Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MA_Metod3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

564.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

З допомогою ознак Абеля чи Дiрiхле дослiдити на рiвномiрну

збiжнiсть ряд un(x) на множинi X, якщо:

n=1

cos nx

sin nx

62.

un(x) = p

, X = [¼3 ; 53¼ ];

63.

un(x) =

, X = [¼7 ; 137¼ ];

n + x

(x) =

(¡1)n

X = (0; + )

(x) =

(¡1)n

X = [0; ¼]

64.

n + x ,

;

65.

n + sin x,

;

cos 2¼n

66.

un(x) =

, X = R;

n2 + x2

67.

(x) =

sin x ¢ sin nx

X = [0; +

)

;

pn + x

68.

un(x) =

cos n

sin

, X = [0; +1);

x + n

69.

(x) =

(¡1)n nx

X = [0; 5]

(n + 1)pn + x

;

70.

(x) =

(¡1)n

arctg xn

X = [0; +

)

;

71.

un(x) =

(¡1)n

arctg(nx), X = R.

72. Нехай ряд jun(x)j рiвномiрно збiжний на X. Довести, що ряд

n=1

un(x) також рiвномiрно збiжний на X.

n=1
	1		1
	X		X
73. Нехай ряд	un(x) рiвномiрно збiжний на [0; 1] i ряд		jun(x)j
	n=1	1	n=1
		1
		X
поточково збiжний на [0; 1]. Чи обов’язково ряд		jun(x)j рiвномiрно

n=1

збiжний на [0; 1]?

74. Нехай числовий ряд an збiжний. Довести, що функцiональний

n=1

ряд X1 nanx рiвномiрно збiжний на [0; +1).

n=1

75. Нехай числовий ряд an збiжний. Довести, що функцiональний

n=1

ряд X1 an рiвномiрно збiжний на [0; +1).

n=1 enx

9.3Властивостi сум функцiональних рядiв

Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних рядiв та послiдовностей iстотно використовується при доведеннi наведених нижче властивостей сум функцiональних рядiв та граничних функцiй функцiональних послiдовностей.

Теорема 9.7. Нехай функцiї un : X ! R такi, що ряд P1 un(x)

n=1

рiвномiрно збiжний на X, a – гранична точка множини X i для

кожного		n	2 N iснує скiнченна границя				lim u		(x)	= c	n. Тодi ряд
кожного			2 N iснує скiнченна границя				x a	n			n. Тодi ряд
1	cn збiжний i						!
nP	cn збiжний i			1	un(x) =	1	cn:
nP			lim	1	un(x) =	1	cn:
=1				X		X
=1
			x!a n=1			n=1

Наслiдок 9.8. Нехай fn ¶ f на X, a – гранична точка множини

X i bn = lim fn(x). Тодi

x!a

lim f(x) = lim bn:

x!a n!1

Теорема 9.9. Нехай (fn)1n=1 – послiдовнiсть функцiй fn : X ! R, неперервних в точцi x0 2 X, яка рiвномiрно збiгається до функцiї f : X ! R на X. Тодi f також неперервна в точцi x0.

Наслiдок 9.10. Границя рiвномiрно збiжної на X послiдовностi неперервних на множинi A µ X функцiй є неперервною на A функцiєю.

Наслiдок 9.11. Сума рiвномiрно збiжного на X ряду з неперервних на множинi A µ X функцiй є неперервною на A функцiєю.

Теорема 9.12. Нехай для кожного n 2 N функцiя un : [a; b] ! R

iнтегровна на [a; b] i ряд P1 un(x) рiвномiрно збiжний на [a; b]. Тодi

n=1

функцiя S(x) = P1 un(x) iнтегровна на [a; b] i

n=1

Zb S(x) dx =	1 Zb	un(x) dx:
	X

an=1 a

Наслiдок 9.13. Нехай для кожного n 2 N функцiя fn : [a; b] ! R

iнтегровна на [a; b] i fn ¶ f на [a; b]. Тодi функцiя f iнтегровна на
[a; b] i	Za	b	( )	= n!1 Za	b	n


		f x dx		lim	f (x) dx:

Теорема 9.14. Нехай для кожного n 2 N функцiя un : [a; b] ! R має

неперервну похiдну на [a; b], ряд

un(x) збiжний хоча б в однiй

[a; b]

1 u0

(x)

[a; b]

точцi

0 2

i ряд

. Тодi

n=1

рiвномiрно збiжний на

ряд

un(x) рiвномiрно збiжний на [a; b] i функцiя S(x) =

un(x)

n=1

диференцiйовна на [a; b], причому

S0(x) =

un0 (x)

n=1

для кожного x 2 [a; b].

Наслiдок 9.15. Нехай для кожного n 2 N функцiя fn

[a; b] !

R має неперервну похiдну на

[a; b]

, послiдовнiсть

поточково

n=1

збiгається до функцiї f на [a; b], а послiдовнiсть (fn0 )1n=1 рiвномiрно збiгається на [a; b]. Тодi функцiя f диференцiйовна на [a; b] i

f0(x) = lim fn0 (x)

n!1

для кожного x 2 [a; b].

1. Довести, що сума ряду x2e¡nx неперервна на вiдрiзку [0,1], i

знайти цю суму.			=1
знайти цю суму.			nP	1
Довести неперервнiсть суми ряду					un(x) на множинi X, якщо:
				=1
	arctg nx			nP	1
2. un(x) =	p3		, X = R;	3. un(x) = arcsin			, X = R;
						n2 + x4
		n4 + x2				n2 + x4
4. un(x) = x4 e¡nx, X = [0; +1);				5. un(x) = x e¡n3x, X = [0; +1);

(x) =

(¡1)n

X = [2; 5]

x2 + pn,

;

Знайти

область

визначення

неперервнiсть на D, якщо:

f(x) =

1 sin(x7 ¡ n5)

;

n=1

n5 + x2

10. f(x) =

e¡n2x2 cos nx;

n=1

2 + n¶

;

12. f(x) = n=1

f(x) =

(¡1)n

14.

;

n=1

1 + nx

16. f(x) =

;

2 n

n=1

(1 + x )

Знайти область визначення диференцiйовнiсть на D, якщо:

18. f(x) = X1 x + n;

n=1 en

7. un(x) =

cos nx, X = [¼3 ; 23¼ ].

D функцiї f

i дослiдити

її

на

1 cos(ln x)

9. f(x) =

n5 + x

;

n=1

lnn x

11. f(x) =

;

n=1

µx + n

;

13. f(x) = n=1

15. f(x) =

(¡1)n ;

n=1

17. f(x) =

n=1

1 + n

D функцiї f

i дослiдити її

на

cos nx

19. f(x) =

;

n=1

		1	sin(x + n)				1	x3
20.	f(x) =	X		;	21.	f(x) =	X		;
20.	f(x) =	n=1	2n + x2	;	21.	f(x) =	n=1	enx	;
			2n + x2					enx
22.	f(x) =		(¡1)nx;		23.	f(x) =		(¡1)n .
22.	f(x) =	1	(¡1)nx;		23.	f(x) =	1	(¡1)n .
		X					X
		n=1	n + x				n=1	n + x2
		n=1					n=1

24. Довести, що функцiя f(x) = X1 sin(nx) неперервно диференцi- n3

n=1

йовна на R.

25. Довести, що функцiя f(x) = X1 cos(nx) неперервно диференцi- n4

n=1

йовна на R.

26. Довести, що дзета-функцiя Рiмана ³(x) = X1 n1x нескiнченно ди-

n=1

ференцiйовна на (1; +1).

27. Довести, що функцiя f(x) = X1 e¡n2x нескiнченно диференцiйов-

n=1

на на (0; +1). Знайти границi:

28.

lim 1

(¡1)n

;

29.

lim 1

1 ;

x!1¡0 n=1

n xn + 1

x!+0 n=1 2nnx

1 + x

30.

lim

;

31. lim

;

x!0 n=1 n(n + 1) + x

x!0 n=1 n2

+ x

32.

;

33.

;

lim

x!1 n=1 1 + n

x!+1 n=1

1 + n(n + 1)x

(xn

xn+1)

lim

34.

x!1¡0 n=1

;

¼n + x2

lim

xn dx

lim

35.

n!1 Z2 arctg

;

36.

n!1 Z0 sin

2n + 1

Обчислити iнтеграли:

	2	1	(n ¡ 1)x	dx
37.	1	X


	Z	n=2 (1 + x2)n ;

	1	1	n
38.	0	X

	Z	n=1 (1 + x2) (2 + arctg x)n+1 dx.

39. Довести, що функцiя f(x) =

n e¡nx неперервна при x > 0, i

n=1

ln 5

обчислитиlnZ2

f(x) dx.

2¼

40. Довести, що функцiя f(x)

cos2 nx

неперервна на R, i

n=1

n(n + 1)

обчислити Z0

f(x) dx.

41. Використовуючи формулу x

cos

= sin x для x 2 R, знайти

n=1

Z¼ f(x) dx, де f(x) = n=1 21n tg 2n .

42. Довести, що функцiя f(x) =

+ x

неперервна на R,

n=1

n (n + 1)

i обчислити Z0

f(x) dx.

¼2

43. Використовуючи формулу

n=1 n2

, знайти

f(x) dx, де

f(x) =

n=1

+ x2

44. Довести, що ряд [(n + 1)xe¡(n+1)x ¡ nxe¡nx] збiгається

n=1

нерiвномiрно на вiдрiзку [0; 1], однак його сума неперервна на цьому вiдрiзку.

45. Довести, що ряд X1 (x2(n+1) ¡ x2n) збiгається нерiвномiрно на

n=1

вiдрiзку [¡1; 1], але його можна почленно iнтегрувати на цьому вiдрiзку.

46.

Перевiрити,

що

функцiональна

послiдовнiсть

(fn)n1=1,

де

fn(x) = nxe¡nx2 , збiгається до неперервної на вiдрiзку [0; 1] функцiї,

але

)

n!1 Z

Z ³n!1 n

lim

lim f (x)

dx:

47.

Перевiрити,

що

функцiональна

послiдовнiсть

(fn)n1=1,

де

fn(x) = nx(1 ¡ x)n, збiгається нерiвномiрно на вiдрiзку [0; 1], але

)

n!1 Z

Z ³n!1 n

lim

dx =

lim f (x)

dx:

48.

Перевiрити,

що

функцiональна

послiдовнiсть

(fn)n1=1,

де

fn(x) = n1 arctg xn,

збiгається рiвномiрно на

R до диференцiйовної

функцiї f, але

nlim fn0 (1) 6= f0(1):

49.

Чи

можна

функцiональний

ряд

arctg

почленно

n=1

диференцiювати на R?

50.

Чи

можна функцiональний

ряд

X³x

¡ x

´ почленно

2n+1

2n¡1

n=1

iнтегрувати на вiдрiзку [0; 1]?

9.4Область збiжностi степеневих рядiв

Нехай x0 2 R i (an)1n=0 – фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел. Функцiональний ряд вигляду

an(x ¡ x0)n = a0 + a1(x ¡ x0) + : : : + an(x ¡ x0)n + : : : (9.2)

n=0

називається степеневим рядом з центром у точцi x0. Якщо x0 = 0, то отримуємо такий степеневий ряд:

anxn = a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn + : : : :

n=0

Множина тих x 2 R, для яких ряд (9.2) збiгається, називається

областю збiжностi цього ряду.

Радiусом збiжностi степеневого ряду (9.2) називається R 2 [0; +1], яке обчисляється за допомогою формули Кошi-Адамара

R =		1			:

		n
	lim	n	a
	n!1pj			nj

Для деяких послiдовностей (an)1n=0 радiус збiжностi R можна також обчислити за допомогою формули Даламбера-Адамара

	¯		¯
R = lim	¯	an	¯	:
	¯		¯
n!1 ¯an+1			¯

Теорема 9.16. Ряд (9.2) абсолютно збiгається при jx ¡ x0j < R i розбiгається при jx ¡ x0j > R.

Таким чином, область збiжностi X степеневого ряду (9.2) задовольняє умову

(x0 ¡ R; x0 + R) µ X µ [x0 ¡ R; x0 + R]:

Множина (x0 ¡ R; x0 + R) називається iнтервалом збiжностi

степеневого ряду (9.2).

Теорема 9.17. Нехай вiдрiзок [a; b] мiститься в областi збiжностi степеневого ряду (9.2). Тодi ряд (9.2) рiвномiрно збiжний на [a; b].

Теорема 9.18. Нехай f(x) = P1 an(x¡x0)n i X – область збiжностi

n=0

ряду (9.2). Тодi функцiя f неперервна на X.

Знайти областi збiжностi таких степеневих рядiв:

xn;

(x + 2)2n¡1;

n=0

(x ¡ 1)n

n=0

1 xn

;

n=1

10n(x ¡ 3)n;

2n(x ¡ 1)n;

n=0

(x + 1)n

;

4n¡1

n=1

;

n=1

(x ¡ 2)n ;

10.

n=0

3n + 4n

n=0

2n + 3n

11.

n! (x + ¼)n;

12.

(n + 1)! xn;

13.

n=0

;

14.

n=0

(x ¡ e)n ;

n=0 (n + 2)!

n=0

15.

xn;

16.

(x + 1)n;

n=1

17.

3n + 2

;

18.

;

n=0

2n ¡ 1

n (x

1)n

3n + 1

n (x

5)n

ln n

19.

xn;

20.

xn;

n=2

n=1

21.

3n (n3 + 3) (x + 3)3n;

22.

2n¡1 x2(n¡1);

23.

n=0

2n xn2 ;

24.

n=1

4n (x + 4)n2 ;

25.

n=0

5n + (¡3)n xn;

26.

n=0

3n + (¡2)n xn;

n=0

n + 1

n=1

[2 + ( 1)n]n (x 1)n

(x ¡ 1)n

27.

¡ ;

28.

1)n]n

;

n=0

n=1 [3 + (

[1 + 4 sin 2¼n ]n

[1 + 2 cos n ¼ ]n

29.

xn;

30.

xn;

n=0

ln(n + 1)

n=1

ln n

31.	1		(2n ¡ 1)!!					(x + 2)n;
			(2n ¡ 1)!!
	n=1				n!
	X
33.	1		(n!)2			xn;
33.		(2n)!				xn;
	n=1
	X
	1	xn
35.	X				, a > 0;
			ap
			ap	n
	n=0		xn
	1		xn
37.	X						,	a; b > 0;
37.		an		+ bn			,	a; b > 0;
	n=0

32. X1 (¡1)n (x + 2)2n ; 2n ¢ (2n)!

n=1

34.	1		n!		xn;

		2
	n=1	en
	X
	1		n!
36.	X				xn,			a > 1;
36.		2			xn,			a > 1;
	n=0	an
	n=0	µ		an bn				¶ xn, a; b > 0;
	1			an bn
38.	X					+
38.	n=0			n		+	n2

39. 1+ ® ¢ ¯ x+: : :+X1 ®(® + 1):::(® + n ¡ 1)¯(¯ + 1):::(¯ + n ¡ 1) xn. 1 ¢ ° 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ n ¢ °(° + 1):::(° + n ¡ 1)

n=2

Знайти областi збiжностi таких узагальнених степеневих рядiв:

	1	1		1	¡ x n			1	1	sin ¼				1	32n(n!)2	tgn x
40.	X		µ			¶ ;	41.	X				;	42.	X			.
	n=1 2n + 1			1	+ x			n=0 xn			2n			n=0	(3n)!

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб5materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx
#
23.02.2016476.68 Кб19MA_I.pdf
#
23.02.2016564.91 Кб10MA_Metod3.pdf
#
13.08.2019157.7 Кб2MD_Doslidzh.doc
#
13.08.2019144.9 Кб1MD_Kompl_dosl.doc
#
13.08.2019163.33 Кб1MD_Komunik_1.doc
#
13.08.2019259.07 Кб1MD_Komunik_2.doc
#
23.02.20161.71 Mб20meddopomga_kn.pdf