2.12.3. Другий закон Ньютона для обертового руху

Візьмемо похідну від по часу

. (1)

Перший доданок у правій частині (1) дорівнює 0, тому що маємо векторний добуток паралельних векторів - швидкості тіла та його імпульсу. У другому доданкові за другим законом Ньютона і остаточно маємо рівняння руху у вигляді

. (2)

Підставивши в (2) вираз для моменту імпульсу одержимо

. (3)

Прирівнюючи праві частини (2) та (3), одержимо

. (4)

Вирази (3) та (4) представляють собою рівняння другого закону Ньютона для обертового руху. З (4) можна зробити висновок про фізичний зміст моменту інерції J, а саме, момент інерції є мірою інертності тіла відносно моменту сили, що діє на нього. При дії на тіло моменту сили воно буде обертатися з більшим кутовим прискореннямпри меншому моментові інерціїJ.

2.12.4. Кінетична енергія тіла, що обертається

Нехай тверде тіло з густиною обертається відносно деякої осі з кутовою швидкістю. Знайдемо кінетичну енергію обертового руху цього тіла. Розіб'ємо тіло на точкові частинки з масоюdm=dV, що мають радіус обертанняr, об'ємdVі лінійну швидкістьr. Такі частинки мають кінетичну енергію

, (1)

а енергія тіла

. (2)

У виразі (2) інтеграл по об'єму тіла дорівнює моментові інерції тілаJ, а тому кінетична енергія тіла запишеться у такому виді

. (2)

2.12.5. Момент інерції деяких тіл

Момент інерції макроскопічного тіла можна знайти розбиттям тіла на нескінченно малі маси і розглянути їх як точкові. При цьому момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його складових

або

.

Застосовуючи цей метод, розглянемо момент інерції деяких тіл.

а). Момент інерції J тонкого обруча маси m і радіусом R відносно осі, що проходить через центр, перпендикулярно його площині, дорівнює J=mR². Дійсно, якщо розбити обруч на нескінченно малі дуги з масами dm, які мають радіус обертання , то . При R=0, J=0 і тоді С=0, а .

б). Момент інерції J циліндра маси m із радіусом основи R відносно його осі дорівнює J=mR²/2.

Дійсно, розіб'ємо циліндр на концентричні обручі радіуса х із нескінченно малою товщиною dx, момент інерції яких буде дорівнювати dJ=x²dm, де dm=2xdxh  елемент маси обруча, h  висота циліндра,   його густина. Тепер момент інерції циліндра можна обчислити так:

J=hR⁴=(R²h)R²=mR².

Момент інерції J диска маси m із радіусом основи R відносно осі, що проходить через центр мас, перпендикулярно його площині, дорівнює J=mR². Ми зважили, що диск за формою є циліндром.

в). Момент інерції циліндричного кільця маси m із внутрішнім радіусом R₁ і зовнішнім R₂ відносно його осі дорівнює:

,

і остаточно

,

де  маса циліндра з радіусом основи R₁,  маса циліндра з радіусом основи R₂, а m=m₂-m₁-маса кільця.

г). Момент інерціїJ прямолінійного стержня маси m і довжини L відносно осі, що проходить через початок, перпендикулярно йому (див.Мал.24). Момент інерції стержня запишемо у вигляді , деdm=dx, a лінійна густина стержня. Тепер розрахуємо інтеграл

.

Якщо вісь обертання проходить через середину стержня, для визначення моменту інерції досить змінити границі з [0,L] на x[-L/2,L/2]. Тепер

.

Момент інерціїJ кулі маси m із радіусом R відносно осі, що проходить через центр кулі, дорівнює .