MA_Metod3

18. Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = x, x 2 (1; 3), перiодично продовжену з перiодом 2 . Зобразити графiк суми отриманого ряду.

19. Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = x2, x 2 [¡1; 1], перiодично продовжену з перiодом 2. Зобразити графiк суми отриманого ряду.

3 ¡ x; 2 · x · 3;

перiодично продовжену з перiодом 3. Зобразити графiк суми отриманого ряду.

9.8Розклад у ряди Фур’є лише за косинусами або лише за синусами

Нехай l > 0 i функцiя f абсолютно iнтегровна на вiдрiзку [0; l]. Розглянемо функцiю

а коефiцiєнти цього ряду обчисляються за формулами

Якщо функцiя f кусково диференцiйовна на вiдрiзку [0; l], то у всiх точках x 2 [0; l], за винятком, можливо, скiнченної кiлькостi точок (якi є точками розриву функцiї f), виконується рiвнiсть

f(x) = a20 + X1 an cos n¼xl ;

n=1

33

яку називають розкладом функцiї f лише за косинусами на

а коефiцiєнти цього ряду обчисляються за формулами

Якщо функцiя f кусково диференцiйовна на вiдрiзку [0; l], то у всiх точках x 2 (0; l), за винятком, можливо, скiнченної кiлькостi точок (якi є точками розриву функцiї f), виконується рiвнiсть

яку називають розкладом функцiї f лише за синусами на вiдповiднiй множинi X µ (0; l). При цьому сума S(x) вiдповiдного ряду Фур’є дорiвнює нулю, якщо x 2 f0; lg.

У випадку, коли l = ¼, розклади лише за косинусами чи лише за синусами кусково диференцiйовної на [0; ¼] функцiї f будуть мати вiдповiдно такий вигляд:

1.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = 1 лише за синусами на

(0; ¼).

2.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = x лише за косинусами на

[0; ¼].

3. Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = cos 2x лише за синусами на (0; ¼).

4.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = sin x лише за косинусами на [0; ¼].

5.Розкласти функцiю f(x) = ¼4 ¡ x2 в ряд Фур’є:

а) за синусами на (0; ¼); б) за косинусами на [0; ¼].

7. Розкласти в ряд Фур’є на вiдрiзку [0; ¼] за косинусами функцiю

35

9. Розкласти в ряд Фур’є на вiдрiзку [0; ¼] за косинусами функцiю

12.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = x(¼ ¡x) лише за синусами на [0; ¼)].

13.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = x sin x лише за синусами на [0; ¼].

14.Розкласти функцiю f(x) = x2 в ряд Фур’є:

а) за косинусами на [¡¼; ¼]; б) за синусами на [0; ¼);

в) за синусами i косинусами на (0; 2¼).

Користуючись отриманими розкладами, знайти суми таких рядiв:

15.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = ex лише за косинусами на

[0; ln 2].

16.Розкласти функцiю f(x) = eax в ряд Фур’є:

17.Розкласти в ряд Фур’є функцiю f(x) = cos ax лише за синусами на (0; ¼).

18.Розкласти в ряд Фур’є лише за косинусами функцiю f(x) = sin ax, x 2 [0; ¼].

36

19. Розкласти в ряд Фур’є за косинусами на множинi [0; a) [ (a; ¼]

·

20. Розкласти в ряд Фур’є за косинусами на множинi [0; 2a) [ (2a; ¼]

21. Нехай функцiя f : (0; ¼2 ) ! R неперервна i кусково диференцiйовна на [0; ¼2 ]. Продовжити функцiю f до функцiї g : [¡¼; ¼] ! R так, щоб виконувалась рiвнiсть:

а) g(x) = P1 an cos(2n ¡ 1)x для кожного x 2 [¡¼; ¼],

n=1

б) g(x) = P1 bn sin(2n ¡ 1)x для кожного x 2 (¡¼; ¼).

n=1

37

Роздiл X. Iнтеграли, залежнi вiд параметра

10.1Власнi iнтеграли, залежнi вiд параметра

Нехай f : X £ Y ! R, ' : X ! R i точка y0 2 R гранична для множини Y . Функцiя f(x; y) рiвномiрно прямує до функцiї '(x) на

множинi X при y ! y0, якщо для кожного " > 0 iснує таке ± > 0, що для всiх x 2 X та y 2 Y з нерiвностi jy ¡ y0j < ± випливає, що jf(x; y) ¡ '(x)j < ". Позначається це так: f(x; y) ¶ '(x) на X при

y ! y0.

Якщо y0 = 1, або y0 = +1, або y0 = ¡1, то в наведеному вище означеннi нерiвнiсть jy ¡ y0j < ± потрiбно замiнити вiдповiдно нерiвнiстю jyj > ±, або y > ±, або y < ¡±.

Нехай функцiя f : [a; b] £ Y ! R iнтегровна на [a; b] для кожного

Теорема 10.1. Нехай y0 – гранична точка множини Y , функцiя f : [a; b]£Y ! R iнтегровна на [a; b] для кожного y 2 Y i f(x; y) ¶ '(x) на [a; b] при y ! y0. Тодi

Zb Zb

lim f(x; y) dx = '(x) dx:

y!y0

aa

Теорема 10.2. Нехай функцiя f : [a; b] £ [c; d] ! R неперервна на [a; b] £ [c; d]. Тодi функцiя I(y) виду (10.1) неперервна на [c; d].

Теорема 10.3. Нехай функцiя f(x; y) неперервна на прямокутнику P = [a; b] £ [c; d] та iснує неперервна на P похiдна fy0 (x; y). Тодi

38

функцiя I(y) виду (10.1) диференцiйовна на [c; d] i

Zb

I0(y) = fy0 (x; y) dx:

a

Описане вище правило знаходження похiдної вiд iнтеграла, залежного вiд параметра, називається правилом Лейбнiца.

Теорема 10.4. Нехай функцiя f(x; y) неперервна на [a; b]£[c; d]. Тодi функцiя I(y) виду (10.1) iнтегровна на [c; d] i

Zd Zb Zd

I(y) dy = dx f(x; y) dy:

ca c

Нехай ®; ¯ : Y ! R i для кожного y 2 Y функцiя f : X £ Y ! R iнтегровна на [®(y); ¯(y)]. Тодi функцiя

Теорема 10.5. Нехай функцiї ®, ¯ : [c; d] ! [a; b] неперервнi на [c; d], а функцiя f(x; y) неперервна на прямокутнику [a; b]£[c; d]. Тодi функцiя I(y) виду (10.2) неперервна на [c; d].

Теорема 10.6. Нехай функцiї ®, ¯ : [c; d] ! [a; b] диференцiйовнi на [c; d], а функцiя f(x; y) неперервна на прямокутнику P = [a; b] £[c; d] i має неперервну на P похiдну fy0 (x; y). Тодi функцiя I(y) виду (10.2) диференцiйовна на [c; d], причому

Z¯(y)

I0(y) = fy0 (x; y) dx + f(¯(y); y) ¯0(y) ¡ f(®(y); y) ®0(y):

®(y)

39