MA_Metod3

Теорема 11.1. Нехай функцiї P (x; y) i Q(x; y) неперервнi i мають неперервнi частиннi похiднi Py0(x; y) i Q0x(x; y) в однозв’язнiй областi D. Тодi такi умови рiвносильнi:

(i) Py0(x; y) = Q0x(x; y) для кожної точки (x; y) 2 D; (ii) iснує така диференцiйовна функцiя F : D ! R, що

dF (x; y) = P (x; y) dx + Q(x; y) dy;

(iii) iнтеграл R P (x; y) dx + Q(x; y) dy не залежить вiд шляху

^

AB

iнтегрування в D.

Теорема 11.2. Нехай F : D ! R – диференцiйовна в областi D µ R2 функцiя i

dF (x; y) = P (x; y) dx + Q(x; y) dy;

Теорема 11.3. Нехай F : D ! R – диференцiйовна в областi D µ R3 функцiя i

dF (x; y; z) = P (x; y; z) dx + Q(x; y; z) dy + R(x; y; z) dz;

ZB

P (x; y; z) dx+Q(x; y; z) dy+R(x; y; z) dz = F (x2; y2; z2)¡F (x1; y1; z1):

A

73

Обчислити криволiнiйнi iнтеграли другого роду, взятi вздовж

указаних кривих у напрямку зростання параметра:

Z

1.x dy ¡ y dx, якщо:

L

L

L

74

Z

10.xy dx + (y ¡ x) dy, де L – дуга кривої y = x3, x 2 [0; 1];

L

Z

11. cos y dx ¡ sin y dy, де L – вiдрiзок прямої y = ¡x, x 2 [¡2; 2];

L

Z

12. y sin x dy ¡ x cos y dx, де L – вiдрiзок прямої y = 2x, x 2 [0; ¼];

L

Z

13.y2 dx + xy dy, де L – крива y = jxj, x 2 [¡2; 2];

L

Z

14.(x2 + y2) dx + (x2 ¡ y2) dy, де L – крива y = 1 ¡ jx ¡ 1j, x 2 [0; 2];

L

Z

15.(3x2 ¡ y) dx + (1 ¡ 2x) dy, де L – межа трикутника з вершинами

L

O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1);

Z

16.2(x2 +y2) dx+(x+y)2 dy, де L – межа трикутника з вершинами

L

A(1;Z1), B(1; 3), C(2; 2);

17.(x2 + y2) dy, де L – межа чотирикутника з вершинами A(0; 0),

L

B(2;Z0), C(4; 4), D(0; 4);

18. dx + dy , де L – межа чотирикутника з вершинами A(1; 0), jxj + jyj

L

B(0; 1), C(¡1; 0), D(0; ¡1);

Z

19.

Z

21. y dx ¡ x dy, де L – елiпс x = a cos t, y = b sin t, t 2 [0; 2¼];

L

Z

22.y2 dx+x2 dy, де L – верхня половина елiпса x = a cos t, y = b sin t,

L

t2 [0; ¼];

Z

23. (2a ¡ y) dx ¡ (a ¡ y) dy, де L – арка циклоїди x = a(t ¡ sin t),

L

Обчислити криволiнiйнi iнтеграли II роду, взятi вздовж

просторових кривих у напрямку зростання параметра:

Z

25.y dx+z dy+x dz, де L – виток гвинтової лiнiї x = cos t, y = 2 sin t,

L

z =Zt, t 2 [0; 2¼];

26. (y2 ¡ z2) dx + 2yz dy ¡ x2 dz, де L – крива x = t, y = t2, z = t3,

L

t 2 [0; 1];

Z

27. yz dx + zx dy + xy dz, де L – дуга гвинтової лiнiї x = a cos t,

L

y = a sin t, z = 2at¼ , t 2 [0; 2¼];

Z

28. (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, де L – крива x = a sin2 t,

L

y =Z2a sin t cos t, z = a cos2 t, t 2 [0; ¼];

29.x dx+(x+y) dy+(x+y+z) dz, де L – крива x = a sin t, y = a cos t,

L

76

y = sin t, z = t вiд точки B(1; 0; 0) до точки C(1; 0; 2¼).

11.3Обчислення подвiйних iнтегралiв

Нехай на квадровнiй множинi D µ R2 задана функцiя f(x; y). Розiб’ємо фiгуру D на n квадровних частин D1; : : : ; Dn. Для кожного

i = 1; 2; : : : ; n виберемо точку Mi(»i; ´i) 2 Di, позначимо через Si площу фiгури Di i покладемо

¸ = max diam Di;

1·i·n

де diam Di = sup d(p; q), причому d(p; q) – це евклiдова вiдстань вiд

p;q2Di

точки p до точки q в просторi R2. Розглянемо iнтегральну суму

Xn

¾ = f(»i; ´i)Si:

i=1

Якщо iснує скiнченна границя I = lim ¾, яка не залежить вiд способу

¸!0

розбиття множини D i вибору набору (Mi)ni=1 вiдмiчених точок Mi, то вона називається подвiйним iнтегралом вiд функцiї f(x; y) по

79

множинi D i позначається через RR f(x; y) dxdy, тобто

Зауважимо, що вiдкрита зв’язна множина D µ R2 називається областю. Якщо множина D буде замиканням деякої областi в R2, то називатимемо її замкненою областю, а якщо вона буде ще й обмеженою, то називатимемо її компактною областю. Найчастiше подвiйнi iнтеграли розглядаються по компактних областях, якi обмеженi замкненими спрямними кривими.

Властивостi подвiйних iнтегралiв

1.Кожна неперервна на компактнiй областi D функцiя f(x; y) iнтегровна по цiй областi D.

2.Якщо значення iнтегровної по (замкненiй, компактнiй) областi D функцiї довiльним чином змiнити на кривiй нульової площi, залишаючи при цьому функцiю обмеженою, то одержана функцiя також iнтегровна по цiй областi D.

3.Нехай функцiя f(x; y) iнтегровна по (замкненiй, компактнiй) областi D i крива ° нульової площi розбиває D на двi частини D0 i D00. Тодi функцiя f(x; y) iнтегровна по цих частинах D0 i

D00, при цьому виконується рiвнiсть

З iншого боку, з iнтегровностi функцiї f(x; y) по множинах D0 i D00 випливає iнтегровнiсть функцiї f(x; y) по цiй областi D.

Теорема 11.5. Нехай Ã(x) i '(x) – неперервнi функцiї на вiдрiзку

[a; b], D =RRf(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b]; '(x) · y · Ã(x)g, iснує подвiйний iнтеграл f(x; y) dxdy i для кожного x 2 [a; b] iснує iнтеграл I(x) =

D

ÃR(x)f(x; y) dy. Тодi iснує повторний iнтеграл Rb I(x) dx, причому

'(x) a

Аналогiчно, якщо компактна область D в теоремi 11.5 описується нерiвностями: c · y · d i ®(y) · x · ¯(y), де ®; ¯ : [c; d] ! R – неперервнi функцiї, то

Якщо неперервна межа областi D перетинається не бiльше, нiж у двох точках з кожною горизонтальною i вертикальною прямими, то при переходi вiд подвiйного iнтеграла до повторного можна вибирати порядок iнтегрування в тiй чи iншiй послiдовностi змiнних.

У випадку, коли область D має складнiшу структуру потрiбно область D кривими нульової площi (наприклад, горизонтальними i вертикальними вiдрiзками) розбити на частини з простiшими

81

межами i перейти до суми подвiйних iнтегралiв по простiших областях.

D

iнтегрування в обох порядках, якщо:

9.D – це квадрат з вершинами O(0; 0), A(0; 3), B(3; 3), C(3; 0);

10.D – це прямокутник з вершинами O(0; 0), A(¡4; 0), B(¡4; 1),

C(0; 1);

11.D – це трикутник з вершинами A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1);

12.D – це трикутник з вершинами A(1; 0), B(0; 2), C(1; 2);

13.D – це трикутник з вершинами A(0; 0), B(2; 1), C(¡2; 1);

14.D – це трикутник з вершинами A(1; 1), B(3; 2), C(3; 4);

15.D – це трикутник x + y · 1, x ¡ y · 1, x ¸ 0;

16.D – це паралелограм, обмежений лiнiями x = 3, x = 5, 2y¡3x = 4,

2y ¡ 3x = 1;

82