MA_Metod3
.pdf
ZZZ
32. xy dxdydz, якщо тiло T обмежене поверхнями x = 0, y = 0,
T
z = 0, x2 + y2 = 1 i z = 1, причому x; y ¸ 0;
ZZZ
33. xyz dxdydz, якщо тiло T – це частина кулi x2 + y2 + z2 · 1,
T
яка знаходиться у першому октантi;
ZZZ p
34. x2 + y2 dxdydz, якщо тiло T обмежене поверхнями x2 +
T
y2 = z2 i z = 1;
ZZZ
35. xy2z3 dxdydz, якщо тiло T обмежене поверхнями z = xy,
T
y = x, x = 1 i z = 0;
ZZZ
36. xyz dxdydz, якщо тiло T обмежене поверхнями y = x2, x =
T
y2, z = xy i z = 0.
12.4Замiна змiнних у потрiйних iнтегралах
Нехай система функцiй |
|
x = x(u; v; w); |
|
< z = z(u; v; w) |
(12.7) |
8 y = y(u; v; w); |
|
встановлює вiдповiднiсть: мiж замкненими |
обмеженими тiлами |
- i T в просторах з прямокутними декартовими системами координат OUV W i OXY Z, вiдповiдно. Крiм того, нехай ця вiдповiднiсть є взаємно-однозначною мiж внутрiшностями тiл - i T i функцiї x, y та z є неперервно диференцiйовними на -, тобто диференцiали цих функцiй неперервно залежать вiд координат точки диференцiйовностi. Тодi для iнтегровної на T функцiї f(x; y; z)
113
має мiсце формула замiни змiнних
ZZZ ZZZ
f(x; y; z)dxdydz = f(x(u; v; w); y(u; v; w); z(u; v; w))jJ(u; v; w)jdudvdw;
T -
де J(u; v; w) – це якобiан системи (12.7), який обчисляється за формулою
|
¯ |
xu0 (u; v; w) yu0 (u; v; w) |
|
|
w |
w |
|
J(u; v; w) = |
¯ |
xv0 (u; v; w) yv0 (u; v; w) |
|
¯ |
|||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
x0 (u; v; w) y0 (u; v; w) |
|
|
¯ |
||
¯
zu0 (u; v; w) ¯¯ zv0 (u; v; w) ¯¯: zw0 (u; v; w) ¯
Зокрема, при переходi до цилiндричних координат ½, ' i z за формулами
маємо J(½; '; z) = ½. А при переходi до сферичних координат ½, ' i à за формулами
маємо J(½; '; Ã) = ½2 cos Ã.
1. Нехай кубовне тiло T симетричне вiдносно площини XOY i функцiя f(x; y; z) непарна вiдносно змiнної z, тобто f(x; y; ¡z) =
¡f(x; y; z) для довiльної точки (x; y; z) 2 T . Довести, що
ZZZ
f(x; y; z)dxdydz = 0:
T
2. Нехай кубовне тiло T симетричне вiдносно осi OX i функцiя f(x; y; z) непарна вiдносно пари змiнних (y; z), тобто f(x; ¡y; ¡z) =
¡f(x; y; z) для довiльної точки (x; y; z) 2 T . Довести, що
ZZZ
f(x; y; z)dxdydz = 0:
T
114
3. Нехай кубовне тiло T симетричне вiдносно початку координат
i функцiя f(x; y; z) непарна вiдносно трiйки |
змiнних, |
тобто |
f(¡x; ¡y; ¡z) = ¡f(x; y; z) для довiльної точки |
(x; y; z) |
2 T . |
Довести, що |
ZZZ |
|
|
|
f(x; y; z)dxdydz = 0: |
T
Перейшовши до сферичних координат, обчислити потрiйний
ZZZ
iнтеграл |
f(x; y; z) dxdydz, якщо: |
Tp
4.f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 i T = f(x; y; z) : x2 + y2 + z2 · 9g;
5. f(x; y; z) = |
1 |
i T = (x; y; z) : 1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
16 ; |
|||||
px2+y2+z2 |
|
x |
|
|
+ y |
|
|
+ z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
f |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
g |
6. f(x; y; z) = |
|
x |
|
i T = f(x; y; z) : x |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
; x ¸ 0g; |
||||
|
|
|
+ y |
|
|
+ z |
|
|
· R |
||||||||||
R4+(x2+y2+z2)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. f(x; y; z) = x2 + y2 ¡ z2 i T = f(x; y; z) : 1 · x2 + y2 + z2 · 4; x ¸
0; y ¸ 0g;
8. |
|
f(x; y; z) = yz + zx i тiло T |
знаходиться у першому октантi i |
|||||||||||||||
обмежене поверхнями y = x, x = 0, z = 0 i x2 + y2 + z2 = R2; |
|
|
||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
z |
i T = (x; y; z) : x |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
f(x; y; z) = |
px2+y2+z2 |
|
+ y |
|
+ z |
|
|
1; z |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
· |
|
¸ |
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
+ y2 + z2 |
|
z |
|
|
|||||||
p f(x; y;gz; ) = x2 + y2 + z2 T = (x; y; z) : x2 |
|
|
|
|||||||||||||||
10. |
p |
|
|
i |
|
f |
|
|
|
|
· g. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Перейшовши до цилiндричних координат, обчислити потрiйний |
|
iнтеграл ZZZT |
f(x; y; z) dxdydz, якщо: |
11. f(x; y; z) = x2+y2+z2 i T = f(x; y; z) : x2+y2 · 4; x ¸ 0; 0 · z · 1g;
12. |
f(x; y; z) = x + y + z i тiло T обмежене поверхнями x2 + y2 = 1, |
||
z = 0 i x + y + z = 2; |
|||
13. |
f(x; y; z) = x2 + y2 i T = f(x; y; z) : |
x2+y2 |
· z · 2g; |
2 |
|||
|
115 |
|
|
14. f(x; y; z) = z |
¡ |
x + y i тiло T обмежене поверхнями y = x2 |
+ z2 |
i |
y2 = x2 + z2. |
|
|
|
15. Знайти якобiан J при переходi до узагальнених сферичних
координат |
|
|
|
|
|
|
x = a½ cos ' cos Ã; |
||
|
8 y = b½ sin ' cos Ã; |
|||
|
< |
|
z = c½ sin Ã: |
|
|
: x2 |
y2 |
z2 |
|
Нехай T = f(x; y; z) : |
a2 |
+ b2 |
+ c2 · 1g. Обчислити потрiйний |
|
iнтеграл ZZZ |
f(x; y; z) dxdydz, якщо: |
|||
T
16.f(x; y; z) = xa22 + yb22 + zc22 ;
17.f(x; y; z) = x2 + y2;
|
f(x; y; z) = q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18. |
1 ¡ |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пiдiбравши пiдходящу замiну змiнних, обчислити потрiйний |
||||||||||||||||||||||||||
iнтеграл |
ZZZT |
f(x; y; z) dxdydz, якщо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
19. |
f |
( |
x; y; z |
) = |
|
1 |
|
|
i |
T |
= f( |
x; y; z |
) : |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
· 4 |
; x |
¸ 0g; |
||||||
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+(x2+y2+z2) 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
20. f(x; y; z) = z i тiло T обмежене поверхнями R2z2 = x2 + y2 i z = 1;
21. |
f(x; y; z) = |
|
1 |
|
|
i T = f(x; y; z) : 1 · x · 2; 1 · x + y · |
||||||||||||||
(x+y)(x+y+z) |
||||||||||||||||||||
3; 1 · x + y + z · 5g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
f |
x; y; z |
|
x2 |
¡ |
y2 |
z x2 |
y2 |
) i |
T = |
(x; y; z) : x |
¡ |
1 |
· |
y |
· |
||||
( |
|
) = ( |
|
)(2 + |
2 ¡ |
|
|
2 f |
2 |
g; |
|
|
||||||||
x; 1 ¡ x · y · 2 ¡ x; 1 ¡ x + y |
· z · 2 ¡ x |
+ y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
23. |
f(x; y; z) = xyz i T |
= f(x; y; z) : x · yz · 2x; y · zx · 2y; z · |
||||||||||||||||||
xy · 2zg; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
f(x; y; z) = x2 |
i тiло T обмежене поверхнями z = y2, z |
= 2y2, |
|||||||||||||||||
z = x, z = 2x i z = 1, причому y ¸ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
116
12.5Геометричнi та фiзичнi застосування потрiйних iнтегралiв
Застосування потрiйних iнтегралiв до обчислення об’ємiв.
Об’єм V (T ) тiла T , розташованого в просторi з прямокутною декартовою системою координат OXY Z обчисляється за формулою
ZZZ
V (T ) = dxdydz:
T
Фiзичнi застосування подвiйних iнтегралiв.
Нехай в просторi з прямокутною декартовою системою координат OXY Z задано тiло T з об’ємною густиною ½(x; y; z). Тодi маса m тiла T обчисляється за формулою
ZZZ
m = |
½(x; y; z) dxdydz: |
|
T |
Статичнi моменти Myz, Mzx i Mxy тiла T вiдносно площин OY Z,
OZX i OXY вiдповiдно обчисляються так: |
|
|
|||||||
Myz = ZZZT |
x ½(x; y; z) dxdydz; |
|
|
Mzx = ZZZT |
y ½(x; y; z) dxdydz |
||||
i |
|
|
|
ZZZT |
|
|
|
|
|
|
|
Mxy = |
z ½(x; y; z) dxdydz: |
|
|
||||
Таким чином, координати x0, y0 i z0 центра ваги тiла T |
|||||||||
обчисляються за формулами |
|
|
|
|
|
||||
|
x0 = |
Myz |
; |
y0 = |
Mzx |
i z0 = |
Mxy |
: |
|
|
|
m |
|
||||||
|
|
m |
|
|
|
m |
|||
Обчислiть об’єм тiла T , обмеженого вказаними поверхнями: 1. 6x + 4y + 3z = 12, x = 0, y = 0, z = 0;
117
2. 2x ¡ 3y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0;
3. y = x + 1, y = 1 ¡ x, y = 0, z = 0, z = 3; 4. z = y + 1, z = 1 ¡ y2, z = 0, x = 1, x = 2;
5. x + y + z = 4, 4x + y = 4, 4x + 3y = 12, y = 0, z = 0;
6. x2 + y2 · 9, z = 1, z = 3; |
|
|
|
|||||||||
7. x2 + z2 · 16, y = ¡1, y = 1; |
|
|||||||||||
8. x2 + y2 = 2x, z = x2 |
+ y2, z = 0; |
; |
||||||||||
10. |
|
= |
, = 1, |
p |
, |
|
|
|
||||
9. x2 |
+ y2 |
= 4y, z = |
x2 + y2 |
, z = 0; |
||||||||
|
y x2 y |
|
z = 0 z = x2 + y2 |
|
||||||||
11. |
x2 + y2 = 9, x + y + z = 2, x + y + z = ¡2; |
|||||||||||
12. |
x2 |
+ y2 |
+ z2 · 4; |
|
|
|
|
|
||||
13. |
x2 |
+ y2 |
+ z2 |
= 16, y · 0, z · 0; |
|
|||||||
14. |
x2 |
+ y2 |
+ z2 |
= 25, x ¸ 0, y ¸ 0, z ¸ 0; |
||||||||
15. |
x2 |
+ y2 |
+ z2 |
= 4, z = p |
|
; |
|
|||||
x2 + y2 |
|
|||||||||||
16.x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x, z = 0, z = 1;
17.x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x, z = x2 + y2, z = 0;
18.x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 · z2;
19.36x2 + 9y2 + 4z2 · 36;
20.25x2 + 4y2 + 100z2 · 100, x · 0, y ¸ 0.
12.6Формули Стокса i Ґаусса-Остроградського
Нехай двостороння гладка поверхня H обмежена кусково гладкою замкненою кривою l. Нехай на областi G, що мiстить поверхню H, заданi функцiї P (x; y; z), Q(x; y; z) i R(x; y; z), якi неперервнi на G разом зi своїми частинними похiдними першого порядку. Тодi
118
I |
ZZ |
P dx+Q dy+R dz = (Q0x¡Py0)dxdy+(Ry0 ¡Q0z)dydz+(Pz0¡Rx0 )dzdx;
l |
H |
де сторона поверхнi H узгоджена з напрямком проходження кривої
¡!
l, тобто з боку одиничного вектора нормалi n до поверхнi H напрямок проходження кривої l є додатним.
Ця формула називається формулою Стокса. Вона може бути записана також i у такому виглядi
I
P dx + Q dy + R dz =
= ZZ |
|
|
|
|
l |
|
|
(Ry0 |
¡ Qz0 ) cos ® + (Pz0 ¡ Rx0 ) cos ¯ + (Qx0 ¡ Py0) cos ° dS; |
||||||
H |
¡ |
|
|
|
|
|
¢ |
n |
|
®; |
|
¯; |
|
° |
) – одиничний вектор нормалi до сторони |
де ¡! = (cos |
|
cos |
|
cos |
|
||
поверхнi H, узгодженої з напрямком проходження l. Дану формулу записують у такому символьному виглядi
|
ZZ |
¯ |
cos ® |
cos ¯ |
cos ° |
¯dS: |
||||||
P dx + Q dy + R dz = |
|
@ |
|
|
@ |
|
|
@ |
|
|||
|
@x |
|
@y |
|
@z |
|||||||
I |
¯ |
|
P |
|
Q |
|
R |
¯ |
||||
l |
H |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Нехай область G обмежена (двосторонньою) кусково гладкою поверхнею H. Нехай на областi G заданi функцiї P (x; y; z), Q(x; y; z) i R(x; y; z), якi неперервнi на G разом зi своїми частинними похiдними першого порядку. Тодi
ZZ ZZZ
P dydz + Q dzdx + R dxdy = (Px0 + Q0y + Rz0 )dxdydz;
H G
де H – зовнiшня сторона поверхня, що обмежує G.
Ця формула називається формулою Ґаусса-Остроградського. Вона може бути записана також i у такому виглядi
119
ZZZ |
ZZ |
(Px0 + Q0y + Rz0 )dxdydz = (P cos ® + Q cos ¯ + R cos °) dS;
G H
¡!
де n = (cos ®; cos ¯; cos °) – одиничний вектор нормалi до вiдповiдної сторони поверхнi H.
Здопомогою формули Стокса обчислiть поверхневi iнтеграли:
Здопомогою формули Ґаусса-Остроградського обчислiть потрiйнi iнтеграли:
1.RR (x3dydz + y3dzdx + z3dxdy), якщо S – зовнiшня сторона бiчної
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхнi конуса z2 ¸ x2 + y2 при 0 · z · 1; |
x2 |
|
y2 |
|
|
|||
RR |
zdxdy + (5x + y)dydz, якщо |
|
|
|
||||
2. |
|
|
|
|
|
|
||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
a) S – внутрiшня сторона поверхнi елiпсоїда |
|
|
+ |
|
+ z2 |
= 1; |
||
4 |
9 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
б) S – зовнiшня сторона повної поверхнi конуса x2 + y2 · z2 при
0 · z · 4.
3. RR x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, якщо
S
а) S – внутрiшня сторона поверхнi паралелепiпеда 0 · x · a,
0 · y · b, 0 · z · c;
б) S – зовнiшня сторона повної поверхнi конуса x2 + y2 · z2 при
0 · z · 3.
4. RR x3dydz + y3dzdx + z3dxdy, якщо S – зовнiшня сторона бiчної
S
поверхнi конуса x2 + y2 · z2, 0 · z · 1. 5. RR x3dydz + y3dzdx + z3dxdy, якщо
S
а) S – зовнiшня сторона поверхнi тетраедра x + y + z · a, x ¸ 0, y ¸ 0, z ¸ 0;
120
б) S – внутрiшня сторона сфери x2 + y2 + z2 = R2.
RR |
x4dydz + y4dzdx + z4dxdy, якщо |
2 2 2 |
2 |
6. |
|
|
|
S |
|
|
· R , |
а) S – внутрiшня сторона повної поверхнi пiвкулi x +y +z |
|||
|
z ¸ 0; |
|
|
б) S – сфера x2 + y2 + z2 = R2.
121