MA_Metod3

ZZ

26. p1 x+ 4z dS, якщо P – поверхня параболоїда x2 + y2 · z · 1;

P

ZZ

27.xyzdS, якщо P – поверхня параболоїда x2 + y2 · z · 4;

Pp

S

u sin v, z = v, де u 2 [0; 1] i v 2 [0; 2¼].

31.Знайти масу поверхнi куба 0 · x · 1, 0 · y · 1, 0 · z · 1, з поверхневою густиною ½(x; y; z) = xyz.

32.Знайти масу поверхнi сфери x2 + y2 + z2 = 1 з поверхневою

½(x; y; z) = jzj.

Визначити координати центрiв ваги таких однорiдних поверхонь:

35. x2 + y2 + z2 = 1, x ¸ 0, y ¸ 0, z ¸ 0; p

36.z = p1 ¡ x2 ¡ y2, x ¸ 0, y ¸ 0, x + y · 1;

37.z = x2 + y2, x2 + y2 · x;

38.z = 2 ¡ x2+2 y2 , z ¸ 0.

103

12.2Поверхневi iнтеграли II роду

Одностороннi та двостороннi поверхнi, орiєнтацiя поверхнi.

Нехай P – диференцiйовна поверхня. Поверхня P називається двосторонньою, якщо при проходженнi довiльної замкненої кривої

¡!

°, яка лежить на поверхнi P , одиничний вектор нормалi n до поверхнi P у бiжучiй точцi M 2 °, неперервно змiнюючись,

повертається до свого початкового значення. Якщо ж на поверхнi P iснує замкнена крива °, при проходженнi якої одиничний вектор

¡!

нормалi n до поверхнi P у бiжучiй точцi M 2 °, неперервно

змiнюючись, переходить вiд початкового значення до протилежного, то така поверхня P називається односторонньою.

Зауважимо, що поверхнi, якi задаються рiвнянням z = f(x; y), є двостороннiми. Класичним прикладом односторонньої поверхнi є

листок Мебiуса.

Нехай P – двостороння поверхня i ° – замкнена крива на поверхнi

P . Зафiксуємо сторону поверхнi P , вибравши один iз двох напрямкiв

¡!

нормалi n до поверхнi P у деякiй точцi M 2 P . Напрямок проходження кривої ° називається додатним, якщо з точки зору зафiксованого напрямку нормалi рух вздовж кривої ° є рухом проти годинникової стрiлки (тобто частина поверхнi P , обмежена контуром °, знаходиться злiва вiд контура °). Протилежний напрямок проходження замкненої кривої ° називається вiд’ємним.

Зауважимо, що додатний напрямок проходження замкненої кривої, яка лежить в площинi XOY , вiдповiдає додатному напрямку проходження цiєї кривої, яка лежить на верхнiй сторонi двосторонньої поверхнi XOY .

Означення поверхневого iнтеграла II роду.

Нехай P – деяка двостороння поверхня з фiксованою стороною i f(x; y; z) – функцiя, визначена на P . Розiб’ємо поверхню P кусковогладкими кривими на n частин P1,. . . , Pn i виберемо довiльнi точки

Mi(xi; yi; zi) 2 Pi для кожного i = 1; : : : ; n. Позначимо через ¢1,. . . , ¢n проекцiї P1,. . . , Pn на площину XOY i виберемо довiльнi точки

Mi(xi; yi; zi) 2 Pi для кожного i = 1; : : : ; n. Крiм того, покладемо або

Di = S(¢i);

104

якщо додатний напрямок проходження межi поверхнi Pi вiдповiдає додатному напрямку проходження межi проекцiї ¢i, або

Di = ¡S(¢i)

– в iншому випадку. Позначимо

¸ = max diam(Pi):

1·i·n

s розглянемо вiдповiдну iнтегральну суму

Xn

¾ = f(xi; yi; zi)Di:

i=1

Якщо iснує скiнченна границя iнтегральних сум ¾ при ¸ ! 0, яка не залежить вiд способу розбиття поверхнi P i вибору набору (Mi)ni=1 вiдмiчених точок, то вона називається поверхневим iнтегралом II

роду вiд функцiї f(x; y; z) по поверхнi P i позначається

ZZ

f(x; y; z)dxdy:

P

Аналогiчно вводяться поверхневi iнтеграли другого роду

ZZ ZZ

f(x; y; z)dydz i f(x; y; z)dzdx:

P P

Загальний вигляд поверхневого iнтеграла другого роду такий:

ZZ

P (x; y; z) dydz + Q(x; y; z) dzdx + R(x; y; z) dxdy:

G

Зведення поверхневих iнтегралiв II роду до поверхневих iнтегралiв I роду i до подвiйних.

1) Нехай поверхня G з фiксованою стороною поверхнi задається

якщо поверхня G проектується на поверхню D, яка лежить на нижнiй сторонi площини XOY .

2) Нехай двостороння поверхня G задана параметрично рiвняннями x = x(u; v), y = y(u; v), z = z(u; v), причому (u; v) 2 D i функцiї x(u; v), y(u; v) та z(u; v) неперервно диференцiйовнi на D,

причому параметризацiя вибрана так, що координати одиничного

¡!

вектора нормалi n = (cos ®; cos ¯; cos °) до зафiксованої сторони поверхнi обчисляються за формулами

C

cos ° = pA2 + B2 + C2 ;

де A, B i C обчисляються згiдно з (11.4). Обчислити поверхневi iнтеграли II роду:

1. RR (xdydz + ydzdx + zdxdy), де S – зовнiшня сторона сфери x2 +

S

y2 + z2 = a2;

2. RR zdxdy, де S – нижня сторона частини конуса z2 = x2 + y2 при

0 ·S z · 1;

3. RR (x2 + y2)dxdy, де S – нижня сторона круга x2 + y2 · 4, z = 0; 4. RRS (2z ¡ x)dydz + (x + 2z)dzdx + 3zdxdy, де S – верхня сторона

S

трикутника x + 4y + z = 4, x ¸ 0, y ¸ 0, z ¸ 0;

5. RR (yzdydz + zxdzdx + xydxdy), де S – внутрiшня сторона поверхнi

S

тетраедра x + y + z ¸ 1, x ¸ 0, y ¸ 0, z ¸ 0;

6. RR xzdxdy, де S – внутрiшня сторона поверхнi тетраедра

S

x + y + z ¸ 1, x ¸ 0, y ¸ 0, z ¸ 0;

106

7.RR ydzdx, де S – зовнiшня сторона сфери x2 + y2 + z2 = R2;

8.RRS x2dydz, де S – зовнiшня сторона сфери x2 + y2 + z2 = 4;

9.RRS (x5 +z)dydz, де S – внутрiшня сторона пiвсфери x2 +y2 +z2 = R2,

S

z ¸ 0;

10. RR x2y2zdxdy, де S – зовнiшня сторона пiвсфери x2 + y2 + z2 = R2,

S

z ¸ 0;

11. RR (x2dydz + z2dxdy), де S – зовнiшня сторона частини сфери x2 +

S

z2 = 4, z ¸ 0;

14. RR (x¡1)3dydz, де S – зовнiшня сторона пiвсфери x2 +y2 +z2 = x,

S

z · 0;

15.RR dzdx, де S – зовнiшня сторона елiпсоїда x42 + y92 + 16z2 = 1;

16.RRS xdydz, де S – внутрiшня сторона елiпсоїда x92 + y2 + z42 = 1;

17.RRS z2dxdy, де S – зовнiшня сторона елiпсоїда x162 + y42 + z2 = 1;

18.RRS dxdyz , де S – внутрiшня сторона елiпсоїда x2 + y42 + 25z2 = 1;

19.RRS (2x2 + y2 + z2)dydz, де S – зовнiшня сторона бiчної поверхнi

Sp

S

x = a cos u cos v, y = b sin u cos v, z = c cos v, u 2 [¼ ; ¼ ], v 2 [¼ ; ¼ ];

RR 4 3 6 4

22. (x3dydz + y3dzdx + z3dxdy), де S – зовнiшня сторона бiчної

S

107

поверхнi конуса z2 ¸ x2 + y2 при 0 · z · 1;

12.3Обчислення потрiйних iнтегралiв

Нехай на кубовному тiлi T µ R3 задана функцiя f(x; y; z). Розiб’ємо тiло T на n кубовних частин T1; : : : ; Tn. Для кожного i = 1; 2; : : : ; n виберемо точку Mi(»i; ´i; ³i) 2 Ti, позначимо через Vi об’єм тiла Ti i покладемо

¸ = max diam(Vi);

1·i·n

де diam(Vi) = sup d(p; q), причому d(p; q) – це евклiдова вiдстань вiд

p;q2Ti

точки p до точки q в просторi R3. Розглянемо iнтегральну суму

Xn

¾ = f(»i; ´i; ³i)Vi:

i=1

Якщо iснує скiнченна границя I = lim ¾, яка не залежить вiд способу

¸!0

розбиття тiла T i вибору набору (Mi)ni=1 вiдмiчених точок Mi, то вона називається потрiйним iнтегралом вiд функцiї f(x; y; z) по тiлу T i позначається через RRR f(x; y; z) dxdydz, тобто

Теорема 12.1. Нехай кубовне тiло T µ R3 обмежене поверхнями x = a, x = b i для кожного x 2 [a; b] площина, перпендикулярна до осi OX, перетинає тiло T по квадровнiй фiгурi, ортогональна проекцiя якої на площину Y OZ дорiвнює D(x). Нехай, крiм того, функцiя f(x; y; z) iнтегровна по тiлу T i для кожного x 2 [a; b] функцiя fx : D(x) ! R, fx(y; z) = f(x; y; z), iнтегровна по областi D(x). Тодi функцiя ZZ

I(x) = fx(y; z)dydz

D(x)

108

Формулу переходу вiд потрiйного iнтеграла до повторного, одержану у попереднiй теоремi, записують також у такому виглядi

Теорема 12.2. Нехай кубовне тiло T µ R3 обмежене бiчною поверхнею цилiндра з основою D µ XOY i твiрними, паралельними осi OZ, i поверхнями z = '(x; y) i z = Ã(x; y), де '(x; y) · Ã(x; y)

Теорема 12.3. Нехай кубовне тiло T µ R3 описується нерiвностями a · x · b, ®(x) · y · ¯(x) i '(x; y) · z · Ã(x; y), причому функцiї ®, ¯, ' i à неперервнi. Нехай, крiм того, функцiя f(x; y; z) неперервна на T . Тодi

У потрiйному iнтегралi f(x; y; z) dxdydz у рiзному порядку

T

розставити межi iнтегрування, якщо:

1.T обмежене площинами x = 0, x = 1, y = ¡1, y = 1, z = 1 i z = 3;

2.T обмежене площинами x = ¡3, x = 0, y = 1, y = 5, z = ¡2 i z = 1;

3.T обмежене площинами x = 0, y = 0, z = 0 i x + y + z = 1;

4.T обмежене площинами x = 0, y = 0, z = 0 i x + 2y + 3z = 6;

5.T обмежене поверхнею x2 + y2 + z2 = 4;

6.T обмежене поверхнею x2 + 4y2 + 9z2 = 36;

7.T визначається нерiвностями x ¸ 0, y ¸ 0, z ¸ 0 i x2 + y2 + z2 · 1;

8.T визначається нерiвностями x · 0, y ¸ 0, z · 0 i 4x2 + y2 + 16z2 ·

16;

9.T визначається нерiвностями x ¸ 0, y · 0, z ¸ 0 i 3x + y2 + z3 · 3;

10.T визначається нерiвностями x ¸ 0, y ¸ 0, z · 0 i 5x5 +2y2 +8z8 ·

У нижченаведеному повторному iнтегралi перейти до потрiйного

ZZZ

iнтеграла f(x; y; z) dxdydz, визначивши тiло T , i змiнити

T

порядок iнтегрування на вказаний:

11. R1 dx R1 dy Rx f(x; y; z)dz, (x; z; y), (y; z; x);

0 0 0

110

Обчислити такi потрiйнi iнтеграли:

ZZZ

19.(x2+y2+z2) dxdydz, якщо тiло T обмежене площинами x = 0,

x = 1T, y = 0, y = 2, z = 0 i z = 3;

ZZZ

20. zex sin y dxdydz, якщо тiло T обмежене площинами x = 0,

T

x = 2, y = 0, y = ¼, z = 0 i z = 1;

ZZZ

21.(x+y)ex¡y dxdydz, якщо тiло T обмежене площинами x = ¡1,

x = 1T, y = ¡1, y = 1, z = 0 i z = 5;

ZZZ

22.xyz dxdydz, якщо тiло T обмежене площинами x = 0, x = 1,

T

111

y = ¡1, y = 1, z = 0 i z = 1;

ZZZ

23.(xy + yz + zx) dxdydz, якщо тiло T обмежене площинами

x = 0, x = ¼2 , y = 0, y = ¼2 , z = x ¡ y i z = x + y;

ZZZ

26.(x+2y+3z) dxdydz, якщо тiло T обмежене площинами y = 0,

z = x, z = y i z = 1;

112