MA_Metod3

Нехай поверхня s задана параметрично рiвняннями

x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v);

де функцiї x; y i z неперервно диференцiйовнi на областi D µ R2, тобто мають в цiй областi неперервнi частиннi похiднi першого

порядку, i точка M0(x0; y0; z0) 2 s вiдповiдає точцi (u0; v0) 2 D. Тодi рiвняння дотичної площини до поверхнi s у точцi M0 має вигляд

Пряма, яка перпендикулярна до дотичної площини i проходить

!¡

Нехай ®, ¯ i ° – кути мiж вектором n i додатними напрямками осей OX, OY i OZ вiдповiдно. Тодi cos ®, cos ¯ i cos ° називаються

напрямними косинусами нормалi i

¡!

n = (cos ®; cos ¯; cos °):

Квадровна поверхня, площа квадровної поверхнi

Нехай s – гладка поверхня, тобто поверхня, яка в кожнiй точцi має дотичну площину. Розiб’ємо поверхню s кусково гладкими кривими на n частин s1, : : : , sn i на кожнiй поверхнi si виберемо точку Mi. Для кожного i = 1; : : : ; n позначимо через ¿i площину, дотичну до s у точцi Mi, через ¢i – ортогональну проекцiю поверхнi si на площину ¿i, а через S(¢i) – площу проекцiї ¢i. Якщо iснує скiнченна границя

де ¸ = max diamsi, яка не залежить вiд способу розбиття поверхнi

1·i·n

s i вибору набору (Mi)ni=1, то поверхня s називається квадровною, а число I – площею поверхнi s.

Нехай функцiя f(x; y) неперервно диференцiйовна на квадровнiй областi D µ R2. Тодi площа S поверхнi z = f(x; y) обчислюється за

Якщо поверхня задана параметрично рiвняннями x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v);

де функцiї x; y i z неперервно диференцiйовнi на областi D µ R2, то

їїплоща S обчислюється за формулою

ZZp

S = EG ¡ F 2 dudv;

Зауважимо, що EG¡F 2 = A2 +B2 +C2; де A, B i C обчислюються згiдно з (11.5).

Фiзичнi застосування подвiйних iнтегралiв

Нехай задана плоска пластина D µ XOY з плоскою густиною ½(x; y). Тодi маса m пластини D обчислюється за формулою

ZZ

m = ½(x; y) dxdy:

D

Статичнi моменти Mx i My пластини D вiдносно осей OX i OY

Таким чином, координати x0 i y0 центра ваги пластини D об-

Знайти площу областi D, яка обмежена вказаними нижче кривими або описується з допомогою вказаних нижче нерiвностей:

21.y = cos x, y = cos 2x, 0 · x · 23¼ ;

22.y = sin x, y = sin 3x, 0 · x · ¼;

23.x = ¡2y, y = ¡3x, y ¡ x = 1, y ¡ x = 4;

24.x + y = 2, x + y = 3, y = 2x, y = 3x;

25.xy = 1, xy = 4, x = 3y, x = 4y, x > 0;

26.y2 = x, y2 = 9x, x = 2y, x = 4y;

27.y2 = 4x, y2 = 25x, x2 = y, x2 = 9y;

28.xy = 4, xy = 16, x2 = y, x2 = 2y;

29.px + py = 1, px + py = 2, y = x, y = 4x;

53.xy = 1, xy = 2, 2y = x, y = 2x, z = 0, z = x2 + y2;

54.x2 = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x, z = 0, z = xy;

55.y = x, y = 2x, xy = 1, z = 0, z = sin(¼xy);

56.xy = 1, xy = 8, 2y = x, y = 1, y = 2, z = 0, z = e¡xy.

57.Обчислити площу частини площини 6x + 3y + 2z = 12, яка знаходиться у першому октантi.

58.Обчислити площу частини площини 2x + 5y + 3z = 30, яка знаходиться у першому октантi.

59.Обчислити площу частини сфери x2 +y2 +z2 = 2a2, яка мiститься всерединi конуса x2 + y2 = z2.

60.Обчислити площу поверхнi z = xy, яка описується нерiвнiстю x2 + y2 · 1.

61.Обчислити площу частини параболоїда y = x2 + z2, яка мiститься всерединi цилiндра x2 + z2 = 1.

62.Обчислити площу частини сфери x2 + y2 + z2 = 9, яка мiститься всерединi цилiндра x92 + y42 = 1.

63.Обчислити площу частини цилiндра z = x2, яка вiдтинається площинами x + y = p2, x = 0, y = 0.

64.Обчислити площу частини конуса x2 + y2 = z2, яка мiститься

66.Обчислити площу частини конуса z2 = x2 + y2, яка вирiзається цилiндричною поверхнею z2 = 2y.

67.Обчислити площу частини цилiндра x2 + z2 = 1, що мiститься всерединi цилiндра y2 + z2 = 1.

97

Обчислити статичнi моменти вiдносно вiдповiдних прямих чи вiдрiзкiв наступних однорiдних (з плоскою густиною ½ = 1) пластин.

68.Пiвкруга з радiусом R вiдносно його дiаметра.

69.Круга з радiусом R вiдносно дотичної до цього круга.

70.Правильного шестикутника зi стороною a вiдносно сторони.

71.Довести, що статичний момент однорiдного трикутника a вiдносно сторони довжиною a залежить лише вiд висоти, проведеної до даної сторони.

Знайти координати центра ваги наступних однорiдних плоских фiгур, якi обмеженi вiдповiдними кривими або описанi вiдповiдними

нерiвностями.

72. xa22 + yb22 = 1, де 0 < b · a, y ¸ 0.

73.y = sin x, y = 0, 0 · x · ¼4 .

74.y = x2, x + y = 2.

75.px + py = 1, x = 0, y = 0.

22

76.x3 + y 3 = 1.

77.Знайти масу квадратної пластини зi стороною a, якщо її плоска густина в кожнiй точцi пропорцiйна вiдстанi вiд цiєї точки до фiксованої вершини квадрата i дорiвнює 1 в центрi квадрата.

78.Знайти масу квадратної пластини зi стороною 2a, якщо її плоска густина в кожнiй точцi пропорцiйна квадрату вiдстанi вiд цiєї точки до центра квадрата i дорiвнює 1 у вершинах квадрата.

79.Знайти координати центра ваги круглої пластини x2 + y2 · R2, якщо її плоска густина в кожнiй точцi пропорцiйна вiдстанi вiд цiєї точки до точки A(R; 0).

98

Роздiл XII. Поверхневi i потрiйнi iнтеграли

12.1Поверхневi iнтеграли I роду

Означення поверхневого iнтеграла I роду.

Нехай P – деяка квадровна поверхня, обмежена кусково-гладким контуром i f(x; y; z) – функцiя, визначена на P . Розiб’ємо поверхню P кусково-гладкими кривими на n частин P1,. . . , Pn i виберемо довiльнi

точки Mi(xi; yi; zi) 2 Pi для кожного i = 1; : : : ; n. Нехай S(Pi) – це площа поверхнi Pi для i = 1; 2; :::; n i

¸ = max diam(Pi):

1·i·n

Розглянемо вiдповiдну iнтегральну суму

Xn

¾ = f(xi; yi; zi)S(Pi):

i=1

Якщо iснує скiнченна границя iнтегральних сум ¾ при ¸ ! 0, яка не залежить вiд способу розбиття поверхнi P i вибору набору (Mi)ni=1 вiдмiчених точок, то вона називається поверхневим iнтегралом I роду вiд функцiї f(x; y; z) по поверхнi P i позначається

ZZ

для довiльної квадровної поверхнi P .

Зведення поверхневих iнтегралiв I роду до подвiйних.

У випадку, коли поверхня P задана параметрично рiвняннями x = x(u; v), y = y(u; v), z = z(u; v), причому (u; v) 2 D i функцiї x(u; v), y(u; v) та z(u; v) неперервно диференцiйовнi на D, то

ZZ ZZ p

f(x; y; z)dS = f(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) EG ¡ F 2dudv;

P D

де E, G i F обчисляються згiдно з (11.6).

Фiзичнi застосування поверхневих iнтегралiв I роду.

Нехай задана поверхня P з поверхневою густиною ½(x; y; z). Тодi маса m поверхнi P обчисляється за формулою

ZZ

m = ½(x; y; z) dS:

P

Статичнi моменти Myz, Mzx i Mxy поверхнi P вiдносно площин Y OZ, ZOX i XOY вiдповiдно обчисляються так:

Таким чином, координати x0, yo i z0 центра ваги поверхнi P

обчисляються за формулами

P

частина площини z = 1, яка визначається нерiвностями 0 · x · 1 i

0 · y · px;

2. Обчислити поверхневий iнтеграл I роду RR (y2 ¡ z2)dS; де P – це

частина площини x = ¡2, яка визначаєтьсяPнерiвностями 0 · y · 2 i 0 · z · y2;

Обчислити поверхневий iнтеграл I роду RR dS; якщо:

P

100

3.H – трикутник з вершинами A(0; 0; 0), B(2; 0; 0) i C(0; 3; 0);

4.H – трикутник з вершинами A(¡2; 1; 1), B(¡2; 5; 1) i C(¡2; 1; ¡1);

5. H – чотирикутник з вершинами A(1; 0; ¡1), B(3; 0; ¡1),

C(3; ¡2; ¡1) i D(1; ¡2; ¡1);

6.H – пiвсфера x2 + y2 + z2 = 1, що визначається нерiвнiстю x ¸ 0;

7.H – частина сфери x2 + y2 + z2 = 4, що визначається нерiвностями

нерiвнiстю y ¸ ¡2.

Обчислити поверхневi iнтеграли I роду:

ZZ

10.(x + y + z)dS, якщо P – частина площини x + 2x + 4z = 4 при

P

x ¸ 0, y ¸ 0 i z ¸ 0;

ZZ

11.(x ¡ y + 2z)dS, якщо P – частина площини x + y ¡ 2z = 1 при

P

x ¸ 0, y ¸ 0 i z · 0;

ZZ

12. ex+y+zdS, якщо P – частина площини y + z ¡x = 1 при x · 0,

P

y ¸ 0 i z ¸ 0;

ZZ

1

13. (1 + x + y)2 dS, якщо P – поверхня тетраедра x + y + z · 1,

P

x ¸ 0, y ¸ 0 i z ¸ 0;

ZZ

14.(x2 +z2)dS, якщо P – частина поверхнi октаедра jxj+jyj+jzj =

P

1 при x ¸ 0, z ¸ 0;

101

ZZ

15.(x2 ¡ y2)dS, якщо P – поверхня куба jxj = 1, jyj = 1, jzj = 1;

20.xdS, якщо P – повна поверхня цилiндра x2 +y2 = 4, 0 · z · 3;

P

ZZ

21.(x2 + y2)dS, якщо P – повна поверхня цилiндра x2 + y2 = 2x,

102