : y · 2x; 2y ¸ x; xy · 2g;

28.D = f(x; y) 2 R2 : y · 5 ¡ x; y · 2; xy ¸ 4;

29.D – це область, обмежена лiнiями y = x2, y = px;

30.D – це область, обмежена лiнiями y = x3, y = 1, x = ¡1;

31.D – це область, обмежена лiнiями y = ln x, y = 0, x = 0, y = ¡2;

32.D – це область, обмежена лiнiями y = ex, x+y = 1, y = 0, x = ¡1.

Змiнити порядок iнтегрування у таких повторних iнтегралах:

83

ZZ

53.x3y dxdy, якщо область D – це круг x2 + y2 < R2;

D

ZZ

54. jxyj dxdy, якщо область D – це круг радiуса R з центром у

D

початку координат;

ZZ

55.cos(x + y) dxdy, якщо область D – це трикутник зi сторонами

D

x = 0, y = ¼ i y = x;

ZZ

56.(x2 +y2) dxdy, якщо область D – це паралелограм зi сторонами

D

y = x, y = x + 2, y = 2 i y = 6.

11.4Замiна змiнних у подвiйних iнтегралах

встановлює вiдповiднiсть мiж компактними областями ¢ i D в площинах UOV i XOY вiдповiдно. Крiм того, нехай ця вiдповiднiсть є взаємно однозначною мiж внутрiшностями областей ¢ i D i функцiї x(u; v) та y(u; v) є неперервно диференцiйовними на ¢, тобто диференцiали цих функцiй неперервно залежать вiд координат точки диференцiйовностi. Тодi має мiсце формула замiни змiнних

ZZ ZZ

f(x; y) dxdy = f(x(u; v); y(u; v)) jJ(u; v)j dudv;

D ¢

де J(u; v) – це якобiан системи (11.3), який обчислюється за

Зокрема, при переходi до полярних координат ½ i ' за формулами

½x = ½ cos '; y = ½ sin ';

f(x; y) dxdy = f(½ cos '; ½ sin ') ½ d½d';

де D i ¢ – областi у вiдповiдних площинах.

ZZ

У подвiйному iнтегралi f(x; y) dxdy перейти до полярних

D

координат i розставити межi iнтегрування, якщо:

1.D – це круг x2 + y2 · 1;

2.D – це круг x2 + y2 · R2;

3.D – це круг x2 + y2 · 4x;

4.D – це круг x2 + y2 · 8y;

5.D – це кiльце a2 · x2 + y2 · b2;

6.D = f(x; y) 2 R2 : 1 · x2 + y2 · 9; y ¸ 0g;

7.D = f(x; y) 2 R2 : 0 · x · 1; 0 · y · 1 ¡ xg;

8.D = f(x; y) 2 R2 : ¡2 · x · 1; 0 · 3y · x + 2g;

9.D = f(x; y) 2 R2 : ¡1 · x · 1; x2 · y · 1g;

10.D – це параболiчний сегмент, обмежений лiнiями y = x2 та

(1 + p3) y ¡ 2x = 3 + p3;

11.D – це частина областi, обмеженої кривою (x2 + y2)2 = x2 ¡ y2, яка описується нерiвнiстю x ¸ 0.

У наведених нижче повторних iнтегралах перейти до полярних координат i розставити межi iнтегрування в обох порядках:

ZZ

27. y2ex2+y2 dxdy, якщо D – це чверть круга x2 + y2 · 1, x ¸ 0,

D

y · 0;

ZZ

28.ln(1 + x2 + y2) dxdy, якщо D – це чверть круга x2 + y2 · 4,

y ¸ 0}.

У наведених нижче повторних чи подвiйних iнтегралах перейти до нових змiнних u i v та розставити межi iнтегрування вiдносно нових змiнних:

02x

Z3 2Zy+5

31. dy f(x; y) dx, якщо u = x ¡ 2y, v = y;

12y+1

Z2 Z2¡x

32. dx f(x; y) dy, якщо u = x + y i v = x ¡ y;

01¡x

обмежена кривими px + py = 1, x = 0, y = 0; 88

11.5Формула Ґрiна

Нехай область D обмежена кусково гладким контуром L i функцiї P (x; y) та Q(x; y) мають неперервнi частиннi похiднi Py0(x; y) та Q0x(x; y) на множинi D. Тодi має мiсце формула Ґрiна:

де напрямок проходження замкненої кривої L є додатним (проти годинникової стрiлки), тобто при проходженнi кривої L область D залишається злiва.

З допомогою формули Ґрiна обчислити наведенi нижче криволiнiйнi iнтеграли вздовж вiдповiдних кусково гладких замкнених кривих, якi проходяться у додатному напрямку та обмежують певнi областi:

1. R (x + y) dx + (x ¡ y) dy;

L

L не перетинає вiсь OY ;

8. R ¡f(x+y)+f(x¡y)¢dx+¡f(x+y)¡f(x¡y)¢dy, якщо f – довiльна

L

диференцiйовна функцiя;

90

L

Z

16.xy2 dy ¡ x2y dx, якщо L – коло x2 + y2 = 4;

L

21. R (x + y)2 dx ¡(x ¡y)2 dy, якщо L – межа областi, що утворюється

L

вiдрiзком AB, де A(1; 1), B(2; 6), та дугою параболи y = ax2 + bx + c, яка проходить через точки A, B i O(0; 0).

кусково гладкийLконтур, що проходиться в додатному напрямку та мiстить всерединi початок координат.

11.6Геометричнi та фiзичнi застосування подвiйних iнтегралiв

Застосування подвiйних iнтегралiв до обчислення площ та об’ємiв

Площа S(D) областi D, розташованої в площинi XOY

Об’єм V (T ) цилiндричного тiла T з основою D, яка є квадровною областю в площинi XOY , твiрними, паралельними до осi OZ, та обмеженого зверху неперервною поверхнею z = f(x; y), обчислюється

Дотична площина i нормальний вектор до поверхнi, напрямнi косинуси

Нехай s – деяка поверхня у просторi i M0 – точка на цiй поверхнi. Площина ¿ називається дотичною до поверхнi s у точцi M0, якщо

де M – довiльна точка поверхнi s, P – проекцiя точки M на площину ¿ i d – евклiдова вiдстань у просторi.

92