MA_Metod3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dx; n = 1; 2; 3; ::: :

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

564.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

9.5Властивостi сум степеневих рядiв i розклад функцiй у степеневi ряди

Нехай f(x) = P1 anxn, R – радiус збiжностi ряду P1 anxn i X –

n=0

область збiжностi цього ряду.

Теорема 9.19. Нехай x 2 X. Тодi

x	X
0
Z	1	xn+1
	f(t) dt = n=0 an	n + 1	;

причому радiус збiжностi степеневого ряду P1 ann¡1 xn дорiвнює R.

n=1

Теорема 9.20. Функцiя f диференцiйовна на (¡R; R), причому

	1
	X
f0	(x) = n an xn¡1
	n=1
	1

i радiус збiжностi степеневого ряду P(n + 1) an+1xn дорiвнює R.

n=0

Якщо функцiя f визначена в деякому околi точки x0 i має в цiй точцi похiднi всiх порядкiв, то степеневий ряд виду

1	f(n)(x0)
X		(x ¡ x0)n	(9.3)
n=0	n!	(x ¡ x0)n	(9.3)
n=0

називається рядом Тейлора функцiї f у точцi x0. Якщо x0 = 0, то вiдповiдний ряд (9.3) називають рядом Маклорена.

Теорема 9.21. Якщо iснує така стала, що функцiя f та всi її похiднi обмеженi за модулем цiєю сталою в деякому iнтервалi I = (x0 ¡ ±; x0 + ±), то функцiя f подається у кожнiй точцi x 2 I збiжним до неї рядом Тейлора, тобто

f(x) = X1 f(nn)(!x0) (x ¡ x0)n:

n=0

Основнi елементарнi функцiї розкладаються в наведенi нижче ряди Маклорена.

1) Показникова функцiя: для x 2 R

ex = 1 + x +

+ : : : +

+ : : : =

n=0

2) Тригонометричнi функцiї: для x 2 R

n x2n

cos x = 1 ¡

¡ : : : + (¡1)

+ : : : =

( ¡ 1)

;

(2n)!

n=0

(2n)!

x3 x5

n x2n+1

sin x = x ¡

¡ : : : + (¡1)

+ : : : =

( ¡ 1)

(2n + 1)!

n=0

(2n + 1)!

3) Гiперболiчнi функцiї: для x 2 R

x2n

ch x = 1 +

+ : : : +

+ : : : =

;

(2n)!

n=0

(2n)!

x2n+1

sh x = x +

+ : : : +

+ : : : =

(2n + 1)!

n=0

(2n + 1)!

4) Логарифмiчна функцiя: для x 2 (¡1; 1]

( 1)n¡1

ln(1 + x) = x ¡

¡ : : : + (¡1)n¡1

+ : : : =

xn:

n=1

5) Степенева функцiя: для x 2 (¡1; 1)

(1 + x)p = 1 + px +

p(p ¡ 1)

+ : : : +

p(p ¡ 1) : : : (p ¡ n + 1)

xn + : : : =

= 1 +

p(p ¡ 1) : : : (p ¡ n + 1) xn:

n=1	n!
n=1
	24

Користуючись розкладами основних елементарних функцiй у степеневi ряди, розкласти нижченаведенi функцiї в ряди Маклорена

та знайти радiуси збiжностi цих рядiв:

1. e¡x2 ;

2. e¡x3 ;

3. e¡3x + 3ex;

4. e2x + 2e¡x;

5. (1 + x) e¡x;

6. e ¢ ex2 ¢ e2x;

7. sin

;

8. cos(2x2);

10.

sin2 x;

9. cos2 x;

11.

(sh x + sin x);

12.

(ch x ¡ cos x);

13.

sin 3x sin 5x;

14.

cos 5x cos 7x;

15.

sin x cos2 x;

16.

x sin 2x cos 3x;

17.

x cos3 2x;

18.

sin3 x;

19.

;

20.

;

(1 + x)2

(1 ¡ x3)2

21.

;

22.

;

(1 ¡ x2)3

1 ¡ 2x

23.

ln(1 + x4)

;

24.

x ln(1

3x2)

;

25.

x2 ln(4 + x2);

26.

(1 ¡ x) ln(1 ¡ x);

ln r3

1 + x

ln r4

x + 2

27.

;

28.

;

1 ¡ x

2 ¡ x

3 ¡ 2x

ln(12

x2)

29.

2 + 3x

;

30.

;

2 + x2

31.

;

32.

;

1 ¡ x

1 ¡ 2x2

33.

;

34.

5x ¡ 4

;

2x + 3

x + 2

35.

;

36.

;

x2 + 4

4x2 + 25

37.

;

38.

;

x2 ¡ 2x ¡ 3

2x2 + 5x ¡ 3

39.

arctg x;

40.

(1 + x2) arctg x;

41.

arccos x;

42.

x arcsin x;

43.

(x2 ¡ 1) arcsin 2x2;

44.

x2 arccos 2x;

45.

x arcsin x + p

;

46.

x arccos x ¡ p

;

1 ¡ x2

47.

x ln(x + p

48.

x ln(x2 + p

x2 + 2);

x4 + 9);

49.

x ln(x + p

) ¡ p

;

50. x p

x2 + 4+4 ln(x+p

1 + x2

x2 + 4).

Обчислити суми та вказати областi збiжностi таких рядiв:

51. X1 lnn x;

n=0 n!

53. X1 ln2n+1(px2 + 1 ¡ x); (2n + 1)!

n=0

52. X1 (¡1)n lnn x; 2n n!

n=0

54. X1 ln2n(px2 + 1 + x). (2n)!

n=0

За допомогою почленного диференцiювання чи iнтегрування знайти суми наведених нижче рядiв та вказати областi збiжностi цих рядiв:

X		x2n+1
1		x2n+1
55.		2n + 1		;
n=0
1
X	n xn¡1;
57.	n xn¡1;
n=1
X	(3n + 1) x3n
1	(3n + 1) x3n
59.		n!			;
n=0		n!
n=0
1				x3n
X
61.	(¡1)n		3n + 1			;
n=0
1
X	n xn+2;
63.	n xn+2;

n=1

	X			x3n+1
56.	1	(¡1)n		x3n+1			;
56.	n=0	(¡1)n		3n + 1			;
	n=0
	1
58.	X(2n + 1) x2n;
	n=0
60.	1	(2n + 1) x2n				;
60.	n=0		n!			;
	X
	1		x2n
62.					;
62.	n=0		2n + 1		;
	X
	1
64.	X(¡1)n (n + 2) xn;

n=0

65.

(¡1)n¡1

;

66.

;

n=1

n (n + 1)

67.

n (n + 1) xn;

68.

(¡1)n¡1 n2 xn¡1;

n=1

69.

(¡1)n¡1 x2n

;

70.

(¡1)n xn¡1

;

n (2n

1)(n + 2)

n=1

n=2 (n

71.

n3 xn;

72.

n4 xn;

n=1

cos nx

sin nx

73.

;

74.

n=0

n=1

9.6Розклад функцiй у ряди Фур’є на промiжках завдовжки 2¼

Функцiя f називається абсолютно iнтегровною на вiдрiзку [a; b],

якщо iнтеграл f(x) dx абсолютно збiжний.

Нехай функцiя f абсолютно iнтегровна на вiдрiзку [¡¼; ¼]. У цьому випадку рядом Фур’є функцiї f називається тригонометричний ряд виду

	1
a0	X	(9.4)
	+ (an cos nx + bn sin nx);	(9.4)
2	n=1
	n=1

коефiцiєнти якого обчисляються за допомогою формул Ейлера-Фур’є

		¼
an =	1		Z	f(x) cos nx dx;	n = 0; 1; 2; ::: ;

	¼
		¡¼
		¼
bn =	1		Z	f(x) sin nx dx;	n = 1; 2; 3; ::: :

	¼
		¡¼
				27

Якщо функцiя f парна, то bn = 0 для всiх n = 1; 2; 3; :::, а

		¼
an =	2	Z0	f(x) cos nx dx; n = 0; 1; 2; ::: :
	¼

Якщо функцiя f непарна, то an = 0 для всiх n = 0; 1; 2; :::, а

bn = ¼	Z0	f(x) sin nx dx; n = 1; 2; 3; ::: :
2	¼

Функцiя f називається кусково диференцiйовною на вiдрiзку [a; b], якщо вона диференцiйовна у всiх точках цього вiдрiзка, крiм, можливо, скiнченної кiлькостi точок xi, в яких iснують її скiнченнi

одностороннi границi

f x

lim f(x)

та скiнченнi одностороннi

(

i§0) = x xi

0) =

lim

похiднi

i §

f(x)¡f(xi§0)

. Зрозумiло, що кожна кусково

x¡xi

диференцiйовна на вiдрiзку функцiя абсолютно iнтегровна на цьому вiдрiзку.

Теорема 9.22. Ряд Фур’є кусково диференцiйовної на вiдрiзку [¡¼; ¼] функцiї f збiгається в кожнiй точцi x 2 (¡¼; ¼) до числа


S(x) =	f(x + 0) + f(x ¡ 0)		;	(9.5)
2
а в точках x = ¼ та x = ¡¼ – до числа
f(¡¼ + 0) + f(¼ ¡ 0)		:
2		:
2

Вiдзначимо, що сума ряду Фур’є кусково диференцiйовної на вiдрiзку [¡¼; ¼] функцiї f є 2¼-перiодичною на R i збiгається з функцiєю f у кожнiй точцi неперервностi цiєї функцiї з iнтервалу

(¡¼; ¼).

Нехай a 2 R, а функцiя f визначена i абсолютно iнтегровна на вiдрiзку [a; a + 2¼]. У цьому випадку коефiцiєнти ряду Фур’є (9.4) функцiї f обчисляються за такими формулами

		a+2¼
an =	1	Za	f(x) cos nx dx; n = 0; 1; 2; ::: ;

	¼
			28

		a+2¼
bn =	1	Za	f(x) sin nx dx; n = 1; 2; 3; ::: :
	¼

Зтеореми 9.22 випливає, що ряд Фур’є (9.4) кусково

диференцiйовної на вiдрiзку [a; a + 2¼] функцiї f збiгається в кожнiй точцi x 2 (a; a + 2¼) до числа S(x) виду (9.5), а в точках x = a та x = a + 2¼ – до числа

f(a + 0) + f(a + 2¼ ¡ 0): 2

Крiм цього, сума S(x) ряду Фур’є кусково диференцiйовної на вiдрiзку [a; a + 2¼] функцiї f є 2¼-перiодичною на R i збiгається з функцiєю f у кожнiй точцi неперервностi цiєї функцiї з iнтервалу

(a; a + 2¼).

Зауважимо, що коли функцiя f неперервна i 2¼-перiодична на R, а також кусково диференцiйовна на вiдрiзку [¡¼; ¼], то вона у кожнiй точцi x 2 R є сумою свого ряду Фур’є виду (9.4).

Розкласти в ряд Фур’є функцiю f на вiдповiднiй множинi, якщо:

1.	f(x) = cos4 x, x 2 R;			2.	f(x) = sin5 x, x 2 R;
3. f(x) =		1; x 2 [0; ¼];		4. f(x) =		¡2; x 2 [0; ¼];
	½	0;	x 2 [¡¼; 0);		½	2;	x 2 [¡¼; 0);
5. f(x) =		0; x 2 [0; ¼];		6. f(x) =		2 x;	x 2 [0; ¼];
	½ x;		x 2 [¡¼; 0);		½	0;	x 2 [¡¼; 0);
	½	¡3 x; x 2 [¡¼; 0);			½ b x;		x 2 [¡¼; 0);
7. f(x) =		4 x;	x 2 [0; ¼];	8. f(x) =		a x; x 2 [0; ¼];

9. f(x) = x, x 2 (¡¼; ¼);		10.	f(x) = x + ¼, x 2 (¡¼; ¼);
11.	f(x) = jxj, x 2 (¡¼; ¼);	12.	f(x) = ¼ ¡ jxj, x 2 (¡¼; ¼);
13.	f(x) = ¼ ¡ x, x 2 (0; 2¼);	14.	f(x) = x, x 2 (0; 2¼);
15.	f(x) = ¼2 ¡ x2, x 2 (¡¼; ¼);	16.	f(x) = x3, x 2 (¡¼; ¼);
17.	f(x) = sh x, x 2 (¡¼; ¼);	18.	f(x) = ch x, x 2 (¡¼; ¼);
		29

19. f(x) = e2x, x 2 (¡¼; ¼); 21. f(x) = sin x2 , x 2 (¡¼; ¼); 23. f(x) = x sin x, x 2 [¡¼; ¼];

20. f(x) = e¡3x, x 2 (¡¼; ¼); 22. f(x) = cos x2 , x 2 (¡¼; ¼); 24. f(x) = x cos x, x 2 (¡¼; ¼);

25.f(x) = ch ax, x 2 [¡¼; ¼], a > 0;

26.f(x) = sh ax, x 2 (¡¼; ¼), a > 0;

27.f(x) = cos ax, x 2 (¡¼; ¼), a 62Z;

28.f(x) = sin ax, x 2 (¡¼; ¼), a 62Z.

29.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = sign x на iнтервалi (¡¼; ¼) i, користуючись цим розкладом, знайти суму ряду Лейбнiца

X1 (¡1)n :

n=0 2n ¡ 1

Розкласти в ряд Фур’є

30. f(x) = sign (sin x); 32. f(x) = arcsin(cos x); 34. f(x) = arccos(sin x); 36. f(x) = j cos xj;

2¼-перiодичну на R функцiю f, якщо:

31. f(x) = sign (cos x); 33. f(x) = arcsin(sin x); 35. f(x) = arccos(cos x); 37. f(x) = j sin xj.

9.7Розклад функцiй у ряди Фур’є на довiльних промiжках

Нехай l > 0, а функцiя f визначена i абсолютно iнтегровна на вiдрiзку [¡l; l]. У цьому випадку рядом Фур’є функцiї f називається тригонометричний ряд виду

a	X	³an cos	n¼x		n¼x	´;
a	1		n¼x		n¼x
0	+ n=1			+ bn sin			(9.6)
2	+ n=1		l	+ bn sin	l		(9.6)
			30

коефiцiєнти якого обчисляються за такими формулами

	1	Z	l			n¼x
an =				f(x) cos			dx;	n = 0; 1; 2; ::: ;

	l					l
		¡l
	1	Z	l		n¼x
bn =				f(x) sin			dx;	n = 1; 2; 3; ::: :

	l					l
		¡l
Якщо функцiя f		парна, то bn = 0 для всiх n = 1; 2; 3; :::, а
	2	Z0	l			n¼x
an =				f(x) cos			dx;	n = 0; 1; 2; ::: :

	l					l

Якщо функцiя f непарна, то an = 0 для всiх n = 0; 1; 2; :::, а

	2	Z0	l	n¼x
bn =			f(x) sin		dx; n = 1; 2; 3; ::: :

	l			l

Зтеореми 9.22 випливає, що ряд Фур’є (9.6) кусково

диференцiйовної на вiдрiзку [¡l; l] функцiї f збiгається в кожнiй точцi x 2 (¡l; l) до числа S(x) виду (9.5), а в точках x = l та x = ¡l

– до числа

f(¡l + 0) + f(l ¡ 0): 2

При цьому, сума ряду Фур’є (9.6) кусково диференцiйовної на вiдрiзку [¡l; l] функцiї f є 2l-перiодичною на R i збiгається з функцiєю f у кожнiй точцi неперервностi цiєї функцiї з iнтервалу

(¡l; l).

Якщо функцiя f визначена i абсолютно iнтегровна на вiдрiзку [a; a + 2l] для деякого a 2 R, то коефiцiєнти ряду Фур’є (9.6) функцiї f обчисляються за формулами

		a+2l
an =	1	Za	f(x) cos	n¼x	dx; n = 0; 1; 2; ::: ;

	l			l
				31

З теореми 9.22 випливає, що ряд Фур’є кусково диференцiйовної на вiдрiзку [a; a+2l] функцiї f збiгається в кожнiй точцi x 2 (a; a+2l) до числа S(x) виду (9.5), а в точках x = a та x = a + 2l – до числа

f(a + 0) + f(a + 2l ¡ 0): 2

Крiм цього, сума S(x) ряду Фур’є кусково диференцiйовної на вiдрiзку [a; a + 2l] функцiї f є 2l-перiодичною на R i збiгається з функцiєю f у кожнiй точцi неперервностi цiєї функцiї з iнтервалу

(a; a + 2l).

Розкласти в ряд Фур’є функцiю f на вiдповiднiй множинi, вважаючи довжину промiжку, який є областю визначення функцiї,

перiодом суми ряду Фур’є:

1. f(x) =

¼ < x <

¼ ;

2. f(x) =

< x <

;

1; 4 · x < 2 ;

½ b; 6 · x < 3 ;

2; 0 < x < 2;

2a; 0 < x < l;

3. f(x) =

1; x = 2;

4. f(x) =

8 a;

x = l;

0; 2 < x < 4;

0; l < x < 2l;

f x

) =

(

;

f x

) =

x ( 2; 2)

(

1 1);

(

2 ¡

;

j j

¡ j j

7. f(x) = x,

a) x 2 (¡¼4 ; ¼4 ),

б) x 2 (¡l; l);

8. f(x) = ¼ ¡ x, x 2 (0; ¼);

9. f(x) = x2, x 2 (0; ¼2 );

10. f(x) = e2x, x 2 (¡¼2 ; ¼2 );

11. f(x) = eax, x 2 (¡l; l);

12. f(x) = x cos x, x 2 (¡¼2 ; ¼2 );

13. f(x) = x sin x, x 2 (¡¼4 ; ¼4 ).

Розкласти в ряд Фур’є перiодичну на R функцiю f, якщо:

14. f(x) = ¯cos

¯;

15. f(x) = j sin 2xj;

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб5materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx
#
23.02.2016476.68 Кб19MA_I.pdf
#
23.02.2016564.91 Кб10MA_Metod3.pdf
#
13.08.2019157.7 Кб2MD_Doslidzh.doc
#
13.08.2019144.9 Кб1MD_Kompl_dosl.doc
#
13.08.2019163.33 Кб1MD_Komunik_1.doc
#
13.08.2019259.07 Кб1MD_Komunik_2.doc
#
23.02.20161.71 Mб20meddopomga_kn.pdf