Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MA_Metod3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

564.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

F (A; y) ¶ I(y) на Y при A ! +1;

10.2Рiвномiрна збiжнiсть невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра

Розглянемо таку функцiю f : [a; +1) £ Y ! R, що для кожного

y 2 Y iснує невласний iнтеграл +R1f(x; y) dx. Для всiх A 2 [a; +1)

та y 2 Y покладемо

F (A; y) = f(x; y) dx:

Тодi функцiя I(y), яка для y 2 Y визначається спiввiдношенням

Z+1

I(y) = f(x; y) dx = lim F (A; y);

A!+1

називається невласним iнтегралом, залежним вiд параметра. Iнтеграл I(y) називається рiвномiрно збiжним на множинi Y ,

якщо

тобто для кожного " > 0 iснує таке A0 2 [a; +1), що для всiх A 2 [A0; +1) та y 2 Y виконується нерiвнiсть

jI(y) ¡ F (A; y)j < ":

Аналогiчно вводиться поняття невласного iнтеграла, залежного

вiд параметра, з

особливою точкою !

2aR [ f¡1g

. Зокрема,

(

)

A!¡1 Z

(

)

f x; y

lim

f x; y

dx;

¡1

а для скiнченного !

( ) =

A!!¡0 Za

f x; y

lim

f(x; y) dx:

Зауважимо, що у випадку, коли

! R, для

деяких

(а

можливо i для

всiх) y

Y iнтеграл

f(x; y) dx

може

не

мати особливостей першого роду, тобто вiн може бути звичайним визначеним iнтегралом.

Вважатимемо надалi, що ! 2 R [ f§1g.

Теорема 10.7 (критерiй Кошi). Iнтеграл R! f(x; y) dx рiвномiрно

збiгається на Y тодi i тiльки тодi, коли для кожного " > 0 iснує

таке A0 2 [a; !), що для всiх A0; A00		2 [A0; !) та y 2 Y виконується
нерiвнiсть	¯Z	¯
	¯Z	¯
	¯ A00f(x; y) dx¯		< ":
	¯A0	¯
	¯	¯
	¯	¯
	¯	¯

Теорема 10.8 (ознака Вейєрштрасса). Нехай

1)jf(x; y)j · '(x) для всiх x 2 [a; !) та y 2 Y ;

2)невласний iнтеграл R! '(x) dx збiгається.

Тодi iнтеграл R! f(x; y) dx рiвномiрно збiгається на Y .

	a
Теорема 10.9 (ознака Дiрiхле). Нехай
1)	для кожного y	2 Y функцiя f(x; y) монотонна на [a; !)				як
функцiя вiд змiнної x;		при x ! !;
2)	f(x; y) ¶ 0 на Y	при x ! !;
		¯R		¯
3)		¯	A	¯	· C для всiх y 2 Y	та
3)	iснує таке C > 0, що ¯a			g(x; y) dx¯	· C для всiх y 2 Y	та
		¯		¯

A 2 [a; w).

Тодi iнтеграл R! f(x; y) g(x; y) dx рiвномiрно збiгається на Y .

Теорема 10.10 (ознака Абеля). Нехай

1)для кожного y 2 Y функцiя f(x; y) монотонна на [a; !) як функцiя вiд змiнної x;

2)iснує таке C > 0, що jf(x; y)j · C для всiх x 2 [a; !) та y 2 Y ;

!	g(x; y) dx			Y
3) iнтеграл Ra	g(x; y) dx		рiвномiрно збiжний на	Y	.
3) iнтеграл Ra	!		рiвномiрно збiжний на		.
Тодi iнтеграл	Ra	f(x; y) g(x; y) dx рiвномiрно збiгається на Y .
			44

cos(x2 + y)

px3 + 3 dx, Y = R;

psin(xy) dx, Y = R; x5 + 55x

arctg(x3 + y3)

p dx, Y = R; 4 x6 + y2

arcctg(xy)

p dx, Y = R;

3 x5 + x + 1

sin(x2 + y3) dx, Y = R; x4 + 2jyj + 1

cos(y ¡ x3) dx, Y = [0; +1); x2 + y

Дослiдити за означенням на рiвномiрну збiжнiсть на множинi Y невласний iнтеграл I(y), якщо:

+1
1. I(y) = Z1		dx		;	а) Y = [a; +1), де a > 1;	б) Y = (1; +1).

		xy
1
2. I(y) = Z0	dx
			;		а) Y = (0; a], де a < 1; б) Y = (0; 1).
	xy
+1
3. I(y) = Z	y e¡xy dx; а) Y = [a; b], де a > 0;					б) Y = [0; b].

За допомогою ознаки Вейєрштрасса довести, що iнтеграл I(y)

рiвномiрно збiгається на множинi Y , якщо:

Z+1

4. I(y) =

Z+1

5. I(y) =

Z+1

6. I(y) =

Z+1

7. I(y) =

Z+1

8. I(y) =

Z+1

9. I(y) =

	+1
	I(y) = Z2		dx
10.				, Y = [a; +1), де a > 1;
			x lny x
	+1		ln3 x
11.	I(y) = Z1				dx, Y = R;
			x2 + y4
	+1		2 x sin 3x
12.	I(y) = Z2		ln ¢			dx, Y = [a; +1), де a > 1;
			(x ¡ 1)y
	+1
13.	I(y) = Z	e¡yx4 dx, Y = [3; +1);
	0
	+1
14.	Z	xy e¡2x dx, Y = [1; 3];
	I(y) =

Z+1

15. I(y) = e¡2xy sin x dx, Y = (a; +1), де a > 0;

Z+1

16. I(y) = e¡xy cos 2x dx, Y = (a; +1), де a > 0;

		0
		1
17.	I(y) = Z0		cos(x + y)				dx, Y = R;
			p3
			p3		x3 + x
18.	I(y) =	Z0	tg ¢			x4=3			dx, Y = R;
		1	x			cos(x2 + y)
		1		sin(x2 + y2)
				sin(x2 + y2)
		0	p
19.	I(y) = Z			(1		x)(x + 2) dx, Y = R;
								46

cos(x3 + y3)

1)(x + 1) dx, Y = R;

20.

I(y) = Z0

3 (x

21.

I(y) = Z0

1 + (x ¡ y)4 , Y = (¡1; a), де a > 0;

x dx

22.

I(y) = Z

x2 + x + y2 , Y = R;

I(y) = Z0

1)(ep

(

23.

dx, Y = [0; 2];

x + y2

)

arctg(xy)

24.

I(y) = Z0

ln(1 +

dx, Y = [¡2; 2];

I(y) = Z

cos xy

25.

dx, Y = R;

1 + x2

¡1

sin x

x3 + y4 dx, Y = R;

26.

I(y) = Z0

cos x

27.

I(y) = Z

x4 + x + y

dx, Y = (0; +1).

За допомогою ознак Дiрiхле чи Абеля довести, що iнтеграл I(y)

рiвномiрно збiгається на множинi Y , якщо:

28.

I(y) = Z1

cos x

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

29.

I(y) = Z1

sin 3x

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

I(y) = Z2

cos(xy)

30.

¢p

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

31.

I(y) = Z2

x sin(xy)

dx, Y = [a; +1), де a > 0;

(x + 1) ln x

32.

I(y) = Z0

sin x

e¡xy dx, Y = [0; +1);

33.

I(y) = Z0

cos x

e¡xy dx, Y = [0; +1).

Дослiдити

на

рiвномiрну

збiжнiсть на множинi Y невласний

iнтеграл I(y), якщо:

I(y) = +1

y2 ¡ x2

Y =

34.

(y2 + x2)2

35.

I(y) = Z0

cos(y x2) dx, Y = [1; +1);

+1 sin x2

36.

I(y) = Z1

dx, Y = [0; +1);

1 + xy

37.

sin(y sh x) dx, Y = [1; +1);

I(y) =

38.

I(y) = Z0

, Y = (1; +1);

1 + xy

I(y) = Z0

39.

, Y = [0; +1);

4 + (x ¡ y)6

40.

I(y) = Z0

e¡(x¡y)2 dx, Y = [0; +1);

41.

I(y) = Z0

e¡yx2 dx, Y = [0; +1);

I(y) = Z0

42.

sin

, Y = (0; 2).

10.3Властивостi невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра

Рiвномiрна збiжнiсть невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра, iстотно використовується при доведеннi наведених нижче властивостей цих iнтегралiв.

Теорема 10.11. Нехай y0 – гранична точка множини Y µ R i для кожного A 2 [a; !) функцiя f(x; y) iнтегровна вiдносно змiнної x

на [a; A]

та f(x; y)

'(x)

на [a; A]

при y

y0. Якщо iнтеграл

f(x; y) dx

збiжний на множинiY , то

рiвномiрно

y!y0

(

)

( )

lim

x; y

' x

dx:

Теорема 10.12. Нехай функцiя f(x; y) неперервна на прямокутнику

[a; !) £ [c; d] i iнтеграл I(y) =

f(x; y) dx рiвномiрно збiжний на

на [c; d].

[c; d]. Тодi функцiя I(y) неперервнаR

Теорема

10.13. Нехай

функцiя

f(x; y) та її

частинна

похiдна

(x; y)

неперервнi на прямокутнику

[a; !)

[c; d]

iнтеграл I(y) =

(x; y) dx

f(x; y) dx

збiжний для кожного

[c; d]

i iнтеграл

збiжний на [c; d]. Тодi функцiя I(y)

на

рiвномiрноR

диференцiйовнаR

[c; d], причому

I0(y) = fy0 (x; y) dx:

Теорема 10.14. Нехай функцiя f(x; y) неперервна на прямокутнику

[a; !) £ [c; d] i iнтеграл I(y) = f(x; y) dx рiвномiрно збiжний на

[c; d]. Тодi функцiя I(y) iнтегровна на [c; d] i

Zd Z! Zd

I(y) dy = dx f(x; y) dy:

c a c

Довести такi рiвностi:

cos x

lim

y!+1 Z1

px 1 + x y = 0;

lim

y!0 Z0

tg xy

= 2;

sin x

lim

= 0

y!+1 Z1

p3 x

1 + x2 y2

;

sin xy2

lim

dx = 3

y!0 Z0

p3 x5 y2

;

lim

+1 arctg x

3¼2

lim

+1 cos xy

dx = 1

1 + x2y2

= 32

;

Z1 x2 + y2

;

y!1

y!0

lim

lim e¡xn dx = 1

n!1 Z0

xn + 1

= 1;

n!1 Z0

Довести неперервнiсть на множинi Y функцiї I(y), якщо:

+1sin(x + y2)

9. I(y) = Z1

dx,

Y = R;

x4 + y8

10.

I(y) = Z1

cos(2xy)

dx,

Y = R;

x2 + jyj

I(y) = Z1

11.

Y = (2; +1);

2 + xy

+1 x2 dx

12.

I(y) = Z1

Y = (3; +1);

xy + y2

13.

I(y) = Z1

cos x

dx,

Y = (0; +1);

I(y) = Z1

x sin x

14.

dx,

Y = (1; +1);

xy + 1

15.

I(y) = Z0

Y = [0; 1);

siny x

16.

I(y) = Z0

sin x dx

Y = [0; 2).

xy(¼ ¡ x)y

Довести диференцiйовнiсть на множинi Y функцiї I(y), якщо:

+1e¡xy

17.

I(y) = Z1

dx,

Y = (0; +1);

+1e¡xy

18.

I(y) = Z1

dx,

Y = (0; +1);

	+1
19.	I(y) = Z0	cos x				dx, Y = R;

		1 + (x + y)2
	+1
	I(y) = Z0	sin x
20.			dx,			Y = R.
20.		x + y2	dx,			Y = R.
	З допомогою диференцiювання чи iнтегрування вiдносно пара-
метра обчислити такi невласнi iнтеграли:
21.	+1	1 ¡ e¡xy			,
	I(y) =	1 ¡ e¡xy		dx		y > 1
	I(y) =	x ex		dx		y > 1
	Z	x ex				¡ ;

22.I(y) =

23.I(y) =

24.I(y) =

25.I(y) =

26.I(y) =

27.I(y) =

28.I(y) =

1 ¡ e¡yx2

x ex2

arctg(xy)

dx,

x p

arctg(xy)

x2 p

dx,

arctg(xy)

dx,

x (1 + x2)

ln(1 ¡ y2x2)

x2 p1

y2x2)

ln(1

dx,

ln(1 ¡ y2x2)

x p1

y > ¡1;

y 2 R;

y2 (¡1; 1);

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx
#
23.02.2016476.68 Кб19MA_I.pdf
#
23.02.2016564.91 Кб10MA_Metod3.pdf
#
13.08.2019157.7 Кб2MD_Doslidzh.doc
#
13.08.2019144.9 Кб1MD_Kompl_dosl.doc
#
13.08.2019163.33 Кб1MD_Komunik_1.doc
#
13.08.2019259.07 Кб1MD_Komunik_2.doc
#
23.02.20161.71 Mб20meddopomga_kn.pdf