Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MA_Metod3

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
564.91 Кб
Скачать

Нехай поверхня s задана параметрично рiвняннями

x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v);

де функцiї x; y i z неперервно диференцiйовнi на областi D µ R2, тобто мають в цiй областi неперервнi частиннi похiднi першого

порядку, i точка M0(x0; y0; z0) 2 s вiдповiдає точцi (u0; v0) 2 D. Тодi рiвняння дотичної площини до поверхнi s у точцi M0 має вигляд

де

 

 

A(x ¡ x0) + B(y ¡ y0) + C(z ¡ z0) = 0;

 

 

 

(11.4)

¯

yv0

zv0

¯; B = ¯

zv0

xv0

¯;

C = ¯

xv0

yv0

¯

;

(11.5)

A =

 

¯

yu0

zu0

¯

¯

zu0

xu0

¯

¯

xu0

yu0

¯

 

 

 

¯

¯

¯

¯

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

(u

; v

)

 

 

причому всi¯

визначники¯

обчислюються¯ ¯

в точцi¯

0

0

 

.¯

 

 

Пряма, яка перпендикулярна до дотичної площини i проходить

через

точку дотику,

називається нормаллю. Напрямний вектор

 

 

 

 

n

 

 

 

нормалi одиничної довжини ¡! називається одиничним вектором

нормалi. Враховуючи (11.4), маємо, що

+ C2 ; pA2 + B2 + C2 :

= § µpA2 + B2

+ C2 ; pA2 + B2

n

 

A

 

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай ®, ¯ i ° – кути мiж вектором n i додатними напрямками осей OX, OY i OZ вiдповiдно. Тодi cos ®, cos ¯ i cos ° називаються

напрямними косинусами нормалi i

¡!

n = (cos ®; cos ¯; cos °):

Квадровна поверхня, площа квадровної поверхнi

Нехай s – гладка поверхня, тобто поверхня, яка в кожнiй точцi має дотичну площину. Розiб’ємо поверхню s кусково гладкими кривими на n частин s1, : : : , sn i на кожнiй поверхнi si виберемо точку Mi. Для кожного i = 1; : : : ; n позначимо через ¿i площину, дотичну до s у точцi Mi, через ¢i – ортогональну проекцiю поверхнi si на площину ¿i, а через Si) – площу проекцiї ¢i. Якщо iснує скiнченна границя

 

n

 

Xi

I = lim

Si);

¸!0

=1

 

93

де ¸ = max diamsi, яка не залежить вiд способу розбиття поверхнi

1·i·n

s i вибору набору (Mi)ni=1, то поверхня s називається квадровною, а число I – площею поверхнi s.

Нехай функцiя f(x; y) неперервно диференцiйовна на квадровнiй областi D µ R2. Тодi площа S поверхнi z = f(x; y) обчислюється за

формулою

ZZ

 

 

 

 

 

S =

1 + (zx0

)2

+ (zy0 )2 dxdy:

 

D

q

 

 

 

Якщо поверхня задана параметрично рiвняннями x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v);

де функцiї x; y i z неперервно диференцiйовнi на областi D µ R2, то

їїплоща S обчислюється за формулою

ZZp

S = EG ¡ F 2 dudv;

D

 

де

 

E = (xu0 )2 + (yu0 )2 + (zu0 )2; G = (xv0 )2 + (yv0 )2 + (zv0 )2;

 

F = xu0 ¢ xv0 + yu0 ¢ yv0 + zu0 ¢ zv0 :

(11.6)

Зауважимо, що EG¡F 2 = A2 +B2 +C2; де A, B i C обчислюються згiдно з (11.5).

Фiзичнi застосування подвiйних iнтегралiв

Нехай задана плоска пластина D µ XOY з плоскою густиною ½(x; y). Тодi маса m пластини D обчислюється за формулою

ZZ

m = ½(x; y) dxdy:

D

Статичнi моменти Mx i My пластини D вiдносно осей OX i OY

вiдповiдно обчислюються так:

 

 

 

Mx = ZZD

y ½(x; y) dxdy

i

My = ZZD

x ½(x; y) dxdy:

 

 

94

 

 

Таким чином, координати x0 i y0 центра ваги пластини D об-

числюються за формулами

 

 

 

 

x0

=

My

i y0

=

Mx

:

m

 

 

 

 

 

m

Знайти площу областi D, яка обмежена вказаними нижче кривими або описується з допомогою вказаних нижче нерiвностей:

1. x = 0, y = 0, x + y = 1;

2. y = x, y = 5x, x = 1;

3. y = 2x, x + y = 3, x = 0;

4. y = x ¡ 2, x + y = 4, y = 2;

5. y = 2x2, y = 6;

6. y = 1 ¡ x2, y = ¡1;

7. y = x2 ¡ x, y = 3 + x;

8. y = x2, y2 = x;

9. y = 12(x ¡ 1)2, y = 16 ¡ x2;

10.

y2 = 10x + 26, y2 = 10 ¡ 6x;

11.

xy = 4, y = 5 ¡ x;

12.

xy = 2, x + y = 3;

13.

x2 + y2 = 6x;

14.

x2 + y2 = 4y;

15.

x2 + y2 · 4, y2 · 4 ¡ 4x;

16.

y = p

 

, y = 2p

 

, x = 4;

x

x

17.

 

x2

+

y2

= 1;

18.

 

x2

+

y2

= 1;

 

 

 

4

 

9

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

(x2 + y2)2 = 8(x2 ¡ y2);

20.

x2=3 + y2=3 = 1;

21.y = cos x, y = cos 2x, 0 · x · 23¼ ;

22.y = sin x, y = sin 3x, 0 · x · ¼;

23.x = ¡2y, y = ¡3x, y ¡ x = 1, y ¡ x = 4;

24.x + y = 2, x + y = 3, y = 2x, y = 3x;

25.xy = 1, xy = 4, x = 3y, x = 4y, x > 0;

26.y2 = x, y2 = 9x, x = 2y, x = 4y;

27.y2 = 4x, y2 = 25x, x2 = y, x2 = 9y;

28.xy = 4, xy = 16, x2 = y, x2 = 2y;

29.px + py = 1, px + py = 2, y = x, y = 4x;

30.

p3

 

+ p3

 

= 1,

p3

 

+ p3

 

= 4, y = x, y = 8x;

 

 

 

x2

y2

x2

y2

 

 

 

 

 

 

95

31.(x3 + y3)2 = x2 + y2, x ¸ 0, y ¸ 0;

32.(x2 + y2)2 = 32xy, (x ¡ 2)2 + (y ¡ 2)2 · 4.

Знайти об’єм тiла T , яке обмежене вказаними нижче поверхнями або описується з допомогою вказаних нижче нерiвностей:

33.

x

+

y

+

z

= 1, x = 0, y = 0, z = 0;

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34.

2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0;

 

35.

z = x2 + y2, z = 4, x = 0, y = 0, x + y = 1;

36.

z = 2x2 + 3y2, z = 0, x = 0, y = 0, x + 2y = 4;

37.

x + y + z = 2, x2 + y2 = 1, x · 0, y · 0, z ¸ 0;

38.

2x + 3y = 12, x = 0, z = 0, 2z = y2;

 

39.

z = xy, x + y + z = 1, z = 0;

 

 

 

40.

3x + y = 6, 3x + y = 12, y = 0, z = 0, x + y + z = 6;

41.

2y2 = x, z = 0, x + 2y + z = 4;

 

 

 

42.

z = 6 ¡ x2 ¡ y2, z =

 

;

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

+

1

= 0

 

z = sin(¼ x2

+ y2)

 

43.

 

 

 

 

 

 

,

p

 

 

;

 

 

 

 

 

 

· ,

 

 

 

p

 

 

44.14 · x2 + y2 · 94, z = 0, z = cos(¼px2 + y2);

45.x2 + y2 · 4, x ¸ 0, y ¸ 0, z2 = xy;

46.(x2 + y2)2 = 2xy, x ¸ 0, y ¸ 0, z = 0, z = x + y;

47.x2 + y2 ¸ x, x2 + y2 · 2x, z = 0, z = x2 + y2;

48.(x2 + y2)2 = 4(x2 ¡ y2), x ¸ 0, z = 0, 2z = x2 + y2;

49.x2

4

50.x2

51.x2

4

+ y9

= 1, z = 0, z = r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ¡

4 ¡

9 ;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

+ y4

+ z9

¸ 1,

r

 

 

·

3;

 

 

 

x2 + y4

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y2

= 1,

 

 

+ y2 ¡ z2 = ¡1;

 

 

 

 

4

 

 

 

96

 

x2

y2

 

z2

x2

y2

 

2

x2

y2

 

 

 

 

52.

 

 

+

 

+

 

· 1, µ

 

+

 

 

·

 

¡

 

;

 

a2

b2

c2

a2

b2

 

a2

b2

53.xy = 1, xy = 2, 2y = x, y = 2x, z = 0, z = x2 + y2;

54.x2 = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x, z = 0, z = xy;

55.y = x, y = 2x, xy = 1, z = 0, z = sin(¼xy);

56.xy = 1, xy = 8, 2y = x, y = 1, y = 2, z = 0, z = e¡xy.

57.Обчислити площу частини площини 6x + 3y + 2z = 12, яка знаходиться у першому октантi.

58.Обчислити площу частини площини 2x + 5y + 3z = 30, яка знаходиться у першому октантi.

59.Обчислити площу частини сфери x2 +y2 +z2 = 2a2, яка мiститься всерединi конуса x2 + y2 = z2.

60.Обчислити площу поверхнi z = xy, яка описується нерiвнiстю x2 + y2 · 1.

61.Обчислити площу частини параболоїда y = x2 + z2, яка мiститься всерединi цилiндра x2 + z2 = 1.

62.Обчислити площу частини сфери x2 + y2 + z2 = 9, яка мiститься всерединi цилiндра x92 + y42 = 1.

63.Обчислити площу частини цилiндра z = x2, яка вiдтинається площинами x + y = p2, x = 0, y = 0.

64.Обчислити площу частини конуса x2 + y2 = z2, яка мiститься

всерединi цилiндра x2 + y2

= 1.

 

 

 

 

65. Обчислити площу частини конуса z =

 

 

 

, яка мiститься

 

x2

+ y2

всерединi цилiндра x2 + y2

= 2x.

p

 

 

66.Обчислити площу частини конуса z2 = x2 + y2, яка вирiзається цилiндричною поверхнею z2 = 2y.

67.Обчислити площу частини цилiндра x2 + z2 = 1, що мiститься всерединi цилiндра y2 + z2 = 1.

97

Обчислити статичнi моменти вiдносно вiдповiдних прямих чи вiдрiзкiв наступних однорiдних (з плоскою густиною ½ = 1) пластин.

68.Пiвкруга з радiусом R вiдносно його дiаметра.

69.Круга з радiусом R вiдносно дотичної до цього круга.

70.Правильного шестикутника зi стороною a вiдносно сторони.

71.Довести, що статичний момент однорiдного трикутника a вiдносно сторони довжиною a залежить лише вiд висоти, проведеної до даної сторони.

Знайти координати центра ваги наступних однорiдних плоских фiгур, якi обмеженi вiдповiдними кривими або описанi вiдповiдними

нерiвностями.

72. xa22 + yb22 = 1, де 0 < b · a, y ¸ 0.

73.y = sin x, y = 0, 0 · x · ¼4 .

74.y = x2, x + y = 2.

75.px + py = 1, x = 0, y = 0.

22

76.x3 + y 3 = 1.

77.Знайти масу квадратної пластини зi стороною a, якщо її плоска густина в кожнiй точцi пропорцiйна вiдстанi вiд цiєї точки до фiксованої вершини квадрата i дорiвнює 1 в центрi квадрата.

78.Знайти масу квадратної пластини зi стороною 2a, якщо її плоска густина в кожнiй точцi пропорцiйна квадрату вiдстанi вiд цiєї точки до центра квадрата i дорiвнює 1 у вершинах квадрата.

79.Знайти координати центра ваги круглої пластини x2 + y2 · R2, якщо її плоска густина в кожнiй точцi пропорцiйна вiдстанi вiд цiєї точки до точки A(R; 0).

98

Роздiл XII. Поверхневi i потрiйнi iнтеграли

12.1Поверхневi iнтеграли I роду

Означення поверхневого iнтеграла I роду.

Нехай P – деяка квадровна поверхня, обмежена кусково-гладким контуром i f(x; y; z) – функцiя, визначена на P . Розiб’ємо поверхню P кусково-гладкими кривими на n частин P1,. . . , Pn i виберемо довiльнi

точки Mi(xi; yi; zi) 2 Pi для кожного i = 1; : : : ; n. Нехай S(Pi) – це площа поверхнi Pi для i = 1; 2; :::; n i

¸ = max diam(Pi):

1·i·n

Розглянемо вiдповiдну iнтегральну суму

Xn

¾ = f(xi; yi; zi)S(Pi):

i=1

Якщо iснує скiнченна границя iнтегральних сум ¾ при ¸ ! 0, яка не залежить вiд способу розбиття поверхнi P i вибору набору (Mi)ni=1 вiдмiчених точок, то вона називається поверхневим iнтегралом I роду вiд функцiї f(x; y; z) по поверхнi P i позначається

ZZ

 

 

f(x; y; z)dS:

 

P

 

Зауважимо, що

ZZP

 

 

dS = S(P )

для довiльної квадровної поверхнi P .

Зведення поверхневих iнтегралiв I роду до подвiйних.

Якщо поверхня P

задана рiвнянням z = z(x; y), де (x; y) 2 D i

z(x; y) – неперервно диференцiйовна функцiя на D, то

 

 

ZZ f(x; y; z)dS = ZZ

 

 

 

 

f(x; y; z(x; y)) 1 + (zx0 )2 + (zy0

)2dxdy:

P

D

q

 

 

 

 

99

 

 

 

У випадку, коли поверхня P задана параметрично рiвняннями x = x(u; v), y = y(u; v), z = z(u; v), причому (u; v) 2 D i функцiї x(u; v), y(u; v) та z(u; v) неперервно диференцiйовнi на D, то

ZZ ZZ p

f(x; y; z)dS = f(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) EG ¡ F 2dudv;

P D

де E, G i F обчисляються згiдно з (11.6).

Фiзичнi застосування поверхневих iнтегралiв I роду.

Нехай задана поверхня P з поверхневою густиною ½(x; y; z). Тодi маса m поверхнi P обчисляється за формулою

ZZ

m = ½(x; y; z) dS:

P

Статичнi моменти Myz, Mzx i Mxy поверхнi P вiдносно площин Y OZ, ZOX i XOY вiдповiдно обчисляються так:

Myz = ZZP x ½(x; y; z) dS;

Mzx = ZZP y ½(x; y; z) dS

i

ZZP z ½(x; y; z) dS:

Mxy =

Таким чином, координати x0, yo i z0 центра ваги поверхнi P

обчисляються за формулами

x0

=

Myz

;

y0

=

Mzx

; i

z0

=

Mxy

:

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

 

m

1. Обчислити поверхневий iнтеграл I роду

RR (x + y)dS; де P – це

P

частина площини z = 1, яка визначається нерiвностями 0 · x · 1 i

0 · y · px;

2. Обчислити поверхневий iнтеграл I роду RR (y2 ¡ z2)dS; де P – це

частина площини x = ¡2, яка визначаєтьсяPнерiвностями 0 · y · 2 i 0 · z · y2;

Обчислити поверхневий iнтеграл I роду RR dS; якщо:

P

100

3.H – трикутник з вершинами A(0; 0; 0), B(2; 0; 0) i C(0; 3; 0);

4.H – трикутник з вершинами A(¡2; 1; 1), B(¡2; 5; 1) i C(¡2; 1; ¡1);

5. H – чотирикутник з вершинами A(1; 0; ¡1), B(3; 0; ¡1),

C(3; ¡2; ¡1) i D(1; ¡2; ¡1);

6.H – пiвсфера x2 + y2 + z2 = 1, що визначається нерiвнiстю x ¸ 0;

7.H – частина сфери x2 + y2 + z2 = 4, що визначається нерiвностями

y ¸ 0, z · 0;

p

 

 

 

нерiвнiстю z · 1;

 

 

 

8.

H – частина конiчної поверхнi z =

x2 + y2, що визначається

9.

H – частина конiчної поверхнi y = ¡p

 

, що визначається

x2 + z2

нерiвнiстю y ¸ ¡2.

Обчислити поверхневi iнтеграли I роду:

ZZ

10.(x + y + z)dS, якщо P – частина площини x + 2x + 4z = 4 при

P

x ¸ 0, y ¸ 0 i z ¸ 0;

ZZ

11.(x ¡ y + 2z)dS, якщо P – частина площини x + y ¡ 2z = 1 при

P

x ¸ 0, y ¸ 0 i z · 0;

ZZ

12. ex+y+zdS, якщо P – частина площини y + z ¡x = 1 при x · 0,

P

y ¸ 0 i z ¸ 0;

ZZ

1

13. (1 + x + y)2 dS, якщо P – поверхня тетраедра x + y + z · 1,

P

x ¸ 0, y ¸ 0 i z ¸ 0;

ZZ

14.(x2 +z2)dS, якщо P – частина поверхнi октаедра jxj+jyj+jzj =

P

1 при x ¸ 0, z ¸ 0;

101

ZZ

15.(x2 ¡ y2)dS, якщо P – поверхня куба jxj = 1, jyj = 1, jzj = 1;

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

ZZP

xydP S, якщо P – частина сфери x2 + y2 + z2 = 1 при z ¸ 0;

17.

ZZP

(x + y)dS, якщо P – частина сфери x2 + y2 + z2 = 1 при x ¸ 0,

y ¸ 0 i z ¸ 0;

 

 

18.

ZZ

 

 

 

 

 

 

+ z2

= 4;

 

 

x2

+ y2

dS, якщо P – сфера x2 + y2

19.

P

p

 

 

 

+ y2

+ z2 = 1;

ZZ

 

 

1 + x2 + y2 dS, якщо P – сфера x2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

P

 

p

 

 

 

 

 

 

 

ZZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.xdS, якщо P – повна поверхня цилiндра x2 +y2 = 4, 0 · z · 3;

P

ZZ

21.(x2 + y2)dS, якщо P – повна поверхня цилiндра x2 + y2 = 2x,

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡2 · z · 2;

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

P

zdS, якщо P – поверхня конуса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZZ

x2 + y2 · z · 1;

 

 

23. ZZ

(2x2+2y2+z2)dS, якщо P – поверхня конуса

 

 

 

 

· z · 2;

 

x2 + y2

 

P

 

 

 

 

p

 

 

24.

ZZ

(z2 ¡ x2 + 2x)dS, якщо P – поверхня конуса

 

 

 

 

·

 

 

(x ¡ 1)2 + y2

 

P

 

 

 

 

 

p

 

 

z · 1;

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

P

ydS, якщо P – поверхня конуса

 

 

 

 

 

 

 

ZZ

 

x2 + (y + 1)2 · z · 3;

 

102

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]