Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MA_Metod3

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
564.91 Кб
Скачать
F (A; y) ¶ I(y) на Y при A ! +1;

10.2Рiвномiрна збiжнiсть невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра

Розглянемо таку функцiю f : [a; +1) £ Y ! R, що для кожного

y 2 Y iснує невласний iнтеграл +R1f(x; y) dx. Для всiх A 2 [a; +1)

a

та y 2 Y покладемо

ZA

F (A; y) = f(x; y) dx:

a

Тодi функцiя I(y), яка для y 2 Y визначається спiввiдношенням

Z+1

I(y) = f(x; y) dx = lim F (A; y);

A!+1

a

називається невласним iнтегралом, залежним вiд параметра. Iнтеграл I(y) називається рiвномiрно збiжним на множинi Y ,

якщо

тобто для кожного " > 0 iснує таке A0 2 [a; +1), що для всiх A 2 [A0; +1) та y 2 Y виконується нерiвнiсть

jI(y) ¡ F (A; y)j < ":

Аналогiчно вводиться поняття невласного iнтеграла, залежного

вiд параметра, з

особливою точкою !

2aR [ f¡1g

. Зокрема,

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

(

)

 

=

A!¡1 Z

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

f x; y

 

dx

 

lim

 

f x; y

 

dx;

 

 

 

¡1

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

а для скiнченного !

( ) =

A!!¡0 Za

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Za

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x; y

dx

 

lim

 

f(x; y) dx:

 

 

Зауважимо, що у випадку, коли

!

2

 

! R, для

деяких

можливо i для

всiх) y

 

2

 

Y iнтеграл

 

Ra

f(x; y) dx

може

не

мати особливостей першого роду, тобто вiн може бути звичайним визначеним iнтегралом.

43

Вважатимемо надалi, що ! 2 R [ f§1g.

Теорема 10.7 (критерiй Кошi). Iнтеграл R! f(x; y) dx рiвномiрно

a

збiгається на Y тодi i тiльки тодi, коли для кожного " > 0 iснує

таке A0 2 [a; !), що для всiх A0; A00

2 [A0; !) та y 2 Y виконується

нерiвнiсть

¯Z

¯

 

 

 

 

¯ A00f(x; y) dx¯

< ":

 

¯A0

¯

 

 

¯

¯

 

 

¯

¯

 

 

¯

¯

 

Теорема 10.8 (ознака Вейєрштрасса). Нехай

1)jf(x; y)j · '(x) для всiх x 2 [a; !) та y 2 Y ;

2)невласний iнтеграл R! '(x) dx збiгається.

a

Тодi iнтеграл R! f(x; y) dx рiвномiрно збiгається на Y .

 

a

 

 

 

 

 

Теорема 10.9 (ознака Дiрiхле). Нехай

 

 

1)

для кожного y

2 Y функцiя f(x; y) монотонна на [a; !)

як

функцiя вiд змiнної x;

при x ! !;

 

 

2)

f(x; y) ¶ 0 на Y

 

 

 

 

¯R

¯

 

 

3)

 

¯

A

¯

· C для всiх y 2 Y

та

iснує таке C > 0, що ¯a

g(x; y) dx¯

 

 

¯

 

¯

 

 

A 2 [a; w).

Тодi iнтеграл R! f(x; y) g(x; y) dx рiвномiрно збiгається на Y .

a

Теорема 10.10 (ознака Абеля). Нехай

1)для кожного y 2 Y функцiя f(x; y) монотонна на [a; !) як функцiя вiд змiнної x;

2)iснує таке C > 0, що jf(x; y)j · C для всiх x 2 [a; !) та y 2 Y ;

!

g(x; y) dx

 

Y

 

3) iнтеграл Ra

рiвномiрно збiжний на

.

!

 

 

Тодi iнтеграл

Ra

f(x; y) g(x; y) dx рiвномiрно збiгається на Y .

 

 

 

44

 

 

cos(x2 + y)
px3 + 3 dx, Y = R;
psin(xy) dx, Y = R; x5 + 55x
arctg(x3 + y3)
p dx, Y = R; 4 x6 + y2
arcctg(xy)
p dx, Y = R;
3 x5 + x + 1
sin(x2 + y3) dx, Y = R; x4 + 2jyj + 1
cos(y ¡ x3) dx, Y = [0; +1); x2 + y
45

Дослiдити за означенням на рiвномiрну збiжнiсть на множинi Y невласний iнтеграл I(y), якщо:

+1

 

 

 

 

 

1. I(y) = Z1

 

dx

;

а) Y = [a; +1), де a > 1;

б) Y = (1; +1).

 

 

 

 

xy

1

 

 

 

 

 

 

2. I(y) = Z0

dx

 

 

 

 

;

а) Y = (0; a], де a < 1; б) Y = (0; 1).

xy

+1

 

 

 

 

 

3. I(y) = Z

y e¡xy dx; а) Y = [a; b], де a > 0;

б) Y = [0; b].

0

За допомогою ознаки Вейєрштрасса довести, що iнтеграл I(y)

рiвномiрно збiгається на множинi Y , якщо:

Z+1

4. I(y) =

1

Z+1

5. I(y) =

1

Z+1

6. I(y) =

1

Z+1

7. I(y) =

1

Z+1

8. I(y) =

1

Z+1

9. I(y) =

1

 

+1

 

 

 

 

 

I(y) = Z2

 

dx

 

10.

 

 

, Y = [a; +1), де a > 1;

 

x lny x

 

+1

ln3 x

 

11.

I(y) = Z1

 

 

dx, Y = R;

 

x2 + y4

 

+1

2 x sin 3x

 

12.

I(y) = Z2

 

ln ¢

dx, Y = [a; +1), де a > 1;

 

(x ¡ 1)y

 

+1

 

 

 

 

13.

I(y) = Z

e¡yx4 dx, Y = [3; +1);

 

0

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

14.

Z

xy e¡2x dx, Y = [1; 3];

I(y) =

1

Z+1

15. I(y) = e¡2xy sin x dx, Y = (a; +1), де a > 0;

0

Z+1

16. I(y) = e¡xy cos 2x dx, Y = (a; +1), де a > 0;

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

I(y) = Z0

cos(x + y)

dx, Y = R;

p3

 

 

 

x3 + x

 

18.

I(y) =

Z0

tg ¢

x4=3

 

 

dx, Y = R;

 

 

1

x

cos(x2 + y)

 

 

 

 

1

 

sin(x2 + y2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

p

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

I(y) = Z

 

(1

x)(x + 2) dx, Y = R;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

 

1

 

cos(x3 + y3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

1)(x + 1) dx, Y = R;

20.

I(y) = Z0

 

 

3 (x

 

 

 

21.

I(y) = Z0

1

1 + (x ¡ y)4 , Y = (¡1; a), де a > 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z

 

 

x2 + x + y2 , Y = R;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z0

 

 

y2

 

 

 

1)(ep

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

(

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

23.

 

 

 

 

¡

 

 

 

¡

 

 

dx, Y = [0; 2];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y2

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

)

arctg(xy)

 

24.

I(y) = Z0

 

 

ln(1 +

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

dx, Y = [¡2; 2];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z

 

 

cos xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

 

 

 

 

 

dx, Y = R;

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

¡1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 + y4 dx, Y = R;

 

26.

I(y) = Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

I(y) = Z

 

 

3

 

 

 

x4 + x + y

dx, Y = (0; +1).

 

За допомогою ознак Дiрiхле чи Абеля довести, що iнтеграл I(y)

рiвномiрно збiгається на множинi Y , якщо:

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

I(y) = Z1

 

 

cos x

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

 

 

 

 

 

 

xy

 

47

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.

I(y) = Z1

 

sin 3x

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z2

 

ln

x

 

 

cos(xy)

 

 

 

 

30.

 

 

 

¢p

 

 

 

 

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31.

I(y) = Z2

 

x sin(xy)

 

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

 

 

 

 

 

 

(x + 1) ln x

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.

I(y) = Z0

 

sin x

e¡xy dx, Y = [0; +1);

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

I(y) = Z0

 

cos x

e¡xy dx, Y = [0; +1).

 

p3

 

 

 

 

x

 

 

 

Дослiдити

 

на

 

 

рiвномiрну

збiжнiсть на множинi Y невласний

iнтеграл I(y), якщо:

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = +1

y2 ¡ x2

dx

 

Y =

 

34.

Z2

 

(y2 + x2)2

 

 

,

 

 

R;

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35.

I(y) = Z0

cos(y x2) dx, Y = [1; +1);

 

+1 sin x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36.

I(y) = Z1

 

 

dx, Y = [0; +1);

 

1 + xy

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37.

Z

sin(y sh x) dx, Y = [1; +1);

I(y) =

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38.

I(y) = Z0

 

 

dx

 

 

, Y = (1; +1);

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + xy

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z0

 

 

 

 

 

 

dx

39.

 

 

 

 

 

 

 

 

, Y = [0; +1);

 

4 + (x ¡ y)6

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40.

I(y) = Z0

e¡(x¡y)2 dx, Y = [0; +1);

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41.

I(y) = Z0

p

 

 

e¡yx2 dx, Y = [0; +1);

y

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z0

1

 

 

dx

42.

sin

 

 

¢

 

, Y = (0; 2).

x

xy

10.3Властивостi невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра

Рiвномiрна збiжнiсть невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра, iстотно використовується при доведеннi наведених нижче властивостей цих iнтегралiв.

Теорема 10.11. Нехай y0 – гранична точка множини Y µ R i для кожного A 2 [a; !) функцiя f(x; y) iнтегровна вiдносно змiнної x

на [a; A]

та f(x; y)

 

'(x)

на [a; A]

при y

!

y0. Якщо iнтеграл

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x; y) dx

 

 

збiжний на множинiY , то

Ra

 

рiвномiрно

 

!

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

y!y0

Z

 

(

 

)

 

=

Z

( )

 

 

 

 

 

lim

 

 

f

 

x; y

 

dx

 

 

' x

dx:

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

49

Теорема 10.12. Нехай функцiя f(x; y) неперервна на прямокутнику

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a; !) £ [c; d] i iнтеграл I(y) =

f(x; y) dx рiвномiрно збiжний на

 

 

 

 

 

a

 

на [c; d].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[c; d]. Тодi функцiя I(y) неперервнаR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

10.13. Нехай

функцiя

 

f(x; y) та її

частинна

похiдна

f0

(x; y)

неперервнi на прямокутнику

[a; !)

£

[c; d]

,

iнтеграл I(y) =

!y

 

 

 

 

 

 

!

(x; y) dx

 

f(x; y) dx

збiжний для кожного

 

y

2

[c; d]

i iнтеграл

f0

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

a

 

 

 

збiжний на [c; d]. Тодi функцiя I(y)

 

 

 

a

 

на

рiвномiрноR

 

диференцiйовнаR

[c; d], причому

Z!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0(y) = fy0 (x; y) dx:

a

Теорема 10.14. Нехай функцiя f(x; y) неперервна на прямокутнику

R

!

[a; !) £ [c; d] i iнтеграл I(y) = f(x; y) dx рiвномiрно збiжний на

a

[c; d]. Тодi функцiя I(y) iнтегровна на [c; d] i

Zd Z! Zd

I(y) dy = dx f(x; y) dy:

c a c

Довести такi рiвностi:

 

 

+1

cos x

dx

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

y!+1 Z1

 

px 1 + x y = 0;

 

1

 

p

 

y

 

 

 

 

 

 

 

lim

x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y!0 Z0

tg xy

 

 

 

 

= 2;

 

 

 

+1

sin x

 

dx

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y!+1 Z1

p3 x

 

1 + x2 y2

 

;

 

1

 

sin xy2

 

 

 

 

 

 

lim

 

dx = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y!0 Z0

 

p3 x5 y2

 

 

;

 

 

 

lim

+1 arctg x

dx

3¼2

 

 

lim

+1 cos xy

dx = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Z1

1 + x2y2

= 32

;

6.

Z1 x2 + y2

;

y!1

 

y!0

 

 

 

 

+1

dx

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

lim e¡xn dx = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

n!1 Z0

 

xn + 1

= 1;

 

 

8.

n!1 Z0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

 

Довести неперервнiсть на множинi Y функцiї I(y), якщо:

 

+1sin(x + y2)

 

 

9. I(y) = Z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx,

Y = R;

 

 

x4 + y8

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

I(y) = Z1

 

 

cos(2xy)

dx,

Y = R;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + jyj

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z1

 

 

dx

 

 

 

 

11.

 

 

x

,

 

 

 

Y = (2; +1);

 

 

2 + xy

 

 

 

+1 x2 dx

 

 

 

 

12.

I(y) = Z1

 

 

 

 

 

,

 

 

Y = (3; +1);

 

 

xy + y2

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

I(y) = Z1

 

 

cos x

dx,

 

 

Y = (0; +1);

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z1

 

 

x sin x

 

 

 

 

14.

 

 

 

 

dx,

Y = (1; +1);

 

 

xy + 1

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

I(y) = Z0

 

 

dx

,

 

 

 

Y = [0; 1);

 

 

 

 

 

 

 

siny x

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

I(y) = Z0

 

 

sin x dx

 

 

,

Y = [0; 2).

 

 

 

 

xy(¼ ¡ x)y

 

Довести диференцiйовнiсть на множинi Y функцiї I(y), якщо:

 

+1e¡xy

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

I(y) = Z1

 

 

 

 

dx,

 

 

Y = (0; +1);

 

 

x

 

 

 

+1e¡xy

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

I(y) = Z1

 

 

 

 

dx,

 

 

Y = (0; +1);

 

 

x2

 

 

51

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

19.

I(y) = Z0

cos x

 

 

 

dx, Y = R;

 

 

 

 

1 + (x + y)2

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

I(y) = Z0

sin x

 

 

 

 

20.

 

dx,

 

 

Y = R.

x + y2

 

 

 

З допомогою диференцiювання чи iнтегрування вiдносно пара-

метра обчислити такi невласнi iнтеграли:

21.

+1

1 ¡ e¡xy

 

 

,

 

I(y) =

 

dx

y > 1

x ex

Z

 

¡ ;

22.I(y) =

23.I(y) =

24.I(y) =

25.I(y) =

26.I(y) =

27.I(y) =

28.I(y) =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

1 ¡ e¡yx2

 

dx

 

 

Z0

 

x ex2

 

 

 

 

 

 

 

,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

arctg(xy)

dx,

 

x p

 

 

 

 

 

 

 

1

¡

x2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

arctg(xy)

 

 

 

x2 p

 

 

 

 

 

 

dx,

 

 

x2

¡

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

arctg(xy)

dx,

 

 

 

 

 

 

 

x (1 + x2)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

ln(1 ¡ y2x2)

dx

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 p1

¡

x2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

y2x2)

 

 

Z

ln(1

 

 

 

 

p

¡

 

 

 

 

 

 

dx,

 

1

 

x2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

ln(1 ¡ y2x2)

dx

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x p1

¡

x2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y > ¡1;

y 2 R;

y 2 R;

y 2 R;

y2 (¡1; 1);

y2 (¡1; 1);

y2 (¡1; 1);

52

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]